alcuni modelli probabilistici, Slide di Statistica

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Alcuni particolari modelliprobabilistici

Distribuzioni di probabilità

Esistono diversi tipi di distribuzioni di probabilità, le più utilizzatesono:Distribuzioni discrete:•Uniforme discreta,•Bernoulli,•Binomiale,•Ipergeometrica,•Poisson,^ Distribuzioni continue:^ •Normale,•Gamma,•Esponenziale,•Pareto,

Distribuzione binomialeÈ la distribuzione di probabilità della v.c. “numero di successi in

n^ prove

indipendenti su un esperimento bernoulliano”:In cui:rappresenta la probabilità che si verifichino contemporaneamente x voltel’evento A, con probabilità p, e (n-x) volte l’evento B, con probabilità 1-p.è il numero delle possibili combinazioni semplici di n oggetti di classe x.La media e la varianza della v.c. binomiale sono date da:

n  xnx^ ^1 ()( nxppxf   x 

). 1 ()(Var;

)(E

pnpX

npX 

n ! n ^ )!(!^ xnxx^ 

xnx  pp  ) (^1) ( n   x 

Distribuzione binomiale Nella figura che segue è rappresentata la distribuzione binomiale per

n^ = 12

e per quattro diversi valori di^ p

: 0,3; 0,5; 0,6; 0,8. Come si vede, la

distribuzione è simmetrica quando p^ = 0,5, è asimmetrica positivamente quando

p^ < 0,5, è asimmetrica

negativamente nel caso opposto.^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

11 12 0,200,150,100,050,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 0,200,150,100,050, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 0,200,150,100,050,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 p^ = 0,3 p^ = 0,3^ p^ = 0,5 p^ = 0,5 p^ = 0,6 p^ = 0,6^ p^ = 0,8 p^ = 0,8 0,250,200,150,100,050,

Esempio 1: distribuzione binomiale In un corso universitario di statistica gli studenti provengono: per il 45% dal liceo scientifico, per il 5%dal liceo classico, per il 32% da istituti commerciali e per il 18% da altre scuole.Supponiamo di estrarre a sorte, con ripetizione, un campione di 8 studenti e di conteggiare il numero diquelli che provengono dal liceo scientifico. Si ha una v.c. binomiale in cui il numero delle prove è 8 e la probabilità di successo è 0,45, lacui distribuzione di probabilità è riportata nella tabella che segue.^ x^0 1 2 3 Le probabilità si calcolano nel modo seguente:N.B. 0! =

(^4 5 6 7 8) F(x) 0,008 0,055 0,157 0,257 0,263 0,172 0,070 0,016 0, ! 8.^002 ,^045 ,^0 ) (^8) (;;!^0! 8 ! 8055 ,^055 ,^045 ,^0 ) (^1) (;!^7! 1 ! 8008 ,^055 ,^0 ) (^0) (!^8! 0

  ^ 

f ff 

Esempio 2: distribuzione binomiale Un’azienda dichiara che i tubi di acciaio da essa prodotti presentano un diametro compresotra 10 mm e 12 mm. È noto, però, che il 4% dell’intera produzione eccede tali specifiche diqualità. Vogliamo calcolare la probabilità che in un campione casuale di 30 tubi, ve ne sianonon più di due difettosi. Indicato con X^ il numero di tubi difettosi nel campione, possiamo dire chePertanto:

). (^30) , (^04) , (^0) (bin X^ )^2 () (^1) () (^0) ( ) (^2) (

 

XPXPX PXP

3096 ,^004 ,^096 , 02 3030  ^04 ,^096 , 0 ^10 

. (^8831) , (^02219) , (^03673) , (^02939) , 0 

Distribuzione normale La v.c. normale o di Gauss è sicuramente il modello più importante delcalcolo delle probabilità.È una distribuzione continua ed è descritta dalla seguente funzione di densità 2 dove μ e σ sono la media e la varianza della v.c., quantità che soddisfano ledisuguaglianze:^2^ -^ ^ <^ μ^ <^ , 0 <^ σ^

1 ,,^2 <^ .

xe

x^  xf ^2 Per brevità si indica con N(,^ )

Proprietà della distribuzione normale Cap. 14- 11  È simmetrica, avendo come asse di simmetria la retta

x^ =^ μ^ ; ^ È crescente nell’intervallo (

-^ ,^ μ ) e decrescente nell’intervallo (

μ ,^ ) ; ^ Ha due punti di flesso in^ x

=^ μ^ –^ σ^ e^ x^ =^ μ^ +^ σ^ ; ^ È concava (verso il basso) nell’intervallo (

μ^ –^ σ ,^ μ^ +^ σ ) e convessa altrove; ^ Ha come asintoto l’asse delle

x^.

Funzione di densità della v.c. normaleLa funzione di densitàconsente di calcolare laprobabilità che la v.c.assuma valori all’internodi un qualsiasi intervallo( a , b ): tale probabilità è datadall’area sottesa allacurva normale in dettointervallo.

)(Area bXaP )(Area bXaP xx ba μ ba μ La superficie compresa tra le due ordinate che distano

^ (punto di flesso della curva) da^ , comprende circa il 68% del totale, per 2

^ da m l’area è circa il 95% e per 3

^ è il 99.7%.

Funzione di ripartizionedella v.c. normale

Cap. 14-

È la probabilità^ )()(^ xXPxF^  Graficamente^ F ( x ) è rappresentatadall’area sottesa alla curva normaleda -^ ^ fino a^ x. La funzione di ripartizioneconsente anche di calcolarei quantili della distribuzionenormale.

)()(Area xFxXP )()(Area xFxXP μ x μ x p = area = F ( x p )= P ( X < x p ) p = area = F ( x p )= P ( X < x p ) μμ xx xxpp^22 Quantile di livello della v.c. p )(^ ,N^ μ^ σ Quantile di livello della v.c. p )(^ ,N^ μ^ σ

Dalla v.c. normale N(

(^2) μ , σ ) alla v.c. N(0,1) e viceversa

0 zx

Area^ = F x P X^ x ( ) =^ (^ <^ ) Area^ =^ )( )^ =^ (^ < z P Z^ z

Asse^ x^

) (^1) , (^0) (N ) -----------------^ ----------------- x^ z Asse^ z z x = ( x z = 2 Le due aree sono uguali,(N μ σ μ^ μ^ σ μ^ σ

0 zx

Area^ = F x P X^ x ( ) =^ (^ <^ ) Area^ =^ )( )^ =^ (^ < z P Z^ z

Asse^ x^

) (^1) , (^0) (N ) -----------------^ ----------------- x^ z Asse^ z z x = ( x z = 2 Le due aree sono uguali,(N μ σ μ^ μ^ σ μ^ σ

Esempio 5: Uso della tavola della normalestandardizzata Cap. 14- 17^ Seconda cifra decimale di^ z z 0,00 0,01 0,02^ 0,03^ 0,04^ 0,05^ 0,06^ 0,07 P (-1,63 <^ Z^ < 0,36) =^ (0,36) -^ (-1,63)= 0,6406 – (1-0,9484) = 0,5890.

N.B.: Abbiamo applicato la regola

Esempio 7: calcolo dei quantili della normalestandardizzata^ P ( Z^ <^ z ) =^ ( z ) = 0,9599^ 

• 0,08 0,
  • 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,
  • 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,
    • 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,
    • 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0, - 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0, - 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0, - 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0, - 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0, - 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0, - 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0, - 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0, - 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0, - 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0, - 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0, - 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0, - 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0, - 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0, - 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0, - 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,
      • -5 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,
• Area = 0,6406-3 -1 1 3 5 Area = 0,0516-5 -3 -1 - 0,36 -1, Vogliamo calcolare la probabilità che la v.c. normale standardizzata, Z, assuma un valore compreso tra -1,63 e0,36. Bisogna calcolare le aree sottese alla N(0, 1) fino a 0,36e fino a -1,63, utilizzando la Tavola C2, qui riprodottaparzialmente, e farne la differenza. - Seconda cifra decimale di z z  1,750, - z 0,00 0,01 0,02 0, - 0,04 0,05 0,06 0,07 0, - 0, - 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0, - 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0, - 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0, - 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0, - 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0, - 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0, - 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0, - 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0, - 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0, - 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0, - 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0, - 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0, - 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0, - 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0, - 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0, - 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0, - 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0, - 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0, - 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0, - 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,
• Calcoliamo il quantile della normale standardizzata di livello 0,96.Si prende, all’interno della tabella, il numero più vicino a 0,96.Si trova 0,9599, a cui corrisponde z 0,
  • Area = 0,9599 -5 -3 -1^1 3 5 1,  1,75.
• Esempio 8: calcolo dei quantili della normalestandardizzata P ( Z < z ) = ( z ) = 0,9394 z 0, - Seconda cifra decimale di z  1, - z 0,00 0,01 0,02 0,03 0, - 0,05 0,06 0,07 0,08 0, - 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0, - 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0, - 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0, - 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0, - 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0, - 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0, - 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0, - 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0, - 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0, - 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0, - 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0, - 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0, - 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0, - 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0, - 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0, - 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0, - 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0, - 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0, - 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0, - 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,
  • z  1,55. Da qui si ottiene z 0,94 0, Calcoliamo il quantile della normale standardizzata di livello 0,06. Si prende, all’interno della tabella, il numero più vicino a 1 – 0,06 = 0,94. Sitrova 0,9394, a cui corrisponde
  •  -1,55 -5 -3 -1^1 3 5  1,55   z  1,55.0,