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Exercices corrigés de statistiques
Exercice n°
Lors d'une période de sécheresse, un agriculteur relève la quantité totale (en m^3 ) utilisée par son exploitation depuis le premier jour et donne le résultat suivant :
Nombre de jours écoulés xi 1 3 5 8 10
Volume utilisé (en m^3 ) yi 2,25 4,3 8 17,5 27
Le plan est muni d'un repère orthogonal.
On prendra pour unité sur l'axe des abscisses 1 cm pour 1 jour et sur l'axe des ordonnées 0, cm pour 1 m^3.
Représentez alors la série ( xi ; yi ).
Donnez l'équation de la droite des moindres carrés sous la forme y = ax + b ( a et b sont les arrondis à 10-2^ près des valeurs lues sur la calculatrice).
Représentez la droite sur le graphique.
- Le nuage de points permet d'envisager un ajustement par la parabole P qui passe par des points A(1;2,25) et B(10;27), et qui a pour équation y = ax^2 + b où a et b sont deux nombres réels
a) Déterminez a et b et donnez l'équation de la parabole P.
b) Représentez la parabole P sur le graphique.
- Dans cette question, on compare les deux ajustements à l'aide du tableau suivant :
xi 1 3 5 8 10
yi 2,25 4,3 8 17,5 27
2,54 0,91 2,71 Total T 1 :
0 0,05 0,25 Total T 2 :
Les deux totaux calculés évaluent, pour chaque ajustement, la somme des écarts entre les ordonnées des points du nuage et les ordonnées des points de même abscisse de l'ajustement.
Donnez les arrondis à 10-1^ près des deux totaux T 1 et T 2 calculés ci-dessus.
Déduisez l'ajustement qui paraît le mieux adapté.
Correction :
- Les coordonnées du G
sont données par
- L »’équation de la droite des moindres carrés est de la forme y = ax+b avec
et G
On obtient :
L’équation de la droite d’ajustement de y en x est donc y =2,74 x -3,
- a) Si le point A(1;2,25) appartient à la parabole P d’équation y = ax^2 + b , alors les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la parabole, c’est-à-dire
2,25= a x 12 + b <=> a+b =2,
De même pour le point B : 27= a x 102 + b <=>100 a+b =
On résout donc le
L’équation de la parabole est donc y =0,25 x^2 +
b)
b) Donnez l’équation de la droite (G 1 G 2 ) sous la forme y = ax + b (on arrondira les coefficients à 0,1 prés)
c) Calculez la somme des carrés des résidus pour cet ajustement :
d) En utilisant cet ajustement, effectuer une prévision sur les dépenses de l’année 2005.
3) Ajustement des moindres carrés
a) Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de y en x , sous la forme y = mx + p par la méthode des moindres carrés ( les coefficients seront arrondis à 0,1 près ).
b) Représenter D dans le repère précédent.
c) Calculez la somme des carrés des résidus pour cet ajustement :. Conclusion?
d) En utilisant cet ajustement, effectuer une prévision sur les dépenses de l’année 2005.
4) Ajustement logarithmique
La croissance des dépenses semblant « ralentir » entre 1997 et 1999, on envisage un ajustement logarithmique entre 1994 et 1999.
On pose ti =ln( xi )
a) Recopier et compléter le tableau suivant où ti est arrondi est arrondi à 10-
b) Ecrire une équation de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés ( les coefficients seront arrondis à 10 -3^ près ).
c) En utilisant cet ajustement, effectuer une prévision sur les dépenses de l’année 2005.
d) Tracer la courbe d’équation y = f ( x ), où on explicitera l’expression de f
5) Ajustement exponentiel
Si, au contraire de la question 4, on ne s’intéresse qu’aux années 1990 à 1996, la forme du nuage suggère plutôt un ajustement exponentiel.
Pour 0 i 6, on pose zi =ln( yi )
a) Recopier et compléter le tableau suivant où zi est arrondi est arrondi à 10-
ti
yi 673 956 1077 1285 1427 1490
b) Ecrire une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés ( les coefficients seront arrondis à 10 -3^ près ).
c) En utilisant cet ajustement, effectuer une prévision sur les dépenses de l’année 2000.
d) Tracer la courbe d’équation z = g ( x ), où on explicitera l’expression de g
Correction :
- a) Le nuage de points Mi ( xi ; yi ) représentant la série statistique double est :
b) Les coordonnées de G sont :
(représenté par un triangle sur le graphique)
- a) Les coordonnées de G 1 et G 2 sont :
et (représentés par deux carrés sur le graphique)
xi 0 1 2 3 4 5 6 zi
c) Pour cet ajustement,
détail du calcul :
xi (^) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
yi 398 451 423 501 673 956
[ yi - (139,3 xi +241,3)] 2
La somme de cet ajustement étant nettement inférieure à celle du modèle mayer, on peut en déduire que pour la période 1990-1999, le modèle des moindres carrées est plus pertinent
d) L’année 2005 correspond à x =15, donc d’après l’ajustement, à une dépense égale à y =139,3x15+241,3=2330,8 millions d’euros
- a)
b) Une équation de la droite de régression de y en t est donc y =1020,514 t -721,
ti 1,386 1,609 1,792 1,946 2,079 2, yi 673 956 1077 1285 1427 1490
c) L’année 2005 correspond à x =15 donc à t =2,708, donc d’après l’ajustement, à y =1020,514x2,708-721,139=2042,413 millions d’euros
d) Puisque t =ln x , on en déduit y =1020,514ln( x )-721,139.
La courbe de f définie par f ( x )=1020,514ln( x )-721,139 est donnée ci-dessous :
- a)
b) Une équation de la Une équation de la droite de régression de z en x est donc z =0,177 x +5,
c) L’année 2000 correspond à x =10 donc à z =0,177x10+5,857=7,627 et puisque z = ln y on a
donc millions d’euros
d) Puisque z = ln y , on en déduit
xi 0 1 2 3 4 5 6 zi 5,986 6,111 6,047 6,217 6,512 6,863 6,
