Télécharge Sciences statistiques - Exercice 10 et plus Exercices au format PDF de Statistiques sur Docsity uniquement!
Terminale S mai 2002
Concours Fesic 2002
1. EXERCICE 1
Soit f la fonction définie par
(^2) ln( )
x f x x
, D son ensemble de définition et C sa courbe
représentative.
a. On a D=]0, +[.
b. La courbe C admet une droite asymptote en +.
c. Pour tout x D, on a : ( )
2
x f x .
d. Pour tout x D, on a : 2
(^2) (ln )
f x x x
2. EXERCICE 2
Soit f la fonction définie sur par f x ( ) x sin( x )et C sa courbe représentative.
a. Pour tout réel x , on a : f '( ) x 1 cos( x ).
b. On a : 0
lim 1 x
f x
x
c. La courbe C coupe la première bissectrice en chaque point d’abscisse
x k , où k .
d. La courbe C admet la première bissectrice comme droite asymptote en +.
3. EXERCICE 3
Soit f et g les fonctions définies par f x ( ) ln( x 1 1) et
2 ( ) 2
x x g x e e
. On note C la courbe
représentative de f et celle de g.
On considère la rotation R de centre O et d’angle
2
. On note M ’ le point de coordonnées ( x ’, y ’) et
d’affixe z ’, image par R du point M de coordonnées ( x , y ) et d’affixe z.
a. L’ensemble de définition de f est I =]–1, +[.
b. On a : z ’= iz.
c. On a :
x y
y x
^
d. Tout point M de la courbe C a une image M ’ par R qui appartient à la courbe .
4. EXERCICE 4
On rappelle que 2< e <3. Soit f la fonction définie sur par ( )
1
x
x
e f x e
a. La fonction f est paire.
b. On a : lim ( ) 0 x
f x
et lim ( ) 1 x
f x
c. On a :
0
lim '( ) x^4
f x
et 0
lim '( ) x^4
f x
d. On a :
2 2
0
( ) ln 2
e f x dx
5. EXERCICE 5
On rappelle que 2< e <3. Soit f la fonction définie sur par
2 ( ) ( 1)
x f x x e.
a. La fonction f vérifie l’équation
2 ( ) '( ) 2 ( )
x x y x y x e.
b. L’équation
f x a deux solutions distinctes.
Pour réel, on pose
1
I ( ) f x dx ( )
c. Pour tout réel , on a :
2 2
I e e
d. On a : lim I ( )
6. EXERCICE 6
On considère les fonctions définies par
1 ( ) [2 cos ]
x f x x e
et
sin ( ) 1 2 cos
x g x x
On note G la primitive de g valant 1+ln3 en 0 et I son intervalle de définition.
a. On a I =.
b. Pour tout x I , on a : G x ( ) ln[ ( )] f x.
c. La fonction G est strictement monotone sur I.
d. On a :
1
0
( ) ln (0)
f g x dx f
7. EXERCICE 7
Soit f la fonction définie par
x f x x
et D son ensemble de définition.
On note
2
0
I f x dx ( )
et, pour tout n
,
2 /
0
x n un f x e dx
a. Il existe deux réels a et b tels que, pour tout x D , on ait : ( ) 2
b f x a x
b. La suite n *
n
u
est décroissante.
c. Pour tout n
,
2/ n I un e I.
d. La suite n *
n
u
a pour limite 4 – ln2.
8. EXERCICE 8
On considère l’équation différentielle y '( ) x 2 ( ) y x 0 (E 1 )
a. Les solutions de (E 1 ) sont les fonctions
/ 2 ( )
x y x Ke où K .
b. L’équation (E 1 ) admet une unique solution vérifiant la condition y (0)=2 et c’est la fonction
2 ( ) 1
x y x e .
On considère l’équation
3 ( ) '( ) ( ) 2
x x u x u x e
(E 2 )
c. Une fonction f vérifie l’équation (E 2 ) si et seulement si la fonction g , définie pour tout x , par
3 ( ) ( ) 1
x g x e f x est solution de l’équation (E 1 ).
d. La fonction
3 ( ) 2
x x f x e e
est l’unique fonction u vérifiant l’équation (E 2 ) et la condition u (0)=1.
b. On a : HA HC. 3.
Soit ( P ) le plan passant par A et perpendiculaire à la droite ( HC ).
c. Pour tout point M de ( P ), on a : (^) HM HC. 3.
d. Le plan ( P ) est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant :
( MA 2 MB 2 MC ). HC 9
14. EXERCICE 14
Soit ( SMN ) un triangle isocèle de sommet principal S , de cercle inscrit de centre et de rayon 1. On note
Q , P , O respectivement, les points de contact du cercle inscrit avec les segments [ SM ], [ SN ] et [ MN ].
Enfin on pose OS = x.
a. On a :
x 1
OM QS
b. On a :
2 QS x x ( 2).
c. On a :
2
x OM x
On rappelle que le volume d’une section de cône est égale au tiers du volume de la section de cylindre
correspondante (c’est à dire de même base et de même hauteur). Soit V le volume du cône engendré par
rotation du triangle ( SMN ) autour de l’axe ( SO ).
d. Le volume V est minimum pour x =4.
15. EXERCICE 15
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient :
une boule numérotée 0,
une boule numérotée 1,
21 boules numérotées 2,
2 boules numérotées 3,
2 k–^1 boules numérotées k ( k entier compris entre 1 et n ),
n– 1 boules numérotées n.
Les boules sont indiscernables au toucher. On extrait au hasard une boule de l’urne et on note X la
variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée.
a. L’urne contient 2 1
n boules.
b. Pour tout entier naturel k tel que 1 k n , on a :
1 ( ) 2
n k P X k
.
c. On a pour n 2 :
1
1
n k n
k
k n
d. On a : ( ) ( 1)2 1
n E X n .
16. EXERCICE 16
Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On dispose de deux urnes U et V. L’urne U contient 2 boules
blanches et n boules noires ; l’urne V contient n boules blanches et 2 boules noires. On choisit au hasard
l’une des deux urnes, puis on tire deux boules de cette urne, successivement et sans remise.
On désigne par U l’événement : « on choisit l’urne U », par V l’événement : « on choisit l’urne V » et par
B l’événement : « les deux boules tirées sont blanches ».
a. On a :
P
B U
n n
b. On a :
2 2 ( ) ( 2)( 1)
n n P B n n
c. 2
P U B
n n
d. Pour que P U ( / B ) 0,1, il suffit que n 4.
