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Equazioni e disequazioni
Esempio di equazione:
x (2-x) = (x -1) (3-x) 2x - x^2 = 3x - x^2 -3 + x applicando il primo principio di equivalenza: 2x - x^2 - 3x + x^2 – x = - riducendo in forma normale:
- 2x = - 3 applicando il secondo principio di equivalenza:
∆ =
- Equazione di primo grado:
riduciamo allo stesso denominatore: 9 (2ᡶ − 1) − 2 (5ᡶ − 6) 12 =
applicando il 2° principio di equivalenza moltiplichiamo entrambi i membri per il m.c.m.
12 ∙
liberando così l’equazione dal denominatore: 8ᡶ + 3 = 5 − 2ᡶ 8ᡶ + 2ᡶ = 5 − 3 10 ᡶ = 2
∆ =
- Equazione di primo grado fratta :
∆ +^
Innanzitutto imponiamo le condizioni di compatibilità dell’equazione ( il denominatore non può essere nullo!): ᡶ ≠ 0 ᡶ + 1 ≠ 0 ᡶ ≠ − Quindi: x ≠ 0 ∧∧∧∧ x ≠ - 1
la soluzione è accettabile.
- Disequazione di primo grado:
− ➁∆ + ➅ > 0
−4ᡶ > −
N.B. : se moltiplichiamo/dividiamo entrambi i membri per un numero negativo, il verso della disequazione cambia :
4ᡶ < 8
che possiamo indicare anche con S: ᡶ ∈ (− ∞ , 2)"
Es. 3 ∆❹^ + ∆ + ➂ = ❷
−1 ± 㒓(1⡰^ − 4 ∙ 5)
∆ < 0 : No soluzioni reali
- Disequazioni di secondo grado
Es. 1
ᡶ⡰^ + ᡶ + 5 < 0 la disequazione è impossibile. S = Ø
ᡶ⡰^ + ᡶ + 5 > 0
la disequazione è verificata per tutti i valori di x. S: ∀∆ ∈ ⅴ
Es. 2 ᡶ⡰^ − 5ᡶ + 6 > 0 2 3 S: x < 2 ∨∨∨∨ x > ovvero S: ᡶ ∈ (− ∞ , 2)" ∪ (3, + ∞ )
Es. 3 − ᡶ⡰^ + 6ᡶ − 8 ≥ 0
Individuando le radici dell’equazione associata:
−ᡶ⡰^ + 6ᡶ − 8 = 0
−6 ± 㒓(6⡰^ − 4 (−1)(−8))
S: 2 ≤ x ≤ 4 ovvero S: ᡶ ∈ [2,4]
- Disequazione data dal prodotto di polinomi (a cui ricorrere anche in caso di disequazioni di grado superiore al secondo):
(3x -5)(4-5x) < 0
- 3x -5 > 0 3x >5 x > ⡳⡱
- 4 - 5x > 0 5x < 4 x < ⡲⡳
(segno del prodotto)
S: x < 4/5x < 4/5x < 4/5x < 4/5 ∨∨∨∨ x > 5/3x > 5/3x > 5/3x > 5/
ovvero S:S:S:S: ᡶ ∈ (−∞, ⡲⡳ ) ∪ ( ⡳⡱ , +∞)
ᡶ⡰^ − ᡶ − 2 ≥ 2 +
ᡶ − 2 −^
4 5
5 3
x – 2 >0 x > 2
x + 1 > 0 x > - 1
S: x < -1 ∨∨∨∨ x >2 ovvero SSSS :::: ᡶ ∈ (−∞, −1)" ∪ (2, +∞)
Una volta ricavati i segni del numeratore e del denominatore possiamo ricavare il segno del quoziente:
(segno del quoziente)
Come si può vedere la soluzione alla disequazione di riferimento: (け⡹⡰)(け⡸⡩)⡳ ≥ 0
risulta essere S: x < -1 ∨∨∨∨ x >2 ovvero SSSS :::: ᡶ ∈ (−∞, −1)" ∪ (2, +∞)
gli estremi sono esclusi poiché non accettabili.
(3x -5)(4-5x) < 0
2ᡶ⡰ ᡶ⡰^ − ᡶ − 2
abbiamo già visto che:
SSSS 1111 :::: ᡶ ∈ (−∞, ⡲⡳ ) ∪ ( ⡳⡱ , +∞)
SSSS 2222 :::: ᡶ ∈ (−∞, −1)" ∪ (2, +∞)
S = SS = SS = SS = S 1111 ∩ SSSS 2222 = S= S= S= S 2222
4 5
5
N > 0
D > 0
Infatti la soluzione di un sistema di disequazioni è costituita dagli intervalli in cui tutte le disequazioni del sistema sono verificate ( soluzioni comuni ).
Analogamente risolvere un sistema di equazioni consiste nell’individuare le soluzioni comuni:
Es. x +y = 2 y = 2 – x (*)
2x –y =1 2x – (2 – x ) = 1
2x – 2 + x = 1 3x = 3 x = 1x = 1x = 1x = 1
(*) y = 2 – x = 2 -1 y =1y =1y =1y =
che soddisfano entrambe le equazioni.
Ricordando che è stato posto t = x^2
per t = 2:
ᡶ⡰^ = 2
ᡶ⡩,⡰ = ±√
per t = 3:
ᡶ⡰^ = 3
ᡶ⡱,⡲ = ±√
Es. 1 ❸ ❹ + (∆ − ❸)
❹ ➀ =
Svolgendo i due quadrati di binomio:
1 2 + (ᡶ
⡰
Facendo il m.c.m.: 3 + 6(ᡶ⡰^ − 2ᡶ + 1) − 2(4ᡶ⡰^ − 4ᡶ + 1) 6 =
Moltiplicando entrambi i membri per 6 e svolgendo i calcoli:
3 + 6ᡶ⡰^ − 12ᡶ + 6 − 8ᡶ⡰^ + 8ᡶ − 2 = 2(1 − ᡶ⡰) −2ᡶ⡰^ − 4ᡶ + 7 = 2 − 2ᡶ⡰ −4ᡶ = − ᡶ =
Es. 2 ∆❹^ + ➁∆ + ➁ < ❷
Ricaviamo le soluzioni dell’equazione associata:
ᡶ⡰^ + 4ᡶ + 4 = 0
La disequazione è impossibile.
Es. 3
∆❹^ + ➁∆ + ➁ > 0
In questo caso la disequazione è verificata per ∀ ∆ ∈ ⅴ tranne in ∆ = −❹ dove l’equazione associata si annulla.
Es. 4 ∆ − ❸ ∆ + ➁ ≥ ❷
Condizione di compatibilità:
ᡶ + 4 ≠ 0 ᡶ ≠ −
ⅵ: ∆ < −4 ∨ ∆ ≥ ❸
ovvero
ᡅ: ᡶ ∈ (−∞, −4) ∪ [1", "∞).
