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[ Baccalauréat C Orléans–Tours septembre 1979 \
EXERCICE 1 4 POINTS
1. Étudier la fonction f : R → R définie par
f ( x ) =
Log x x et tracer sa représentation graphique.
2. Montrer qu’il y a un unique couple ( x ; y ) d’entiers naturels non nuls tels que :
xy^ = y x^ et x < y.
3. Pour tout entier n > 3, on pose
un =
Log 3 3
Log 4 4
Log n n
a. Comparer un à
∫ n + 1
3
f ( x ) d x.
b. En déduire la limite de la suite ( un ) n > 3 lorsque n tend vers l’infini.
EXERCICE 2 3 POINTS
1. Dans le système décimal, déterminer le chiffre des unités de 2 n^ et de 7 n^ , sui- vant les valeurs de l’entier naturel n. 2. Application : Trouver le chiffre des unités du nombre 3548^9 × 253731?
PROBLÈME 13 POINTS
Les notations et résultats donnés dans l’énoncé du 1 sont utiles dans les questions 2, 3, 4 de B.
Soit le nombre complexe −
p 3 2
On pourra utiliser sans la démontrer l’égalité 1 + + ^2 = 0.
Partie A
C et considéré comme espace vectoriel sur R de base B = (1 ; i). Soit ϕ l’application de C dans C qui à tout complexe z = x + i y associe le complexe ϕ ( z ) = x + y.
1. Montrer que ϕ est une application linéaire bijective. 2. Pour tout z appartenant à C, on pose N ( z ) = | ϕ ( z )|^2. Montrer que N ( x + i y ) = x^2 − x y + y^2. 3. Soit Ω l’ensemble des complexes z vérifiant N ( z ) = 1.
Ω = { z ∈ C, N ( z ) = 1
Soit Ω′^ l’ensemble des éléments de Ω dont les coordonnées dans B sont des entiers relatifs.
Ω′^ = { z ∈ Ω, ∃( x ; y ) ∈ Z^2 z = x + i y
Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.
a. Montrer que si z = x + i y appartient à Ω′, alors
| x | 6 1 et | y | 6 1
b. En déduire que Ω′^ est formé de six éléments que l’on déterminera. c. Déterminer ϕ
. Donner le module et un représentant de l’argument de chaque élément de ϕ
Montrer que ϕ
est un groupe multiplicatif commutatif.
Partie B
Soit P un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé direct R =
O,
u ,
v
Un point M de P est repéré par ses coordonnées ( x ; y ) dans R ou par son affixe z = x + i y.
1. Montrer que l’image d’une ellipse de foyers F et F′, de grand axe de longueur 2 a par une isométrie affine est une ellipse dont on précisera les foyers et la longueur du grand axe. 2. Soit E l’ellipse dont une équation cartésienne dans R est
x^2 2
y^2 2
a. Déterminer les foyers et la longueur du grand axe de E. b. Trouver une équation cartésienne dans R de l’image de E par la rotation de centre O et dont une mesure de l’angle est
π 4
(en radians).
c. On appelle Γ (resp. Γ′) l’ensemble des points de P dont l’affixe appar- tient à Ω (resp. Ω′) (Ω et Ω′^ définis au 1). Déduire du b. la nature de Γ. Dessiner Γ et Γ′.
3. Soit
A =
a − b b a − b
une matrice à coefficients réels, de déterminant égal à 1. Soit F l’application affine de P dans P telle que F (0) = 0 et dont l’application linéaire associée a pour matrice A dans la base
u ;
v
(Si M a pour affixe z , on notera f ( z ) l’affixe de F ( M ). a. Montrer que, pour tout z appartenant à C, N ( f ( z )) = N ( z ). En déduire que F (Γ) est inclus dans Γ. b. Montrer que pour tout z appartenant à C on a
ϕ ( f ( z )) = ( a + b ) ϕ ( z ).
En déduire que, pour tout z appartenant à C
( ϕ ◦ f ϕ −^1 ( z ) = ( a + b ) z.
c. Soit φ l’application ponctuelle associée à l’application complexe ϕ. (Si M a pour affixe z , φ ( M ) a pour affixe ϕ ( z ). Déduire du b. la nature de l’application φ ◦ F ◦ φ −^1. En préciser les élé- ments caractéristiques.
Orléans–Tours 2 septembre 1979
