[Baccalauréat C Poitiers juin 1979 \
EXER CIC E 1 3 POINTS
Soit A l’entier naturel qui s’écrit 1 x5y4 dans le système de numération à base six.
Déterminer tous les couples (x;y) de N×Ntels que :
1. A soit divisible par 33.
2. A soit divisible par 70.
EXER CIC E 2 4 POINTS
Soit fla fonction définie par
f(x)=(x−1)+(x+1)e−x.
1. Démontrer que fest dérivable dans Ret étudier le sens de variations de sa
fonction dérivée f′. En déduire le signe de f′.
2. Étudier la fonction f, et tracer sa courbe représentative C dans un repère or-
thonormé,
3. Démontrer que fpossède une fonction réciproque g, que l’on ne cherchera
pas à calculer et dont on précisera les propriétés (ensemble de définition, sens
de variations, continuité, dérivabilité).
PROB LÈM E 13 P OIN TS
Soit P un plan affine euclidien orienté muni d’unrepère orthonormé direct ³O, −→
ı,−→
´.
On désigne par B l’ensemble des éléments zdu corps Cdes nombres complexes tels
que |z| < 1.
Pour tout nombre complexe a, on appelle fala fonction de Cdans Cdéfinie par :
fa(z)=z+a
az +1
et on désigne par Fala fonction de P dans P qui au point Md’affixe zassocie le point
M′d’affixe z′=fa(z).
On rappelle que, si Ma pour coordonnées (x;y), son affixe est z=x+iy
Partie A
1. Préciser F0; pour quelles valeurs de a,Faest-elle une fonction constante ?
2. Quel est, suivant les valeurs de a, l’ensemble des points invariants par Fa?
3. On suppose que aest un nombre réel de l’intervalle ] −1 ; 1[.
a. Montrer que la restriction hade faà B est une fonction de B dans B.
Vérifier que son ensemble de définition est B.
b. On appelle H l’ensemble des applications halorsque adécrit ] −1 ; 1[.
Montrer que H muni de la composition des applications, est un groupe
commutatif en précisant l’élément neutre et le symétrique d’un élément
haquelconque de H.
Le nombre complexe aétant de nouveau quelconque, montrer que la restric-
tion gade aàRest une fonction à valeurs réelles si et seulement si aest un
réel.
Partie B
