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Chapitre 6
Vecteurs du plan
6.1 Définitions
6.1.1 Vecteur du plan
Définition 6.
Un vecteur du plan est un objet mathématique défini par :
- une direction (c’est à dire une droite),
- un sens (sur la droite),
- une longueur qu’on appelle aussi norme.
Il est noté par une lettre surmontée d’une flèche de la gauche vers la droite et la norme d’un
vecteur !u est notée ||!u||.
Remarque 6.
Les trois caractéristiques d’un vecteur (direction, sens, norme) ne permettent pas de lui donner
une position. Lorsqu’on « trace » un vecteur, on n’en donne en fait qu’un représentant.
Chaque vecteur a une infinité de représentants, mais pour un point A donné, il existe un unique
représentant d’un vecteur !u ayant pour origine A. Son extremité est un point B. On a alors
!u =
AB
Remarque 6.
Sur la figure ci-dessous on a représenté deux fois un vecteur !u. La flèche de droite est le
représentant de !u d’ origine A et d’ extrémité B. On note !u =
AB.
- La direction de !u est celle de la droite (AB).
- Le sens de !u est celui de A vers B.
- La norme de !u est la distance AB. On a ||!u|| = AB = CD.
!u
!u
A
B
C
D
Remarque 6.3 (Cas particulier)
Le vecteur qui a une norme nulle est appelé vecteur nul. On le note
36 Vecteurs du plan
6.1.2 Vecteurs égaux
Définition 6.
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.
Sur la figure ci-dessous, les vecteurs
AB et
CD sont égaux car :
- les droites (AB) et (CD) sont parallèles (même direction),
- le sens de A vers B est le même que celui de C vers D,
- la distance AB et la distance CD sont égales.
!u
!u
A
B
C
D
Propriété 6.
Soit A, B, C et D quatre points non alignés du plan.
AB =
CD, alors ABDC est un parallélogramme.
- Réciproquement, si ABDC est un parallélogramme, alors
AB =
CD.
!u
!u
A
B
C
D
Remarque 6.
Cette propriété peut aussi s’énoncer comme suit :
Soit A, B, C et D quatre points non alignés du plan.
AB =
CD si et seulement si ABDC est
un parallélogramme.
Les propositions «
AB =
CD » et « ABDC est un parallélogramme » sont dites équivalentes.
Propriété 6.
Soit A, B et C trois points du plan. B est le milieu de [AC] si et seulement si
AB =
BC.
!u
!u
A
B
C
Remarque 6.
Cette propriété signifie que pour A, B et C trois points du plan,
- si B est le milieu de [AC] alors
AB =
BC, et
AB =
BC, alors B est le milieu de [AC].
38 Vecteurs du plan
Exemple 6.
On a tracé ci-dessous le représentant d’un vecteur !u. En posant !v = 2 !u et w! = −
3
4
!u on a :
!v a la même direction que !u, il est de même sens car 2 > 0 et sa norme vaut 2 ||!u||.
w! a la même direction que !u, il est de sens contraire car −
3
4
< 0 et sa norme vaut
3
4
||!u||.
!u
!v
w!
Exemple 6.
Dans le quadrillage ci-dessous, on a placé quatre points A, B, C et D.
! i
! j
A
B
C
E
F
G
Placer les points E, F et G vérifiant les égalités suivantes :
AE =
AB + 3
AC −
CB;
BF =
BA + 4
AC +
EC;
EG = − 2
AC +
AB + BF
Propriété 6.
Soit !u et !v deux vecteurs et λ et μ deux réels quelconques. Alors on a :
λ × (!u + !v) = λ!u + λ!v; (λ + μ)!u = λ!u + μ!u; λ(μ!u) = (λμ)!u
Exemple 6.
Soit !u et !v deux vecteurs. Alors :
2 !u + 3 !u = (2 + 3 )!u = 5 !u.
3(!u − 2 !v) + 2 (!u + !v) = 3 !u − 6 !v + 2 !u + 2 !v = (3 + 2 )!u + (− 6 + 2 )!v = 5 !u − 4 !v.
3(!u + 2 !v) + !u − 4(!u + !v) − 2 !v = 3 !u + 6 !v + !u − 4 !u − 4 !v − 2 !v = (3 + 1 − 4)!u + (6 − 4 − 2)!v =
6.4 Colinéarité 39
6.4 Colinéarité
Définition 6.
Deux vecteurs !u et !v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que !u = k!v ou !v = k!u.
Remarque 6.
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction. Ainsi, si A, B, C et D sont
quatre points deux à deux distincts, les vecteurs
AB et
CD sont colinéaires si (AB) et (CD)
sont parallèles.
Remarque 6.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan (on prend k = 0 et !u quelconque dans la
définition).
Propriété 6.
Soit A, B, C et D quatre points du plan (avec A et B d’une part, C et D d’autre part
distincts). Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs
AB et
CD
sont colinéaires.
Propriété 6.
Soit A, B et C trois points du plan. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si
AB et
AC sont colinéaires.
Exemple 6.
A, B et C sont trois points non alignés.
- Construire les points M et N tels que :
CM =
AC + 2
CB et
AN =
AB +
BC
- Montrer que A, B et M sont alignés.
- Montrer que les droites (BN ) et (AC) sont parallèles.
! i
! j
A
C
B
M
N
6.5 Repère du plan 41
Ainsi les coordonnées de k!u sont (kx; ky).
i + y
j et !v = x
′ ! i + y
′ ! j. Donc :
!u + !v = x
i + y
j + x
′ ! i + y
′ ! j = (x + x
′
)
i + (y + y
′
)
j
Ainsi, les coordonnées du vecteur !u + !v sont (x + x
′ ; y + y
′ ).
Théorème 6.
Soit A(x A
; y A
) et B(x B
; y B
) deux points et leurs coordonnées dans un repère (O;
i,
j).
Alors les coordonnées de
AB sont : (x B
− x A
; y B
− y A
Démonstration :
AB =
AO +
OB = −
OA +
OB = −(x (^) A
i + y (^) A
j) + (x (^) B
i + y (^) B
j) = (x (^) B − x (^) A )
i + (y (^) B − y (^) A )
j
Propriété 6.
Soit A(x A
; y A
) et B(x B
; y B
) deux points du plan et leurs coordonnées dans un repère (O;
i,
j).
Alors le point I milieu du segment [AB] a pour coordonnées :
x (^) I =
x (^) A +x (^) B
2
y I
y (^) A +y (^) B
2
Théorème 6.
Soit !u(x; y) et !v(x
′ ; y
′ ) deux vecteurs du plan et leurs coordonnées dans un repère (O;
i,
j).
Les vecteurs !u et !v sont colinéaires si et seulement si xy
′ − x
′ y = 0.
Démonstration :
′ ; y
′ ) deux vecteurs colinéaires. Il existe alors k ∈ R
∗ tel que : !u = k!v ou
!v = k!u.
Supposons que !u = k!v. Alors
x = kx
′
y = ky
′
. Donc :
xy
′
− x
′
y = (kx
′
)y
′
− x
′
(ky
′
) = kx
′
y − kx
′
y
′
= 0
- Soit !u et !v deux vecteurs tels que xy
′ − x
′ y = 0.
0 alors !v et !u sont colinéaires.
0 , alors, soit x, soit y est non nul. Supposons que x #= 0.
Alors y
′
=
x
′ y
x
donc y
′
=
x
′
x
y. Ainsi en posant k =
x
′
x
, on a :
{
x
′
= x
′
×
x
x
x
′
x
× x = kx
y
′
x
′
x
y = ky
Donc !v = k!u.
Exemple 6.
Dans un repère (O;
i,
j) on donne : A(2; −1), B(8; −4), C(−1; 3) et D(1; 2). Les vecteurs
AC
et
BD sont-ils colinéaires? Même question pour
AB et
CD.
Exemple 6.
Dans un repère (O;
i,
j) on donne : A(−1; 1), B(1; −1), !u(1, 1) et !v(−2; 1).
Déterminer les coordonnées de M pour que :
AM et !u soient colinéaires
BM et !v soient colinéaires
Soit M (x; y) vérifiant les conditions proposées. On a :
42 Vecteurs du plan
AM
x + 1
y − 1
et
BM
x − 1
y + 1
AM et !u sont colinéaires si et seulement si (x + 1) × 1 − 1 × (y − 1) = 0 soit x − y = − 2.
BM et !v sont colinéaires si et seulement si (x − 1) × 1 − (−2) × (y + 1) = 0 soit x + 2y = − 1.
On résout alors le système
x − y = − 2
x + 2y = − 1
. On obtient
x = −
5
3
y =
1
3
. Donc M (−
5
3
1
3
