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S. Lhotellier
Chapitre 8
[ Inverser, interdire et applications \
Fonctions
Table des matières
1 Inverser 2
2 Notion de valeur interdite 3 2.1 Identifier une valeur interdite.......................................... 3 2.2 Valeurs interdites et équations......................................... 6 2.3 Résoudre en inversant.............................................. 9
3 La fonction inverse 12 3.1 Généralités..................................................... 12 3.2 Ordonner des inverses.............................................. 14
Chapitre qui est dans la continuité du précédent et dans lequel on travaille la notion de valeur interdite. On réinvestit à nouveau le calcul et la résolution algébrique d’(in)équations tout en introduisant la dernière fonction de référence du programme.
M. Lhotellier
S. Lhotellier
1 Inverser
Tout nombre réel a 6 = 0 possède un inverse : c’est l’unique nombre b qui vérifie a × b = 1, autrement dit l’inverse de a est le nombre b =
a
DÉFINITION 1 : INVERSE
- L’inverse de 2 est
donc
- L’inverse de −5 est
et puisque
on peut dire également que l’inverse de −5 est −
Si a et b sont deux nombres avec b 6 = 0 on a toujours
a − b
a b
− a b
- Soit a un nombre non nul. Son inverse
a
est non nul aussi et possède donc un inverse :
1 1 a Or, diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction donc :
1 1 a
= 1 ×
a 1
= a
Ainsi, l’inverse de
a
n’est autre que a.
EXEMPLE 1 :
Soit k un nombre réel. On note ( E ) l’équation 1 X
= k
— Si k = 0 alors ( E ) ne possède aucune solution : il n’existe aucun nombre dont l’inverse est 0.
— Si k 6 = 0 alors ( E ) ne possède une unique solution :
X =
k
PROPOSITION 1 :ÉQUATION ÉLÉMENTAIRE
S. Lhotellier
- Si E ( x ) =
x
alors on ne peut pas remplacer x par 0 dans cette expression : 0 est une valeur interdite et c’est la seule. Ainsi, E ( x ) est définie sur l’ensemble des nombres réels sauf 0, ce qu’on notera R \ {0}.
- Si A ( x ) =
3 x − 1
alors on ne peut pas attribuer à x la valeur
car dans ce cas uniquement le dénominateur
s’annule et on divise par 0, ce qui est impossible. On voit donc que
est une valeur interdite, c’est même
la seule, et on peut dire que A ( x ) est définie sur l’ensemble R \
- Si B ( x ) =
( x + 2)(2 x − 1) alors on ne peut pas calculer B ( x ) en remplaçant x par une valeur qui annulera le dénominateur. Cherchons ces valeurs : il s’agit de trouver les nombres x tels que ( x + 2)(2 x − 1) = 0. C’est une équation produit nul qui a pour solution −2 et
. Ainsi les valeurs interdites pour B ( x ) sont −2 et
donc B ( x ) est définie sur l’ensemble R \
- Si C ( x ) =
p x alors on ne peut remplacer x par aucune valeur strictement négative. L’ensemble des valeurs interdites est donc l’ensemble des réels strictement négatif noté ] − ∞;0[. L’expression est donc définie sur [0;+∞[.
EXEMPLE 3 :
Chacune des expressions données dans cet exemple peut être vue comme une fonction : de ce point de vue, on parlera également de valeurs interdites et l’ensemble en lequel l’expression est définie devient l’ensemble de définition de la fonction. Une valeur interdite devient ainsi une valeur pour laquelle il n’est pas possible de définir une image.
Par exemple, l’expression A ( x ) peut être vue comme la fonction qui , à x , associe
3 x − 1
et de ce point de vue
l’ensemble de définition de cette fonction est R \
: il est impossible de déterminer l’image de
par A.
De même, on peut étendre la notion de valeur interdite ou d’ensemble de définition à une équation : cher- cher l’ensemble de définition d’une équation c’est chercher à savoir quand est-ce que l’égalité définie par l’équation a "du sens" , autrement dit : quand est-ce que ce qui est écrit est correctement définie.
- Pour une expression E ( x ), une valeur interdite est une valeur de x pour laquelle on ne peut pas calculer E ( x ).
- Pour une fonction f ( x ), une valeur interdite est une valeur de x pour laquelle on ne peut pas déterminer l’image.
- Pour une équation E ( x ) = F ( x ), une valeur interdite est une valeur de x pour laquelle à la fois E ( x ) et F ( x ) ne peuvent être calculées.
- Pour un quotient
A ( x ) B ( x )
, une valeur interdite est une valeur de x pour laquelle B ( x ) = 0 ET A ( x ) 6 = 0.
Methode 1 (^) Identifier une valeur interdite
S. Lhotellier
- Cherchons les valeurs interdites de l’expression
3 x − 2
Il s’agit donc de résoudre l’équation 3 x − 2 = 0. On obtient x =
. Il y a donc une seule valeur interdite pour
cette expression :
- Soit f la fonction donnée par f ( x ) =
5 x + 1 (2 x + 1)(4 x − 2)
. Les valeurs interdites de f sont les solutions de l’équation (2 x + 1)(4 x − 2) = 0 qui n’annulent pas le numérateur. C’est une équation produit nul. On a donc 2 x + 1 = 0 ou 4 x − 2 = 0 et ainsi on trouve x = −
ou x =
et ces valeurs n’annulent pas le numérateur. La fonction f possède donc deux valeurs interdites. On en déduit que f n’est pas définie pour ces valeurs. Voici l’allure de C (^) f :
1
2
3
4
5
6
7
− 1
− 2 − 3
− 4 − 5
− 6 − 7 − 8
− 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4
Vous pouvez constater qu’on peut conjecturer par lecture graphique que −
et
n’ont pas d’image par f.
EXEMPLE 4 :
S. Lhotellier
Équation 1 :
x^2 = 2 x
On a alors, si x 6 = 0 :
x^2 x
x = 2
Si maintenant x = 0 on a aussi x^2 = 2 x. Ainsi, les solutions sont 0 et 2. Notez qu’ici il est préférable d’écrire x^2 − 2 x = 0 ou encore x ( x − 2) = 0
Équation 2 :
1 x
x^2 On a alors , si x 6 = 0 et x^2 6 = 0 : x^2 = x x^2 − x = 0 x ( x − 1) = 0 x = 0 ou x = 1
Mais x = 0 et x^2 = 0 uniquement lorsque x = 0 :cette valeur est donc à exclure. Ainsi, seule x = 1 est la so- lution à retenir.
Équation 3 :
4 x + 2 2 x + 1
On a alors, pourvu que 2 x + 1 6 = 0 soit x 6 = −
4 x + 2 = 2 x + 1 2 x = − 1
x = −
Cette valeur est exclue et il n’y a donc pas de solutions.
Voici ce qu’il faut retenir :
Soient E ( x ), F ( x ) des expressions. Pour résoudre l’équation E ( x ) = F ( x ) il faut
- Chercher l’ensemble D des valeurs en lesquelles les deux expressions sont correctement définies : c’est l’ensemble de définition de l’équation.
- Transformer l’équation en une équation équivalente en travaillant avec x ∈ D.
- Résoudre l’équation trouver et s’assurer que les solutions trouvées sont dans D.
Methode 2 Résolution rigoureuse d’équation
- On souhaite résoudre l’équation 5 3 x + 6
Il y a un quotient et on va donc chercher les valeurs interdites : ce sont les solutions de l’équation 3 x + 6 = 0 et on trouve donc x = −2. Donc l’ensemble de définition de l’équation est D = R \ {−2}. Ainsi, pour x ∈ D l’équation précédente est équivalente à :
5 = 2 × (3 x + 6) 5 = 6 x + 12 − 7 = 6 x
−
= x
Puisque −
n’est pas une valeur interdite on a S =
EXEMPLE 5 :
S. Lhotellier
- On souhaite résoudre l’équation 8 x + 1 5 x − 2
Il y a un quotient et on va donc chercher les valeurs interdites : ce sont les solutions de l’équation 5 x − 2 = 0 et on trouve donc x =
.Donc l’ensemble de définition de l’équation est D = R \
Ainsi, pour x ∈ D l’équation précédente est équivalente à :
8 x + 1 = 5 × (5 x − 2) 8 x + 1 = 25 x − 10 11 = 17 x 11 17
= x
Puisque
n’est pas une valeur interdite on a S =
- On souhaite résoudre l’équation − 2 x + 8 x − 4
Il y a un quotient et on va donc chercher les valeurs interdites : ce sont les solutions de l’équation x − 4 = 0 et on trouve donc x = 4.Donc l’ensemble de définition de l’équation est D = R \ {4}. Ainsi, pour x ∈ D l’équation précédente est équivalente à :
− 2 x + 8 = 4 × ( x − 4) − 2 x + 8 = 4 x − 16 24 = 6 x 24 6 = x
4 = x
On trouve la valeur interdite!! C’est une valeur à exclure et il n’y a donc pas de solution : S = ;.
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- Cette équation est définie pour x 6 =
car 3 x + 2 = 0 ⇔ x = −
. Ainsi, en notant D = R \
, on peut écrire, pour x ∈ D :
2 x + 3
2 x + 3 =
2 x =
2 x =
x =
x =
A
= B donc A =
B
− 14 5 2 = − 14 5 × 1 2
Puisque
∈ D on a S =
- Équation dans le même esprit que la précédente. Ici, elle est définie lors que x^2 + 1 6 = 0 ce qui est toujours le cas! Donc pour tout réel x on peut écrire :
1 x^2 + 1
x^2 + 1 =
x^2 =
x^2 =
A
= B donc A =
B
Mais on sait que l’équation x^2 = k ne possède aucune solution dès que k < 0. Ici on a −
< 0 donc notre équation ne possède pas de solutions.
- Cette équation est définie lors que
p x + 3 l’est et et non nul, ce qui nécessite que x > 0. Donc l’ensemble de définition de cette équation est D = [0;+∞[. Pour x ∈ D on a :
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- (suite)
1 p x + 3
p x + 3 = 6
p x = 6 − 3
p x = 3
x = 32
x = 9
A
B
donc A = B
Puisque 9 ∈ D on a S = (^) {9}.
- Cette équation est définie lorsque 3 x + 5 6 = 0 et 5 x − 1 6 = 0 soit pour x 6 =
et x 6 =
. Ainsi, en notant
D = R \
, on peut écrire, pour x ∈ D :
3 x + 5
5 x − 1
3 x + 5 = 5 x − 1
3 x − 5 x = − 1 − 5
− 2 x = − 6
x =
x = 3
A
B
donc A = B
Puisque 3 ∈ D on a S = (^) {3}.
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Cherchons les nombres non nuls qui sont égaux à leurs inverses. Si x est un tel nombre alors x =
x
- On peut chercher à résoudre graphiquement cette équation en traçant la courbe représentative de la fonction inverse ainsi que la droite d’équation y = x :
On constate qu’il y a deux points d’intersection d’abscisse 1 et −1, ce qui nous donne les solutions au problème posé.
- Voyons comment résoudre le problème par le calcul. L’équation est x =
x
est n’est définie que pour x 6 = 0. En
multipliant de chaque côté par x 6 = 0 il vient x × x =
x
× x = 1 donc x^2 = 1. Or, on sait que l’équation x^2 = k avec k > 0 possède pour solution
p k et −
p k. Puisqu’ici k = 1 on a donc x = 1 ou x = −1. Ainsi, seuls −1 et 1 sont égaux à leurs inverses : 1 1
EXEMPLE 7 :
La fonction inverse est impaire
PROPOSITION 4 :PARITÉ DE LA FONCTION INVERSE
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- L’inverse d’un nombre strictement positif est un nombre strictement positif :
Si a > 0 alors
a
- L’inverse d’un nombre strictement négatif est un nombre strictement négatif :
Si a < 0 alors
a
On résume ces propriétés avec un tableau de signes :
x
x
La double barre présente dans ce tableau symbolise le fait que 0 est une valeur interdite pour la fonction in- verse.
PROPOSITION 5 :SIGNE DE LA FONCTION INVERSE
3.2 Ordonner des inverses
- La fonction inverse renverse l’ordre sur les nombres strictement positifs :
Si 0 < a 6 b alors
a
b
- La fonction inverse renverse l’ordre sur les nombres strictement négatifs :
Si a 6 b < 0 alors
b
a
Ainsi :
la fonction inverse renverse l’ordre sur les nombres de même signe.
PROPOSITION 6 :
On peut s’aider de schéma pour retenir ce résultat :
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- On a 2 < 5 et ces deux nombres sont strictement positifs donc
- On a − 7 < −3 et ces deux nombres sont strictement négatifs donc
- On a − 6 < 9 et ces deux nombres sont de signes contraires!!! Donc les inverses sont rangés dans le même sens :
Plus généralement :
Des nombres non nuls de signes contraires ont des inverses rangés dans le même ordre.
- Si x ∈]2;4] alors on a : 2 < x ≤ 4 Les nombres considérés sont strictement positifs et on a donc(faites un dessin!) :
1 2
x
soit
x
[
[
- Si x ∈ [−5;−0.5[ alors on a :
− 5 6 x ≤ −0.
Les nombres considérés sont strictement négatifs et on a donc (faites un dessin!) :
1 − 5
x
soit
x
]
[
car
= −2 et
EXEMPLE 8 :
S. Lhotellier
1. Si x > 2 alors on travaille avec des nombres strictement positifs et on a 0 <
x
Ainsi, si x ∈ [2;+∞[ alors
x
]
]
. On peut s’aider d’un dessin :
1
− 1
− 2
− 4 − 3 − 2 − (^11 2 3) x 4
1 x × b
×
×
×^ b
2. Si x 6 −3 alors on travaille avec des nombres strictement négatifs et on a 0 >
x
Ainsi, si x ∈] − ∞;−3] alors
x
[
[
. On peut s’aider d’un dessin :
−0.
−1.
− 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1
x
1 x
b
×
×^ b b ×
EXEMPLE 9 :
