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Appunti dispense riguardanti la codifica binaria
Tipologia: Dispense
1 / 54
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NESSUNA PARTE DI QUESTO TESTO PUÒ ESSERE RIPRODOTTA SENZA LA PREVENTIVA AUTORIZZAZIONE DELL
’AUTORE
Gianfranco Bentivoglio
D^ I S P E N S E
A D
U S O
D E G L I
S T U D E N T I
D E L
C O R S O
D I
“ G^
E S T I O N E
I N F O R M A T I C A
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D A T I
A Z I E N D A L I
”
AGG. AL:
11/12/
NOME FILE^ C^ AP
. 2-C
ODIFICA BINARIA
R^ EV
. 3 AA05-06.
DOC
TOTALE PAGINE
108
P^ AG
NESSUNA PARTE DI QUESTO TESTO PUÒ ESSERE RIPRODOTTA SENZA LA PREVENTIVA AUTORIZZAZIONE DELL
’AUTORE
ARGOMENTI TRATTATI __________________________________________________6 LA CODIFICA DELL’INFORMAZIONE _______________________________________
RAPPRESENTAZIONE ANALOGICA/ DIGITALE DELL'INFORMAZ. __________________________________10 ILPROCESSO DI “DECODIFICA” DEI DATI ______________________________________________________12 APPROFONDIMENTO: IL PROCESSO DI CODIFICA _____________________________________________13 IL CONCETTO DI INFORMAZIONE E DATO: UN ESEMPIO_________________________________________16 I DATI SONO UNA SEMPLIFICAZIONE DELLA REALTÀ ___________________________________________18 NON TUTTE LE INFORMAZIONI SONO CODIFICABILI ____________________________________________20 I DATI, DI PER SÉ, SONO PRIVI DI SIGNIFICATO ________________________________________________22 DATI DIVERSI POSSONO RAPPRESENTARE LA STESSA INFORMAZIONE __________________________24 CONVERGENZA DIGITALE __________________________________________________________________26 MOTIVAZIONE TECNOLOGICA PER L’USO DELLA CODIFICA BINARIA ______________________________28 IL BIT ____________________________________________________________________________________30 IL BYTE __________________________________________________________________________________ I SISTEMI DI NUMERAZIONE_____________________________________________
SISTEMI DI NUMERAZIONE ADDITIVI__________________________________________________________34 SISTEMA DI NUMERAZIONE POSIZIONALE ____________________________________________________36 QUALE È IL NUMERO PIÙ GRANDE CHE SI PUÒ RAPPRESENTARE, NELLA BASE X, CON N CIFRE _____38 LE DIVERSE BASI __________________________________________________________________________40 PASSAGGIO DA BASE “X” A BASE 10__________________________________________________________42 PASSAGGIO DA BASE 10 A BASE “X”__________________________________________________________44 IL VALORE DI UN NUMERO A SECONDA DELLA BASE ___________________________________________46 OPERAZIONI IN BINARIO____________________________________________________________________48 LA MOLTIPLICAZIONE ______________________________________________________________________ LA CODIFICA BINARIA DELL’INFORMAZIONE ______________________________
LA CODIFICA DEI CARATTERI _______________________________________________________________56 GLI STANDARD PER CODIFICARE I CARATTERI ________________________________________________58 CODIFICA DEI NUMERI IN ASCII ______________________________________________________________60 CODIFICA DEI NUMERI NATURALI ____________________________________________________________62 CODIFICA DEI NUMERI INTERI _______________________________________________________________64 I NUMERI NEGATIVI CODIFICATI IN COMPLEMENTO A 2 _________________________________________66 CODIFICA BINARIA VS. CODIFICA ASCII _______________________________________________________68 UN COMPROMESSO: LA CODIFICA BCD (BINARY CODE DECIMAL) ________________________________70 BCD VS. BINARIO _________________________________________________________________________72 COME SI PUÒ RAPPRESENTARE UN NUMERO INTERO? ________________________________________74 NUMERI REALI: LA NOTAZIONE ESPONENZIALE________________________________________________76 NUMERI REALI: LA CODIFICA ________________________________________________________________ CODIFICA DELLE IMMAGINI _____________________________________________
UN PRIMO ELEMENTO: LA ”RISOLUZIONE” ____________________________________________________82 UN SECONDO ELEMENTO: LA PROFONDITÀ COLORE___________________________________________83 RIASSUMENDO____________________________________________________________________________84 LE TECNOLOGIE DIGITALI NELL'USO PROFESSIONALE _________________________________________84 FORMATO DELLA CODIFICA GRAFICA (“RASTER”) ______________________________________________86 CODIFICA VETTORIALE_____________________________________________________________________90 I FORMATI VETTORIALI _____________________________________________________________________91 CONFRONTO RASTER – VETTORIALE ________________________________________________________
P^ AG
CODIFICA DEL SUONO _________________________________________________
STANDARD DI CODIFICA DEL SUONO_________________________________________________________96 LA CODIFICA STANDARD DI WINDOWS: .WAV __________________________________________________97 UN FORMATO COMPRESSO: MP3 ____________________________________________________________97 IL FORMATO REAL AUDIO___________________________________________________________________98 IL FORMATO MIDI __________________________________________________________________________98 CONFRONTO TRA LE DIVERSE CODIFICHE ___________________________________________________100 MA ALLORA COSA RAPPRESENTA QUEL BYTE IN MEMORIA? ___________________________________ APPENDICE 1 GLI OPERATORI LOGICI___________________________________
ESPRESSIONI BOOLEANE _________________________________________________________________106 LE PROPOSIZIONI ________________________________________________________________________
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’AUTORE
“CODIFICA” PER POTER
COMUNICARE ED ELABORARE LE
INFORMAZIONI
SIA DA PARTE DELL’UOMO CHE DI SISTEMI AUTOMATICI È NECESSARIO
MEDIANTE SIMBOLI E OPPORTUNE
REGOLE DI CODIFICA
I^
RAPPRESENTANO IL
RISULTATO DI QUESTO PROCESSO DICODIFICA DELLE
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
P^ AG
LA CODIFICA DELL’INFORMAZIONE Come già detto nell'introduzione,
L’INFORMAZIONE è la “conoscenza” relativa a og- “ getti, fatti, concetti, eventi e procedimenti che, in uncerto contesto, ha un particolare significato
DEFINIZIONE
Noi uomini, attraverso i sensi, riceviamo continuamente informazioni dainostri simili e dal mondo circostante. Questo processo, che chiamiamo
per-
cezione
, è tuttavia un fatto immediato, che non ci permette di memorizzare
e di trasmettere ad altri le informazioni che abbiamo percepito.Il primo problema che dobbiamo affrontare, per poter:^ y
descrivere un fenomeno che non possiamo riprodurre direttamente orappresentare un oggetto che non abbiamo a portata di mano; y esprimere un concetto astratto; y comunicare a qualcun’altro la nostra conoscenza; y memorizzare da qualche parte l'informazione che abbiamo percepitoper poterla utilizzare in un secondo momento; y produrre nuove informazioni sulla base di quelle che abbiamo giàacquisito; è quello di
individuare una forma con cui rappresentare le informazioni
affinché
queste
possano
essere
comunicate
(sia
tra
uomini,
che
tra l’uomo ed una macchina), memorizzate (in modo da essere mantenutenel tempo) ed elaborate (sia dall’uomo che mediante procedimenti automa-tici).
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’AUTORE
Più precisamente si può affermare che,
affinché una INFORMAZIONE possa essere comunica-ta, memorizzata ed elaborata, deve essere rappresenta-ta su un supporto fisico, mediante un insieme opportu-no di simboli e secondo specifiche regole di codifica. E questo è sempre vero, sia che il trattamento dell'informazione sia fattodall'uomo, che tramite sistemi automatici.
Il^
risultato
finale
di
questo
processo
di
codifica
dell’informazione è rappresentato dai DATI. In questo senso si può precisare che:
sono la rappresentazione delle informazioni in un determinato codice. ^
sono “registrati” su un supporto fisico.
^
sono gli “oggetti” che vengono scambiati nel processo comunicativo. ^
sono gli “oggetti” su cui operano i metodi di elaborazione automatici.
È importante sottolineare che il DATO rappresenta il modo con cui ripro-duciamo gli aspetti significativi della realtà (ovvero gli aspetti che abbianoper noi una qualunque rilevanza), indipendentemente dal fatto che poiquel dato debba essere elaborato o meno con un calcolatore.Ad esempio:
PER RAPPRESENTARE
POTREMMO UTILIZZARE I SEGUENTI DATI
UNA PERSONA
-^ dati anagrafici, •^ curriculum professionale, •^ aspetto fisico
UN LUOGO
-^ dati geografici •^ dati storici
UN OGGETTO
-^ dati di fabbricazione •^ dati di utilizzo
UN AZIENDA
-^ ragione sociale, •^ dati di bilancio
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
. 2.
La rappresentazione di un'informazione attraverso dei dati è infatti l'uni-co modo che abbiamo per comunicare, memorizzare ed elaborare l'in-formazione stessa. Questo processo di codifica dell'informazione assu-me una rilevanza ancora maggiore quando il trattamento dell'informa-zione dovrà essere fatto su sistemi automatici. RAPPRESENTAZIONE ANALOGICA/ DIGITALE DELL'INFORMAZ. Su un piano fisico la rappresentazione dell'informazione può assumeredue forme:
y^
ANALOGICA
: in cui l'informazione è rappresentata in modo
continuo da un'altra grandezza y^
DIGITALE
: in cui l'informazione è rappresentata in modo di- screto da una sequenza di campioni (di norma interpretabilicome numeri) Ad esempio, l'informazione “
tempo
” può avere una rappresentazione
ANALOGICA
(o continua) come quella fornita dalla posizione della lancetta
che si sposta sul quadrante dell'orologio oppure una rappresentazioneDIGITALE
, attraverso numeri mostrati sul display di un orologio digitale.
Allo stesso modo l'informazione “
temperatura
”, può essere rappresenta-
ta attraverso l'altezza della colonnina di mercurio del normale termome-tro (e quest'altezza varia in modo continuo col variare della temperatura)oppure attraverso i numeri di un termometro digitale (e la temperaturaindicata varia in modo discontinuo).Oppure l'informazione “
peso
” può essere rappresentata, su una bilancia
“analogica” attraverso il movimento dell’ago sul quadrante, mentre unabilancia digitale mostra il peso attraverso i numeri del suo display. Inquesto ultimo caso è importante sottolineare che se la bilancia ha laprecisione di una cifra decimale, potrà mostrare le differenze fra 60,
e
60,2 grammi, ma non un peso intermedio: infatti le cifre sul display pas-seranno da 60,1 a 60,2 senza poterlo rappresentare. Digitalizzazione Il “mondo reale” è continuo, e mentre la rappresentazione della realtà,che viene fatta dall'uomo è molto spesso di tipo analogico, quella cheviene usata all'interno del calcolatore, può essere solamente digitale. Ilprocesso di conversione di grandezze analogiche in grandezze discrete(digitali)
è
chiamato
L'uso
di
segnali
discreti
permette la rappresentazione di dati quali testo, immagini, suoni, video,ecc. tramite numeri binari.
NESSUNA PARTE DI QUESTO TESTO PUÒ ESSERE RIPRODOTTA SENZA LA PREVENTIVA AUTORIZZAZIONE DELL
’AUTORE
Dedichiamo al processo di codifica un rapido approfondimento.Un
codice
può essere definito dai seguenti tre elementi:
-^ un
alfabeto
,^ ovvero
l’insieme
dei
“segni”
elementari
(simboli) che comporranno il codice e mediante i qualiverranno rappresentate le informazioni; • le^
regole sintattiche
, ovvero l’insieme delle regole che
descrivono come comporre e riconoscere un insiemecorretto e valido di segni; • le^
regole semantiche
, che indicano come assegnare e
ricavare un significato dai segni. Definito che sia il
codice “X”
, definiamo
C O D I F I C A D I U N
il processo che, utilizzando il
codice “X”
, porta alla regi-
strazione dell’informazione utilizzando i simboli del suoalfabeto, composti secondo le regole sintattiche. Per contro con il termine di:
D E C O D I F I C A D I U N D A T O
indichiamo l’operazione inversa, ovvero quella che inbase
alle
regole
semantiche
del
codice
permette
l’interpretazione
del
dato
registrato
e
la
”estrazione”
dell’informazione contenuta.
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
Senza volerci addentrare nei meandri della semiologia, ci sembrainteressante evidenziare una importante classificazione dei codici(G.R.Cardona) nelle seguenti due categorie
Codici elementari
, in cui ogni segno dell’alfabeto codifica
direttamente una informazione; essi sono indipendenti dallalingua degli interlocutori che debbono leggerli e permettonodi esprimere direttamente un significato.
Ad esempio Rien-
trano in questa prima categoria: −^
i cartelli relativi alla segnaletica stradale, −^
i simboli utilizzati sui comandi delle auto, −^
nel settore informatico appartengono a questa categoria le icone
utilizzate nelle interfacce grafiche dei recenti sistemi.
Codici strutturati,
composti da più segni dell’alfabeto, uniti
secondo regole sintattiche, a volte anche complesse, spes-so strettamente dipendenti dalla lingua degli interlocutori.In questa seconda categoria entrano i sistemi di scrittura (e-sempio di codifica finalizzato alla comunicazione di informa-zioni) e numerazione (esempio di codifica di informazioniquantitative) .Alcuni esempi di codici, che rientrano nelle de-finizioni appena date, sono i seguenti: −^
le note musicali, −^
il sistema di misurazione del tempo, −^
codici scientifici (chimica), −^
codici per telecomunicazioni (protocolli), −^
codici crittografici (“codici segreti”).
1 questi concetti saranno utili quando si affronterà lo studio dei codici usatinell’informatica per la rappresentazione linguistica e numerica
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’AUTORE
INFORMAZIONE
Æ
DATO
Æ
INFORMAZIONE
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
> Quante mele ci sono nella figura ?> 12 Sicuramente questa sarà stata la risposta di ognuno di noiIn un attimo, senza avere una chiara consapevolezza del comples-so processo che stiamo mettendo in atto, abbiamo realizzato unprocesso di codifica di una informazione quantitativa mediante:
^ le cifre decimali (i simboli), ^ il sistema di numerazione decimale (regole di codifica) Il risultato di questo processo di codifica è stato il numero 12 (dato);tale dato successivamente potrà essere comunicato e potrà essereelaborato.Anche se avremo modo di approfondire questo concetto nelle pagi-ne che seguono, ci sembra fin da ora importante sottolineare come12, il dato in quanto tale, non abbia alcun significato se non in rela-zione alla situazione che abbiamo descritto.Nei paragrafi seguenti vogliamo approfondire alcuni aspetti del pro-cesso di codifica e della differenza che esiste tra informazione e da-to:1.^
IL DATO RAPPRESENTA SOLO UNA PARTE DEL MONDO REALE
CI INTERESSA COMUNICARE
SENSO È UNA SEMPLIFICAZIONE DELLA REALTÀ
NON TUTTE LE INFORMAZIONI SONO CODIFICABILI
I DATI
ELABORATI ANCHE SENZA CONOSCERE L
RAPPRESENTANO
DATI DIVERSI POSSONO RAPPRESENTARE LA STESSA INFORMAZIONE E DATIUGUALI POSSONO RAPPRESENTARE INFORMAZIONI DIVERSE
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2° - TUTTE LE INFORMAZIONI SONO CODIFICABILI? INFORMAZIONIDI PARTENZA
A) COLOREB) PROFUMOC)
ASPETTO
????????
Ø
ELABORAZIONE
Ø
INFORMAZIONE
FINALE
IL FIORE
E’ BELLO (O NON E’ BELLO) !!
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
Un secondo aspetto su cui vogliamo soffermare la nostra attenzioneè legato alla seguente domanda: > E’ possibile codificare qualunque informazione? La risposta è : > No! Esistono infatti numerose situazioni in cui noi produciamo nuove in-formazioni senza passare (almeno in maniera esplicita) attraversoquesto processo di codifica dell’informazione: è il caso delle infor-mazioni afferenti alla sfera emotiva e sentimentale.L’esempio riportato nella pagina accanto mostra come non sia pos-sibile identificare l’elaborazione eseguita, pur sapendo che la rispo-sta alla domanda “
mi piace questo fiore?
” , dipenderà dalle tante
informazioni che abbiamo sul fiore (“ha dei bei colori?”, “è profuma-to?”, “ha un bell’aspetto?”, ecc.).Il fatto di non saper codificare tali informazioni, ci impedisce di deci-frare il tipo di elaborazione eseguita dal nostro cervello e quindi, indefinitiva, di riprodurla su delle macchine.Pertanto questo tipo di elaborazioni non sono riconducibili (almenoora e speriamo mai!), negli schemi che andremo a studiare.
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3° - I DATI HANNO SIGNIFICATO?
50
NO, MA COMUNQUEPOSSONO ESSERE ELABORATI
50
50
50
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
Una terza considerazione da fare è che:
i dati, in quanto simboli risultanti da un opportunoprocesso di codifica, non hanno di per sé alcun signi-ficato, ma acquisiscono significato soltanto quandovengono interpretati da chi ne conosce la chiave didecodifica e sa come metterli in relazione alla realtàche essi rappresentano. Uno stesso dato, ad esempio “50”, può rappresentare la codifica diinformazioni completamente diverse:
-^ il voto di un studente che ha sostenuto l’esame di maturità •^ il limite di velocità di una strada •^ il codice di un prodotto •^ Il peso di una valigia •^ gli anni di una persona e tanti altri significati ancora. Il dato 50 diventa informazione sola-mente per chi ne possiede la chiave di decodifica: soltanto di que-sto modo è possibile attribuire un significato al dato stesso.Ad esempio, noi possiamo capire il significato che può avere il dato50, inteso come voto, solamente se conosciamo il sistema di codifi-ca decimale e se abbiano chiaro il concetto di “esame” e di “voto”associato all'esame stesso.
Ma i dati, benché privi di un loro proprio significato,possono comunque essere elaborati: basta conosce-re le regole in base alle quali vanno manipolati. Questo è quello che succede all'interno del computer: per elaborarei dati non è necessario conoscerne il significato, ma è sufficienteavere un programma che “sappia” come devono essere “manipolati”per produrre il risultato atteso.E Il risultato dell'elaborazione, anch’esso un dato, potrà poi essereutilizzato da chi, possedendo le regole di decodifica, sarà in gradodi “interpretarlo”.
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CONVERGENZA DIGITALE
IMMAGINI
NUMERI
TESTOLAURA
0 0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 0 1 1
SUONI
32
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
Mentre
l’uomo
utilizza
codici
e
simboli
diversi
in
funzione
dell’informazione da rappresentare, all’interno dell’elaboratore tuttele informazioni sono codificate utilizzando due soli simboli, 0 e 1.Questo tipo di codifica è chiamata:
" codifica binaria
E possiamo affermare che
Ogni informazione, per quanto possa essere complessa, puòessere codificata utilizzando una serie di 0 e 1. Il fatto che ogni tipo di informazione, per poter essere elaborata sulcomputer, debba essere codificata in binario, in passato era stato vi-sto come un vincolo, una necessità legata alle caratteristiche intrinse-che dei computer. Solo di recente ci si è resi conto che, codificandoogni informazione (anche analogica) in binario, si è di fatto raggiuntauna vera e propria:
STANDARDIZZAZIONE DEI METODI DI RAPPRESENTAZIONE DELL
La disponibilità di un unico codice (“il codice binario”) per rappresen-tare informazioni anche molto diverse tra loro, associata ad uno stru-mento così potente come il computer, ha reso possibile una integra-zione strettissima tra informazioni che eravamo abituati a considerarelontane e nuove forme di comunicazione dalle caratteristiche e po-tenzialità appena esplorate: •^ sugli elaboratori, con gli stessi strumenti, vengono manipolate in-formazioni di natura molto diversa (basta pensare che in un docu-mento Word, oltre ai soliti dati numerici e testuali, è possibile inseri-re immagini e suoni); •^ sulle reti digitali transitano contemporaneamente numeri, testo, im-magini e suoni; •^ macchine diverse possono parlare tra loro, unificate nel linguaggiodigitale, reale esperanto dell’informatica.Nei prossimi paragrafi analizzeremo come, utilizzando la codifica binaria,si possano codificare informazioni tra loro molto diverse.
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PERCHÉ LA CODIFICA BINARIA?
IN UN COMPUTER TUTTA L’INFORMAZIONE È
CODIFICATA IN FORMA BINARIAA SECONDA DEL SUPPORTO DI
MEMORIZZAZIONE UTILIZZATO, I VALORI
“0” E “1” SONO RAPPRESENTATI DA:
-^ DIFFERENTE CARICAELETTRICA
DISPOSITIVI A SEMICONDUTTORE
128 MB
-^ DIFFERENTE STATO DIPOLARIZZAZIONEMAGNETICAMEMORIE MAGNETICHE
80 GB
1,4 MB
-^ ALTERNANZA LUCE BUIO
MEMORIE OTTICHE
600 MB
LA SCELTA DI LIMITARSI A DUE SOLI STATI È DETTATA DAMOTIVAZIONI TECNOLOGICHE
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
I motivi per cui all’interno del computer si utilizza una logicabinaria per la codifica dell’informazione sono sostanzialmentetecnologici, legati all’attuale architettura del computer. Più precisamente, la necessità di utilizzare due soli simboli (che ven-gono associati a due stati fisici) deriva dalla semplicità e dalla sicu-rezza con cui, in un sistema fisico, è possibile distinguere uno statodall’altro. Se ad esempio si riuscisse, con la stessa semplicità e sicu-rezza, a realizzare dispostivi in grado di gestire tre stati, si potrebberorealizzare computer basati su una logica ternaria.La tecnologica attuale permette di avere 2 soli stati facilmente distin-guibili l’uno dall’altro e trattabili con sufficiente economicità, precisionee sicurezza.In relazione dispositivi fisici utilizzati questi due stati sono rappresen-tati da:
-^ una differente carica elettrica^ (nei dispositivi a semiconduttore) •^ un differente stato di polarizzazione^ (nelle memorie magnetiche) •^ un’alternanza luce-buio^ (nelle memorie ottiche)
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IL BYTE
MA, NELL’USO PRATICO DELCALCOLATORE, L’UNITÀ DI
INFORMAZIONE PIÙSIGNIFICATIVA È IL
BYTE
(SEQUENZA DI 8 BIT) E I SUOI MULTIPLI
KB
KILOBYTE
MB
MEGABYTE
GB
GIGABYTE
TB
TERABYTE
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
. 2.
Nell’uso pratico del calcolatore, ha assunto una rilevanza particola-re l’aggregazione di 8 bit, che viene comunemente chiamata:
La quantità di memoria di un computer si misura allora in BYTE
2 e
YTE
ILO
BYTE
10 BYTE
BYTE
EGA
20 BYTE
1 milione di
BYTE
IGA
BYTE
1 miliardo di
BYTE
ERA
BYTE
1.000 miliardi di
BYTE
2 Per dare un’idea di che cosa sia possibile rappresentare con un BYTE, co-me prima approssimazione si può pensare che un BYTE è la quantità di me-moria necessaria per memorizzare un singolo carattere del nostro alfabeto.3 Precisamente 2
10
byte sarebbe uguale a 1024 byte
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SISTEMI DI NUMERAZIONE ADDITIVI
O MEGLIO
E NELL’ANTICHITÀ
LATINA
XXVI
EGIZIA
∩∩⏐⏐⏐
MAYA
=^
SEMPLICE,
MA
POCO
PRATICO
CON
NUMERI
GRANDI E DI DIFFICILE ELABORAZIONE
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
I SISTEMI DI NUMERAZIONE
Prima di passare ad esaminare come le diverse informazioni possanoessere tutte rappresentate in codice binario, riprendiamo alcuni concettigenerali sui sistemi di numerazione, ovvero sui sistemi di codifica utiliz-zati per rappresentare la “quantità” di un insieme di oggetti
I primi sistemi di numerazione utilizzati dall’uomo erano ben diversi dainostri. Essi infatti erano realizzati mediante l’incisione di un certo nume-ro di aste su un qualche oggetto (ad esempio un bastone). In pratica sibasavano su un alfabeto costituito da un unico segno, l’asta, che venivaripetuto tante volte quanto era grande il numero che si voleva rappre-sentare.
Questo sistema di numerazione, molto semplice quando si do-
vevano rappresentare piccoli numeri, diventava inutilizzabile quandocresceva la numerosità degli oggetti da rappresentare. Un primo miglio-ramento fu quello di raggruppare le aste in gruppi uguali: poiché il primostrumento di calcolo sono state le dita delle mani, i raggruppamenti piùusati furono quelli per 5 e per 10.In quasi tutte le numerazioni usate in passato, come in quelle utilizzatedai Maya, dagli Egizi, dai Romani, ritroviamo questo modo di numerareche chiameremo: “
additivo
” (anche se con piccole varianti, dovute ai diffe-
renti segni utilizzati e al tipo di raggruppamento effettuato). Ad esempio,gli egizi utilizzavano un alfabeto composto di due simboli:
indicava le due mani e quindi valeva 10 ⏐^
indicava un dito e quindi valeva 1
Per indicare 34, con il sistema di numerazione egizio bisognava quindiscrivere:
Nei sistemi di numerazione di tipo additivo, valgono le seguenti regole:^ •
il significato dei simboli che compongono un numero è indipendentedalla posizione di tali simboli all’interno del numero stesso • il valore finale si ottiene sommando i valori associati ad ogni simbolo.
NESSUNA PARTE DI QUESTO TESTO PUÒ ESSERE RIPRODOTTA SENZA LA PREVENTIVA AUTORIZZAZIONE DELL
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QUALE È IL NUMERO PIÙ GRANDE CHE SI PUÒ
RAPPRESENTARE CON N CIFRE
MAX = X
N-
X
: BASEN: NUMERO DI CIFRE
AD ESEMPIO CON
(^2)
CIFRE:
BASE
MASSIMO NUMERO
2
3
3
8
4
15
5
24
6
35
7
48
8
63
9
80
10
99
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
Un’altra domanda che ci possiamo porre è la seguente:
“Data un certa base N, qual è il massimo valore che pos-siamo rappresentare con J cifre?” La risposta è molto semplice ed è data dalla seguente formula:
in cui:^ •
N: è la base • J: il numero di cifre utilizzate Nella tabella riportata sullo schema a fianco, vengono riportati i va-lori massimi rappresentabili utilizzando 4 cifre, in funzione delle di-verse basi utilizzabili.Il sistema di numerazione che noi abitualmente utilizziamo (chiama-to anche “
arabico
” in quanto introdotto in Europa dagli arabi nel cor-
so del Medio Evo), ha la base uguale a 10 (il valore 10 deriva pro-babilmente dal numero di dita delle nostre mani).Questo vuol dire che:^ •
per numerare si potranno utilizzare 10 diverse cifre (da 0 a 9); • il valore di ogni posizione, partendo da destra, sarà una poten-za di dieci ( a partire da destra abbiamo 10
Il sistema di numerazione posizionale, oltre ad essere più compatto,permette
anche
una
“manipolazione”
(ovvero una elaborazione)
molto più efficiente dei numeri.
NESSUNA PARTE DI QUESTO TESTO PUÒ ESSERE RIPRODOTTA SENZA LA PREVENTIVA AUTORIZZAZIONE DELL
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BASE DIVERSA DA 10
È POSSIBILE NUMERARE GLI OGGETTI
UTILIZZANDO ALTRE BASI
BASE
SIMBOLI (CIFRE) UTILIZZATI
2
0,
1010
3
0,1,
101
4
0,1,2,
22
5
0,1,2,3,
20
.....^8
0,1,2,3,4,5,6,
13
9
0,1,2,3,4,5,6,7,
11
10
0,1,2,3,4,5,6,7,8,
10
11
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A
A
12
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
A
.....^16
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
A
CAP. 2
-^
LA CODIFICA BINARIA DEI DATI
PAG
. 2.
Anche se il sistema di numerazione in base 10 è quello normalmenteutilizzato, dal punto di vista matematico, nulla ci impedirebbe di a-dottare un sistema di numerazione posizionale, basato su un diver-so valore di base, per esempio 8 (come fa una tribù degli indiani,che conta facendo riferimento agli spazi fra le dita delle mani). Inquesto caso si utilizzerebbero 8 cifre e il peso della posizione J-esima sarebbe pari a 8
j-1.
Ma sicuramente il sistema di numerazione posizionale più sempliceè quello in base 2 (“
numerazione binaria
”). Un sistema di fase 2, uti-
lizza 2 soli simboli:
e il peso della posizione J-esima è dato da 2
j-.
Un altro sistema di numerazione interessante (perlomeno per chiopera nel mondo dell’informatica) è quello in base 16 (“
sistema e-
sadecimale
”). In questo caso si utilizzeranno 16 cifre (come si può
vedere, per le restanti sei cifre si sono utilizzate le prime sei letteredell’alfabeto):
e il peso della posizione J-esima è dato da 16
j-^.
In questa tabella infine vediamo un esempio di come i numeri deci-mali possano essere convertiti nei corrispondenti numeri binari oesadecimali e viceversa.:^ DECIMALE
BINARIO
ESADE
CIMALE
DECIMALE
BINARIO
ESADE
CIMALE
