Télécharge Sciences statistiques - Exercice 13 et plus Exercices au format PDF de Statistiques sur Docsity uniquement!
Concours Fesic 2004 - Enoncé
Exercice 1 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O ; u v , ). On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a = −2 − 2 i , b = 2, c = 2 + 4 i , d = −2 + 2 i. a. ABCD est un parallélogramme.
b. Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle 2
^ , est un point de l’axe des
abscisses. c. Soient f = 6 i − 4 et F le point d’affixe f. Le triangle CDF est rectangle et isocèle en D. d. Soient g = −2 i et G le point d’affixe g. Le triangle CDG est rectangle et isocèle en D.
Exercice 2 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O ; u v , ).
a. La partie réelle de (1 2 ) i^5 est 41.
b. On considère trois points A, B, C d’affixes respectives a , b et c. L’écriture ( b c ) i a ( c ) caractérise une homothétie de centre C et de rapport i. c. (1 i )^20 est un réel.
d. L’équation z^4 1 0 possède quatre solutions distinctes dans.
Exercice 3 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O ; u v , ). Soient A le point d’affixe a = 1 − i et B le point d’affixe b = 2 i − 3. A tout point M d’affixe z , on associe le point M’ d’affixe 1 3 2
^
Z z^ i z i
a. L’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel est le segment [AB]. b. Pour tout z différent de −3 + 2 i et de −3 − 2 i , on obtient la forme algébrique de Z par le calcul : ( 1 )( 3 2 ) ( 3 2 )( 3 2 )
z i z i z i z i
c. L’ensemble des points M d’affixe z tels que M’ soit un point de l’axe des ordonnées est le cercle
d’équation
^
x (^) y .
d. Soit z 0 une solution de l’équation^1 3 2
z i (^) i z i
(on admet l’existence d’une telle solution). Le
point M 0 d’affixe z 0 est un point de la médiatrice de [AB].
Exercice 4
Soit f la fonction définie par ( ) , si^0 cos , si 0
e x x f x x x
. On appelle C sa représentation graphique dans
un repère du plan. Soit Γ la représentation graphique de la fonction exponentielle x ex dans le même repère. a. Dans la portion du plan correspondant aux points d’abscisses négatives, C est l’image de Γ par la symétrie axiale dont l’axe de symétrie est l’axe des abscisses. b. f est continue en 0. c. f est dérivable en 0. d. L’équation f ( x ) = 0 possède une et une seule solution dans l’intervalle (^) ; .
Exercice 5 On donne ci-dessous la représentation graphique de trois courbes C 1 , C 2 et C 3. L’une d’elles est la représentation d’une fonction, les deux autres sont les représentations de deux de ses primitives. On note f 1 la fonction représentée par C 1 , f 2 celle représentée par C 2 et f 3 celle représentée par C 3.
a. f 1 est une primitive de f 2. b. f 3 est la dérivée de f 1. c. On considère la surface plane délimitée par la courbe C 3 , l’axe des abscisses , l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = −1. L’aire, en unités d’aire, de cette surface est f 2 (−1). d. Soit x . Soient M 1 le point de C 1 d’abscisse x et M 2 le point de C 2 de même abscisse. La distance M 1 M 2 est constante.
Exercice 6 On donne ci-dessous la représentation graphique de deux courbes C 1 et C 2. C 1 représente une fonction f dérivable sur ; C 2 représente la dérivée f ’ de f. On appelle f ’’ la dérivée seconde de f , c’est-à-dire la dérivée de f ’.
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
x
y
C 3
C 2
C 1
d. On suppose dans cette question que la suite ( un ) (^) n vérifie pour tout entier naturel n , un (^) 1 ln un et que u 0 (^) u 1. On ne suppose pas que la suite ( un ) (^) n converge.
La suite ( un ) (^) n est décroissante.
Exercice 10
On considère la suite complexe ( zn ) (^) n définie par z 0 1 et, pour tout entier n , 1 1 2
^
n n z iz. Pour
n entier naturel, on appelle Mn le point d’affixe zn.
a. La suite zn n est une suite géométrique de raison^1
b. Quel que soit n entier naturel, les triangles OM Mn n 1 sont rectangles.
c. Mn appartient à l’axe des abscisses si et seulement si n est un multiple de 4.
d. Pour tout n entier naturel,
4 2
i^ n n (^) n z^ e.
Exercice 11
Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O ; i , j ). On considère dans ce repère les points A(1 ; −1), B(5 ; 3) et I le milieu de [AB]. Soit (G ) n (^) n la suite de points définie par :
- G 0 = O,
- Pour n entier naturel, G n +1 est le barycentre de {(G n ; 2), (A ; 1), (B ; 1)}. On appelle ( xn ; yn ) les coordonnées de G n. a. G 1 , G 2 et G 3 sont alignés. b. Quel que soit n , G n +1 est l’image de G n par l’homothétie de centre I et de rapport 2. c. La suite ( u (^) n ) (^) n définie par un xn 3 est une suite géométrique de premier terme −3 et de
raison^1 2
d. Pour tout n , 3 1 1 2
^
x n (^) n .
Exercice 12 On considère une droite graduée Δ d’origine O. On considère les suites de points (G ) n (^) n et (H ) n (^) n définies ainsi :
- G 0 = O,
- Pour n entier naturel, G n +1 est le barycentre de {(G n ; 2), (H n ; 3)},
- H 0 a pour abscisse 1,
- Pour n entier naturel, H n +1 est le barycentre de {(G n ; 3), (H n ; 2)}. On appelle gn et hn les abscisses respectives de G n et H n.
a. La suite ( g (^) n hn )est une suite géométrique de raison^1 5
b. La suite ( gn hn )est une suite constante.
c. Les deux suites gn et hn convergent vers la même limite. d. Les suites gn et hn sont adjacentes.
Exercice 13
Une urne contient 3 boules : une bleue, une verte et une rouge. Soit n un entier supérieur ou égal à
- On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise intermédiaire. On suppose les tirages équiprobables et indépendants et on appelle p la probabilité associée à cette expérience. On définit de plus les événements suivants :
- On appelle An l’événement : « Les n − 1 tirages ont donné la même boule et la n ième^ boule tirée est différente des précédentes » ;
- Lorsque k est un entier compris entre 1 et n , on appelle Bk , Vk et Rk les événements respectivement associés au tirage d’une boule bleue, verte ou rouge lors du k ième^ tirage.
a. p B ( 1 (^) B 2 (^) ) 1 p V ( 1 (^) V 2 (^) ) p R ( 1 (^) R 2 ).
b. ( 2 ) 2 3
p A .
c. Pour tout entier n 2 , on a : ( ) (^21) 3
p An n.
d.lim (^) ( 2 ) ( 3 ) ... ( ) (^) ^1 (^3) (^) n p A p A p An .
Exercice 14 La durée de vie d’un moteur est de 5 ans et suit une loi exponentielle de paramètre λ. On utilisera pour les calculs ln 2 0,7. a. La densité de probabilité associée à cette loi est la fonction f définie sur par
5
( ) 0 si [0 ; 5] ( ) 5 si [0 ; 5]
^ ^
t
f t t f t e t
b. On suppose que 50% des clients ont été dépannés durant la garantie. La durée de cette garantie est de 3 ans et demi environ. c. On considère un lot de 10 moteurs fonctionnant de manière indépendante et on appelle X le nombre de moteurs qui n’ont pas de panne pendant les deux premières années.
La probabilité d’avoir X 1 est p X ( 1) e ^4.
d. On est dans les mêmes conditions qu’au c. L’espérance de la variable aléatoire X est 2 E X ( ) 10 e ^5.
Exercice 15 On considère le prisme ABCDEF ci-dessous. Sur ce prisme, I est le milieu de [ AB ], J celui de [ BC ] et ABED et ADFC sont des carrés. On rapporte l’espace au repère ( A ; AB AD AC , , ).
Pour n entier naturel, on appelle Gn le barycentre du système {( A ; 1), ( B ; 1), ( E ; 1), ( D ; n )} (on notera que Gn existe puisque n + 1 + 1 + 1 n’est pas nul).
