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PROBABILITÉS
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dvx_O37gfyY
Partie 1 : Rappels sur les calculs de probabilités
- Expérience aléatoire
- On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure.
- On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits
sur la face du dessus.
- On fait tourner une roue marquée sur ses secteurs de couleurs
différentes et on regarde le secteur marqué par la flèche.
Définitions : Une expérience (lancer une pièce par exemple) est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs
résultats ou issues (PILE ou FACE par exemple) et que l’on ne peut pas prévoir quel résultat se
produira.
L’ensemble de toutes les issues d’une expérience s’appelle l’ univers.
- Évènement
Exemples :
On lance un dé à six faces.
« Obtenir un chiffre pair » est l’évènement constitué des issues : 2 ; 4 et 6.
« Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 2 » est l’évènement constitué des issues : 1 et 2.
Définition : Un évènement est constitué d’ une ou plusieurs issues d’une même expérience
aléatoire.
- Probabilité
Exemple :
Dire que la probabilité d’un évènement est de 0,8 signifie que cet évènement à 8 chances sur 10
ou 80 % de chance de se produire.
Définition : La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime
« la chance » qu’a un évènement de se produire.
Remarques :
- Un évènement dont la probabilité est égale à 0 est un évènement impossible.
- Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certain.
- Lorsque chaque issue a autant de chance de se produire, on dit qu’il y a équiprobabilité.
Propriété : En cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènement A est :
P ( A )=¿
Nombre d
'
issues favorables à A
Nombre d
'
issues total
Méthode : Calculer une probabilité (1)
Vidéo https://youtu.be/d6Co0q01QH
On lance un dé à 6 faces. On considère les évènements :
E
= « On obtient un 3 »
F = « On obtient un chiffre pair »
G = « On obtient un chiffre strictement supérieur à 3 »
Calculer la probabilité que ces évènements se réalisent.
Correction
Nombre d’issues favorables à E : 1
Nombre d’issues total : 6
En effet, le dé à 6 faces.
P ( E )=
Nombre d’issues favorables à F : 3
Pour avoir un nombre pair, il faut obtenir un 2, un 4 ou un 6.
P ( F ) =
Nombre d’issues favorables à
G
Pour avoir un chiffre strictement supérieur à 3, il faut obtenir un 4, un 5, ou un 6.
P ( G )=
Méthode : Calculer une probabilité (2)
Vidéo https://youtu.be/5ZNYG3e2g_k
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit
E
l’évènement : « On tire un as ».
Quelle est la probabilité que l’événement
E
se réalise?
Correction
Il a 32 issues possibles car il existe 32 façons différentes de tirer une carte.
L’évènement
E
possède 4 issues possibles : As de cœur, as de carreau, as de trèfle, as de pique.
Méthode : Utiliser une loi de probabilité
Vidéo https://youtu.be/i24AGpzHviE
On tire au hasard un jeton dans le sac contenant des jetons numérotés de 1 à 5.
Le tableau présente les probabilités de toutes les issues (loi de probabilité).
a) Compléter le tableau de la loi de probabilité.
b) Calculer la probabilité de l’évènement
E
: « Tirer un chiffre pair ».
c) Décrire l’évènement
E
puis calculer sa probabilité.
Correction
a)
La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1, donc :
P ( 1 )+ P ( 2 )+ P ( 3 )+ P ( 4 )+ P ( 5 )= 1
+ P ( 3 )+
P ( 3 ) +
P ( 3 )= 1 −
P ( 3 )=
b) L’évènement E possède deux issues : 2 et 4
Donc, d’après le tableau :
P ( E )=
La probabilité tirer un chiffre pair est égale à
c ¿ E est l’évènement : « Ne pas tirer un chiffre pair »
P ( E )= 1 − P ( E )= 1 −
Issues 1 2 3 4 5
Probabilités
Issues 1 2 3 4 5
Probabilités
- Réunion et intersection de deux événements
Exemple :
Soit les évènements : A ={ 1 ; 2 }et B ={ 1 ; 3 ; 4 }.
Alors
A ∩ B ={ 1 }
et
A ∪ B ={ 1 ; 2 ; 3 ; 4 }.
Méthode : Calculer la probabilité d’une intersection
Vidéo https://youtu.be/VprpP3e_R-
On lance un dé à six faces et on considère les événements suivants :
A : « Obtenir un multiple de 2 ».
B : « Obtenir un nombre inférieur ou égale à 4 ».
a) Décrire par une phrase l’évènement
A ∩ B
b) Déterminer les issues des évènements : A , B et A ∩ B.
c) Calculer P ( A ), P ( B ), P( A ∩ B ).
Correction
a) A ∩ B : « Obtenir un multiple de 2 inférieur ou égale à 4. »
b) On a : A ={ 2 ; 4 ; 6 } et B ={ 1 ; 2 ; 3 ; 4 }.
Donc A ∩ B ={ 2 ; 4 }.
c ¿ P ( A )=
P ( B )=
P ( A ∩B )=
Théorème : P ( A ∪ B )= P ( A ) + P ( B )− P ( A ∩B )
Méthode : Calculer la probabilité d’une réunion
Vidéo https://youtu.be/y4P_BP-ldxk
On lance un dé à six faces et on considère les événements suivants :
A : « On obtient un nombre impair »
B
: « On obtient un multiple de 3 »
a) Calculer P ( A ), P ( B ), P ( A ∩ B ).
b) Calculer la probabilité de l’événement A ∪ B. Interpréter le résultat.
er
niveau de l’arbre : issues du 1
er
lancer (
ère
épreuve).
e
niveau de l’arbre : issues du 2
e
lancer (
e
épreuve).
On inscrit à droite de l’arbre le bilan des issues des deux
épreuves.
A l’aide de l’arbre des possibles, on peut dénombrer les
issues de l’expérience :
● On compte 4 issues en tout :
(P ; P), (P ; F), (F ; P) et (F ; F).
● L’événement E possède 3 issues :
(P ; P), (P ; F) et (F ; P).
La probabilité que l’événement
E
se réalise est donc égale à
Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois « PILE » lorsqu’on lance deux fois
de suite une pièce de monnaie.
Remarque :
Une autre solution consisterait à calculer la probabilité de l’évènement contraire « On obtient
deux fois FACE ».
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