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esercizi per esame di matematica generale
Tipologia: Esercizi
1 / 20
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Date due funzioni
se !)#^ ⊆ ' possiamo considerare la funzione composta )& ∘ !.
@
B
)! ∘ &*) 6 * = F@∙^
Vediamo ora una caratteristica delle funzioni: l’iniettività.
Una funzione è iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte; dal punto di vista grafico una funzione è iniettiva se e solo se nessuna retta parallela all’asse delle ascisse interseca il grafico della funzione più di una volta. Per esempio consideriamo N = (^) √ 26 ((: 6 ≥ 0; RS: N ≥ 0):
Come possiamo vedere la funzione è iniettiva. Una funzione iniettiva è invertibile ; ricaviamo la funzione inversa:
N^8 = 26
Sostituendo N TUV 6 e viceversa:
che ha (: 6 ≥ 0 (stiamo considerando la parte di parabola che si trova nel semipiano destro del piano cartesiano) e RS: N ≥ 0.
Apriamo una piccola parentesi per vedere come si costruisce il grafico della funzione inversa.
Data una funzione !: # → %, supponiamo esista la sua inversa !LB: % → #; supponiamo che! abbia il seguente comportamento:
Consideriamo N = ZG^ ((: [; RS: N > 0*, la funzione è iniettiva, ricaviamo la sua funzione inversa:
6 = log`)N*
scambiando 6 TUV N e viceversa otteniamo:
N = aU&b)6*
(: 6 > 0; RS: [
Il grafico di !LB^ si traccia ribaltando il grafico di! rispetto alla bisettrice.
Consideriamo N = 26 + 3 )(: [; RS: [*:
Come si può vedere la funzione è iniettiva, ricaviamo la sua funzione inversa:
N − 3 = 26
N − 3 2 = 6
Quindi:
N =
Consideriamo ora N = cFV) 6 , )(: [; RS: [−1,1]:
Nel grafico precedente potete notare come siano correlati i grafici dell’esponenziale e del logaritmo. Nel successivo invece vedete la relazione tra il grafico di e quello della sua inversa,.
Esempio:
Consideriamo la funzione:
! =
A priori sappiamo che affinché la funzione sia ben definita , la variabile indipendente ' non deve mai essere nulla. Infatti il dominio di questa funzione è: *D = R * (%)
Potremmo comunque chiederci: come si comporta la funzione quando la & assume valori sempre più prossimi allo zero?
Osserviamo che per valori della x sempre più prossimi allo zero “da destra” (positivi), la funzione assume valori sempre più elevati, andando oltre qualsiasi “tetto superiore” prefissato. Quando invece la ' si avvicina sempre più allo zero “da sinistra” (negativi), la funzione assume valori via via più elevati in valore assoluto ma negativi, andando oltre qualsiasi “tetto inferiore” prefissato.
Ciò viene riassunto dal concetto di limite:
limite della funzione per & che tende a 0 “da destra” ( ' → %+)
limite della funzione per & che tende a 0 “da sinistra” ( ' → %−)
& →%+
Per calcolare i limiti (e cioè le tendenze della funzione) non è necessario attribuire una serie di valori alla variabile indipendente e studiare il conseguente andamento della funzione, ma vi è un modo molto più veloce : non si fa altro che sostituire nella scrittura della funzione il valore verso cui la ' dovrebbe tendere, e constatare che valore si ottiene.
' →0+
<
Rimane da definire il segno del limite , il che si può fare osservando il segno della funzione per valori di ' immediatamente precedenti allo zero (dalla parte considerata). Oppure lo si può ricavare dallo studio complessivo del segno della funzione.
Dallo studio fatto in precedenza sappiamo che:
Analogamente:
' →0−
Mentre per il limite infinito della funzione:
infatti:
<
ad intendere che man mano che il denominatore diminuisce (prossimo a zero), tutta la frazione diventa sempre più grande (prossima ad infinito) in valore assoluto.
ad intendere che man mano che il denominatore diventa sempre più grande (prossimo ad infinito), tutta la frazione diventa sempre più piccola (prossima allo zero).
Nel calcolo dei limiti spesso si presentano casi d’indeterminatezza/indecisione.
Uno di questi è per esempio:
C
BA
9 C
ma nel caso:
D
BA
9 D
7
7
BA ,^
8 ,^ 0 ∙ ±∞,^ +∞ − ∞.
Es.
lim 9 →O
Per risolvere l’indeterminatezza scomponiamo in fattori prima di calcolare il limite:
lim 9 →O
4' − 12 = lim^ 9 →O
4 U' − 3V = lim^ 9 →O
Es. 2
9 → BA^ lim
Es. 3
9 → BA^ lim
Applicando il principio di sostituzione degli infiniti:
9 → BA^ lim
2'Z^ + 7 =^ 9 → BAlim
2'Z^ =^ 9 → BAlim
Es.
9 → H A^ lim
Applicando il principio di sostituzione degli infiniti:
9 → H A^ lim
3 ' − 'W^ =^ 9 → H Alim
− 'W^ =^ 9 → H Alim
Es. 5
L
$ M
O
7 P
O
7 P
Applicando il principio di sostituzione degli infiniti:
O
7 P
7
O
7 P
O P
7 P
7 P
7 P
Osservazione importante:
Quando calcoliamo il limite della funzione f(x) per x che tende a un generico x^0 , stiamo studiando il comportamento della funzione in prossimità di x^0 , non necessariamente in x^0 (infatti spesso esso non appartiene al dominio della funzione).
Tutte e tre le funzioni seguenti risultano equivalenti dal punto di vista del limite per x che tende a x^0 , in quanto esse differiscono soltanto per il comportamento della funzione in x^0 , che ai fini della determinazione del limite è irrilevante.
Es.
lim 9 →
Per risolvere l’ indeterminatezza:
lim 9 →
' − 1 = lim^ 9 →
' − 1 = lim^ 9 →7^ =^ U' + 1V^ = 2
Sappiamo che in x = 1 la funzione non è definita, quindi graficamente la funzione sarà una retta spezzata.
9 →9a^
9 → 9 a^
9 →BA
9 → 9 a^
9 →BA
9 → 9 a^
9 →BA
d > 1
9 →BA
9 → 8 @^
d > 1 %^ <^ d^ <^1
Es. 1
Per il teorema della somma:
= 1 −
O – =s^1 =^1 −^
O −^ 0 =^
O =^
Es. 2
& →BA
&
M
Per il teorema della somma:
9 →BA
9
P
9 →BA
9 →BA
P
Es. 3
Per i teoremi del prodotto e del quoziente:
9 → P
9 → P
9 → P
f(x)= x^3 g(x)=x- Trovare g(f(x)) e f(g(x))
Soluzione
g(f(x))= x^3 - f(g(x))=(x-1) 3
F(x)= x
x x
(^321) G(x)= 2 1
x x
x
Trovare g(f(x)) e f(g(x))
Soluzione
G(f(x)=
9 7 6 5 4 3 2
2 3 3 3 3
3
x x x x x x x x
x x x
x
x x x
x x
x
x x
F(g(x)) = (^332)
2 3 6 4 7 5 9
3
3
3 3 3 2 2 1
x x x x
x x x x x x x x
x x
x
x x
x x x
x
Data la funzione y f(x) 3x 5 mostra che essa è invertibile su tutto il suo campo di definizione,scrivi l’espressione esplicita della funzione inversa.
Soluzione
La f è definita su tutto l’asse reale ed è iniettiva. Quindi la f f ^1 è anche essa definita su tutto l’asse reale e ricavando la X dalla espressione della f si ha x f ^1 ( y ) ( y 5 )/ 3.
Data la funzione y f ( x ) ( x 1 )^3 individua le espressioni della sua inversa f ^1 ( x )
Soluzione
Risolvendo y ( x 1 )^3 per x si ha x f ^1 ( y ) 1 ^3 y da cui cambiando variabili,
f ^1 ( x ) 1 ^3 x
Esercizio 5
o v 4 3
lim 3 2 x^2
x x
o v 4 3
lim 3 2 x^2
x x
lim 3 2 1
4 3
lim 3 2
4 3
lim 3 2
2 2 2
2
x ¸
¸x ¹
ov ¸ ¹
x §^
ov ¸
x§^
v ov
v
x
x
x x x
x
x x x
x
x x
Esercizio 6
o 3 10
lim 2
2 x x
x x x
lim 0
lim 2
2
x§^
x§^ ¸ o
o (^) x x
x x
x x x
x x x
