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Chapitre 2 - Théorème de Pythagore
Rappel : Triangle rectangle :
On dit qu'un triangle est rectangle quand l'un de ses 3 angles est droit.
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A.
BAC est l'angle droit
[BC] est l'hypoténuse.
1 Théorème de Pythagore.
> Activité de découverte de la formule
Théorème : (de Pythagore)
SI un triangle ABC est rectangle en A, ALORS AB² + AC² = BC².
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés de l'angle droit
Preuve : On reprend les hypothèses de l'activité.
Un quadrilatère qui a 4 cotés égaux avec un angle droit est un carré. Donc ABCD est un carré.
Calculons
P M N :
Dans le triangle AMP rectangle en A, on a
P AM +
AM P +
M P A : = 180° donc
AM P +
AP M = 90°
Les triangles AMP et MBN étant identiques par construction, on a
BM N =
M P A ,
BM N =
P M A.
De plus,
AM P +
P M N +
BM N vaut l'angle plat, c'est à dire 180°.
Or
BM N =
P M A et
AM P +
AP M = 90° donc
P M N + 90 = 180
Donc
P M N = 90°
De manière analogue on démontre facilement que
M N O =
N OP =
OP M = 90°
Donc MNOP est un carré de coté c, donc son aire vaut c².
En disposant les triangles rectangles comme sur la che, on remarque que les aires du carré de coté
b additionné au carré de coté a est égal à l'aire du carré MNOP.
Donc a² + b² = c².
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.
On a alors d'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25.
Donc (en utilisant la touche
de la machine)
BC = 5 cm.
Remarques - Conséquence de la propriété : Si le carré du plus grand coté d'un triangle n'est
pas égal à la somme des carrés des deux autres cotés, alors le triangle n'est pas rectangle.
- On a un théorème analogue si le triangle ABC est rectangle en B, on a BC² + AB² = AC²
ATTENTION! La formule varie suivant le nom du triangle rectangle considéré.
À toi de jouer :
TER est un triangle rectangle en T tel que TE = 6 m et TR = 4 m. Calcule la valeur exacte
de ER puis donne la valeur arrondie au centimètre près.
ARC est un triangle rectangle en A tel que RC = 13 m et AR = 5 m. Calcule la longueur
AC.
EXERCICES n°16p145 / n°19p146 / n°23p146 / n°24p146 / n°25p146 / n°30p147/ n°31p147/
n°32p147/ n°33p
Théorème : (Réciproque de Pythagore)
SI un triangle ABC est tel que AB² + AC² = BC², ALORS il est rectangle en A.
si le carré du coté le plus long est égal à la somme des carrés des 2 autres cotés,
alors le triangle est rectangle
Exemple : ABC est un triangle tel que AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13 cm.
Véri ons si AB² + AC² = BC²
D'une part : AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
D'autre part : BC² = 13² = 169
Puisque AB² + AC² = BC², Alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est rec-
tangle en A.
Exemple : Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle :
NUL est un triangle tel que NU = 42 cm ; LU = 46 cm et LN = 62 cm. Démontre que NUL n'est
pas un triangle rectangle.
Si ce triangle est rectangle, seul le côté [LN] peut être son hypoténuse car c'est le côté le plus long.
Dans le triangle NUL, le plus long côté est [LN] donc on calcule séparément LN² et LU² + NU² :
D'une part,
LN² = 622
LN2 = 3844
D'autre part,
LU² + NU² = 462 + 422
