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Svolgimento esercizi per casa:
"#$
'(%"
"#$
N.B. 27
./
> 0 quindi non vi sono condizioni di compatibilità da imporre.
5
7#
:
:(
7#
<
57#
=(>
7#
<
01@0/A@B
1@C/D
E1/F
1/.
GHI
.
E1/F
= GHI
.
1/.
8K − 7 = K − 3
8K − K = 7 − 3
7K = 4
N
O
"
/$P
O
"
/O
Condizione di compatibilità: 5
1
1
GHI
T
1
≠ GHI
T
- Studio positività del numeratore:
1
1
GHI
T
1
> GHI
T
K > GHI
5
- Studio positività del denominatore:
1
1
GHI
T
1
> GHI
T
K > 1
Applicando la regola dei segni ricaviamo il segno del quoziente:
S: " < $ ˅ " ≥ WXY
O
$P
N.B. L’estremo 1 è escluso poiché in contrasto con le condizioni di compatibilità.
3. % Z
%"
− 'Z
"
Per le proprietà delle potenze possiamo considerare la disequazione scritta così:
2 9 \
1
0
− 3\
1
Ponendo \
1
= ] otteniamo: 2 ]
0
− 3] + 1 < 0
1 log 5
10
(Segno del quoziente)
Svolgiamo:
GHI
T
4 K
2
T
9K + 2; = GHI
T
GHI
T
K
2
= GHI
T
K + 2
+ GHI
T
applicando le proprietà sui logaritmi si ottiene:
GHI
T
K
2
= GHI
T
K + 2
dal momento che i logaritmi hanno la stessa base, l’uguaglianza è valida solo se
sono uguali gli argomenti:
K
0
K
0
− 25x − 54= 0
K − 27
9K + 2;= 0
K
1
K
2
xxxx 1111
== 27== 272727 !!!! aaaaccettabileccettabileccettabileccettabile in quanto maggiore di 2.
xxxx 2222
== -==--- 2222 !!!! non accettabilenon accettabile in quanto non è maggiore di 2.non accettabilenon accettabile
5. WXY
%
= WXY
N
%
Condizioni di accettabilitàCondizioni di accettabilitàCondizioni di accettabilitàCondizioni di accettabilità:
1 − K> 0! −K> −1! x<
3K + K
0
> 0! K93 + K;> 0
x<-3 ˅ x >0 x< x Svolgiamo:
GHI
0
1 − K
= GHI
D
93K + K
2
dato che ho basi diverse utilizzo il teorema del cambio di base , arbitrariamente scelgo di
far comparire solo logaritmi in base 4:
GHI
0
1 − K
GHI
D
9 1 − K;
GHI
D
GHI
D
9 1 − K;
= 2 ∙ GHI
D
1 − K
sostituisco nell’equazione:
2 ∙ GHI
D
9 1 − K; = GHI
4
93K + K
0
per le proprietà dei logaritmi:
GHI
D
1 − K
0
= GHI
D
93K + K
2
9 1 − K;
0
= 3K + K
2
K
0
− 2K + 1 = 3K + K
0
−5K = −
O
La soluzione è accettabile in quanto appartiene al campo d’esistenza dell’equazione.
= N − %"
K − 1 quando K − 1 ≥ 0 ovvero K ≥ 1
| K − 1|
− K + 1 quando K − 1 < 0 ovvero K < 1
1° sistema:
K < −3 K < −3 K < −
−K − 2
−K − 3
< 0 − K + 2K + 6 < 0 K < −
S
1
: K < −
2° sistema:
−3 ≤ K < 0 −3 ≤ K < 0 −3 ≤ K < 0 −3 ≤ K < 0
−K − 2 9 K + 3; < 0 − K − 2K − 6 < 0 − 3K < 6 K > −
S
2
: −2 < K < 0
3° sistema:
K ≥ 0 K ≥ 0 K ≥ 0 K ≥ 0
K − 2 9 K + 3; < 0 K − 2K − 6 < 0 − K < 6 K > −
S
3
: K ≥ 0
La soluzione della disequazione con valori assoluti è data dall’ unione delle soluzioni dei sistemi :
Uniamo le soluzioni dei due sistemi:
S
1
: K < −
S
2
: −2 < K < 0
S
3
: K ≥ 0
S = SS = SS = SS = S
1111
∪ SSSS
2222
∪ SSSS
3333
S :
S :S :
S : " < −6 ˅ " > −
Ulteriori esercizi:
Es. 1
N − "
%
> K
4 − K
0
quando 4 − K
0
≥ 0 ovvero −2 ≤ K ≤ 2
4 − K
0
− 4 + K
0
quando 4 − K
0
< 0 ovvero K < −2 ∨ K > 2
Infatti più in dettaglio:
4 − K
0
= 0
-2 + 2 K
0
= 4
K = ± √
4 = ±
2° sistema:
− 2 ≤ K ≤ 2 − 2 ≤ K ≤ 2 − 2 ≤ K ≤ 2 − 2 ≤ K ≤ 2
4 − K
0
– 93 − K; > K 4 − K
0
– 3 + K > K − K
0
+ 1 > 0 − 1 < K < 1
− x
0
K
0
= 1
K = ± 1
SS SS
2222
3° sistema:
K > 3 K > 3 K > 3
− 4 + K
0
− 9 −3 + K; > K − 4 + K
0
+ 3 − K > K K
0
− 2K − 1 > 0
Troviamo le radici dell’equazione associata alla seconda disequazione:
K
0
− 2K − 1 = 0
K
C,
−9−2; ± a94 − 4 ∙ 9 −1;;
<
?
SSSS
3333
− 2
1 − √ 2 1 + √ 2
3
− 1 1 2
La soluzione della disequazione iniziale è data dall’unione delle soluzioni dei tre sistemi:
S
1
: K ∈ 4−∞, −√ 7 )
∪ (√ 7 , 3]
S
2
S
3
S = S
S = SS = S
S = S
1 11
1
∪ S
SS
S
2 22
2
∪ S
SS
S
3 33
3
S:S:S:S:. ∈ 0−∞, −√ 4 )
−C, C)
Es. 2
DEF
9
. + DEF
9
. − G
≥ I
Condizioni di accettabilità:
x > 0
x − 8 > 0! x > 8
(C.E. della disequaz.)
Svolgimento:
N.B. Dato che abbiamo logaritmi in base 3, possiamo considerare: I = JKL 9
M
Applicando poi le proprietà dei logaritmi:
NOP
Q
) () − 8) ≥ NOP
Q
STU
V
W (WXY)
STU
V
Z
− 1 √ 7
1 − √
7
3
x >x >x >x > 8888
0 8
1
5
/
0
1
5
/1@
GHI
.
1
5
/1@
> GHI
.
K
0
− K + 2 > 0
Ricaviamo le radici dell’equazione associata:
K
0
− K + 2 = 0
K
C,
∆< 0: l’equazione non ha radici reali. Inoltre, poiché il coefficiente del termine di
secondo grado è positivo avremo una situazione del tipo:
Esercizi per casa:
C.
I
.c
I
d
.X
I. DEF
e
DEF
e
9. (I
.XC
− C)(
I.cC
− M) ≥ f
e. DEF
I
. − I
− DEF
I
I
+ I
≤ −IDEF
e
(. + C)
g.
I
− I
Quindi:
?
− ) + 2 > 0 per ∀) ∈ j
S: ∀. ∈ k
1
Svolgimento esercizi per casa:
"#$
%
"'$
ricordando che
(
)
(
,'-
, possiamo scrivere:
0#1'
0'
0'
0'
notando che le potenze hanno uguale esponente, dividiamo entrambi i membri per 3
0'
0'
0'
ricordando che 5
(
6
,
(
)
6
)
, possiamo scrivere:
0'
applichiamo la funzione inversa:
=
1
0'
=
1
CDE
F
CDE
F
Condizioni di accettabilitàCondizioni di accettabilitàCondizioni di accettabilitàCondizioni di accettabilità dell’equazione:
3
#$%
"#)%
- Studio positività del primo fattore:
.$/
.$/
7
.$/
7
- Studio positività del secondo fattore:
7.)/
7.)/
7.)/
7
;
7.)/
;
2
Ricaviamo il segno del prodotto e troviamo le soluzioni alla disequazione:
S: # ≤
1 /2 1
(Segno del prodotto)
4
$
$
$
,
Condizioni di accettabilità Condizioni di accettabilitàCondizioni di accettabilità
Condizioni di accettabilità:
@
+ 2 > 0! ∀' ∈ C
x xx
x > >2>
>2 (C. E. della disequaz.)
Svolgiamo:
KLM
@
− KLM
@
2
≤ −2KLM
N
utilizzo il teorema del cambio di base per avere solo logaritmi in base 2:
−2 KLM
N
KLM
2
KLM
2
KLM
2
= − KLM
2
sostituisco nella disequazione:
KLM
@
− KLM
@
2
≤ −KLM
2
KLM
2
+ KLM
2
≤ KLM
@
2
per le proprietà dei logaritmi:
KLM
2
≤ KLM
@
2
2
QRS
T
(UV@)(UWX)
≤ 2
QRS
T
YU
T
W@Z
@
@
@
6
1° sistema:
2
2
2
7,
x 1
= 1
x 2
= −2 -2 1
2
+1 =
2
0
2
= 1
S
SS
S
1 11
1
: E ∈ (−∞, −H)
I
∪ [
H, −∞)
2° sistema:
2
− 2 − √ 2 √ 2
1
7
$
$
2
*,$
x 1
= −
x 2
= 2 -1 + 2
+1 =
$
0
$
= 1
= ±
SSSS
2222
:::: = ∈ ?−@, √A)
B
La soluzione della disequazione iniziale è data dall’unione delle soluzioni dei due sistemi:
S
1
: = ∈ (−∞, −A)
B
∪ [
A, −∞)
S
2
A)
B
S = S
S = SS = S
S = S
1 11
1
∪ S
SS
S
2 22
2
S
3
B
S:S:S:S: = ∈ (−∞, −A)
B
− 1 √ 2
− 2
− √ 2
2
√ 2
