Télécharge Sciences mathématiques - exercitation 2 et plus Exercices au format PDF de Logique sur Docsity uniquement!
[ Baccalauréat C Nantes juin 1979 \
EXERCICE 1 4 POINTS
Soit f l ?application de C dans C définie par
f ( z ) = z^3 + (− 7 + 3i) z^2 + (12 − 16i) z + 4(1 + 7i).
On considère
E = { z ; z ∈ C, f ( z ) = 0}.
1. Montrer que E contient un élément de la forme z 0 = λ i où λ est un réel. 2. Déterminer les éléments z 0 , z 1 , z 2 , de E : on notera z 1 l’élément de E , autre que z 0 , qui a une même partie imaginaire que z 0. 3. Soit A, B, C les images respectives de z 0 , z 1 , z 2 dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Déterminer les éléments de la similitude directe qui transforme le bipoint (A, B) en le bipoint (A, C).
EXERCICE 2 4 POINTS
1. Soit deux urnes U 1 et U 2 ; la première contient 6 boules blanches et 4 boules noires ; la seconde contient 8 boules blanches et 2 boules noires. D’une des deux urnes, choisie au hasard (il y a équiprobabilité pour ce choix), on extrait une boule que l’on remet dans l’urne : si la boule était blanche on recommence le tirage dans la même urne ; si la boule était noire on recommence le tirage dans l’autre urne. Cette règle est appliquée à chaque tirage et l’on suppose qu’à l’intérieur de chaque urne les tirage sont équiprobables. Soit Pn la probabilité pour que le n -ième tirage se fasse dans l’urne U 1
n ∈ N⋆
a. Déterminer P 1. b. Déterminer P 2 : on se rappellera que le second tirage s’est fait dans U 1 soit parce que le premier tirage a été d’une boule blanche dans U 1 , soit parce que le premier tirage a été d’une boule noire dans U 2. c. Démontrer qu’il existe une relation de récurrence vérifiée par la suite ( Pn ), de la forme :
∀ n , n > 2 : P − n = aPn − 1 + b
où a et b sont des réels que l’on déterminera.
2. Soit la suite réelle ( un ), dont le terme général est défini pour tout n entier stric- tement positif par
u 1 =
un =
un − 1 +
∀ n , n > 2
a. Déterminer le réel α tel que le suite ( Vn ), dont le terme général est défini pour n entier strictement positif par Vn = un − α soit une suite géomé- trique. b. En déduire que la suite ( un ) est convergente ; trouver alors la limite de Pn quand n tend vers l’infini.
Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.
PROBLÈME 12 POINTS
Partie A
Soit E l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2, à coefficients réels. Si A et B appar- tiennent à E et si? est un réel, on note A + B la somme des matrices A et B A × B le produit de la matrice B par la matrice A dans cet ordre λ · A le produit de la matrice A par le réel ?. On rappelle que (E ,+,.) est un espace vectoriel sur R et que (E ,+,×) est un anneau unitaire, non commutatif, non intègre. Soit M l’ensemble des matrices de la forme
M ( a ; b ) =
a + b a − b a − b a + b
où a et b sont des réels.
1. Démontrer que (M , +, .) est un espace vectoriel sur R. Préciser la dimension et une base de cet espace vectoriel. 2. Soit A = M (1 ; 0) et B = M (0 ; 1). Calculer A^2 , B^2 , A × B, B × A. En déduire que (M , +, ×) est un anneau unitaire, commutatif. Cet anneau est-il intègre? 3. Soit M 1 l’ensemble des éléments inversibles de l’anneau M. a. Déterminer M 1. b. Quelle est la structure de (M 1 , ×)?
Partie B
Soit π un plan vectoriel et B =
ı ,
une base de ce plan. On considère ϕa , b l’endomorphisme de π dont la matrice dans B est M ( a , b ).
1. Déterminer, suivant les valeurs de a et b , le noyau et l’image de ϕa , b. Dans chaque cas, on indiquera une base de ces espaces vectoriels, s’il en existe. 2. Déterminer les nombres réels k pour lesquels l’équation ϕa , b
u
− k
u =
(dans laquelle le vecteur
u de π est l’inconnue) admet d’autres solutions que le vecteur
On explicitera, pour chacune des valeurs de k trouvées, l’ensemble des solu- tions de (1).
3. On pose
I =
ı −
et
J =
ı +
Vérifier que B′^ =
I ,
J
est une base de π. Quelle est la matrice M de ϕa , b dans B′^?
4. Déterminer les applications ϕa , b qui sont des projections vectorielles. Dans chacun des cas, on précisera les éléments caractéristiques de la projec- tion trouvée en remarquant, le cas échéant, s’il s’agit ou non de sous-espaces vectoriels propres. 5. Déterminer les applications ϕa , b qui sont des automorphismes involutifs. Dans chacun des cas, on précisera les éléments caractéristiques de l’involu- tion trouvée.
Partie C
Nantes 2 juin 1979
