Algebra 1 - Insiemi e Sottoinsiemi, Appunti di Algebra I

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• ALGEBRA

INSIEM

IN :^ numeri naturali

: (^) numeri interi

& numeri^

razionali =

(a

= a+ 4 ,

beN

)

IR :^ numeri reali

C : (^) numeri

complessi

Un insieme (^) si

può

descrivere per

:

· ELENCAZIONE : X = (0 ,^

1 ,

7 ,

15 , 193

PROPRIETÀ :^ Y

= GUEN/yets è^ primo

e n è disparis

Due insiemi sono

uguali

se hanno esattamente lo^ stesso numero di elementi

FazX si da nel ,

FyzY

si ha yeX

SOTTOINSIEME :^ =Y FrzX^ si ha nel

Insieme VUOTO :^ X^

= & non

ha (^) elementi. È (^) sottoinsieme di ogni

insieme

X (^) Insieme ;

A ,

B = (^) X

.^ Definiamo

• unione : AuB^

=

(mzX/neA oppure^ neBS

• intersezione :^ AnB^

=

Guex/neAe (^) neB)

Proprietà

di (^) unione e intersezione :

1. commutativa AuB^

= (^) BuA

,

AnB =^ BnA

1. Associativa (AuBluC =^ Au(Buc)^ ,

(AnBInC =^ An(BnC)

1. Distributiva An(Buc) =^ (AnBlu(Anc) ,

Au(BnC) = (AuB)n(Au2)

N. B : And

=

(^0) ,

Aud

= A

COMPLEMENTARE :^ A^ =^ X^

,

(x(A) = (xeX(x

A)

FORMULE DI MORGAN :^ C(AUB) =^ Cx(A)n(x(B)

(x(AnB) =^ (x(A)u(x(B)

FUNZIONE IDENTICA DI^ X^ :^ idx :^ X-X^ idx(x)^

= (^) x

N. B :^ le^ funzioni identiche sono elementi neutri^

rispetto

alla composizione

An +o ammette^ inverso.^ In^ gli

invertibili sono (^) x=^1 ,

n =^ -

INVERSE DI^ APPLICAZIONI^ :

È necessario distinguere

inversa destra (^) e sinistra

Data (^) f : X^ -^ Y applicazione,

diciamo che

g

: (^) 4-X è :

· (^) INVERSA DESTRA se facendo fog

si ottiene l'elemento neutro : fog-idy

· INVERSA SINISTRA^ se facendo gof

si ottiene l'elemento^ neutro :

gof

= idx

· INVERSA BILATERA se

gofida

e

Gog

= idy

Oss :^ Se (^) una

funzione

ammette inversa , questa

è unica:

grotoga

=

gro(foga) =groidy

=

ge

3

gr

=

gz

gaofoga

=

(gaoflogz

= idx

o ga

=

gz

N. B : l'inversa bilatera è unica

ma una funzione può avere

più

inverse

destre o sinistra.

eX :

(^1 )

G

:

,

2 , (^33)

41

,

2 ,

3 ,

4 ,

1 2 2 2 [

(^2) e 3 limando

(^2 3 3 2) dove voglio

g

: /2,

2 ,

3 ,

4

. 53 - ( ,

2 , 3)^

(^3 4 4 )

3 3

gof(1)

=

g(4)

= 1

gof(z)

= g(1)

= 2

gof(z)

=

g(5)

= 3

gof(x)

= (^) x Ex (1,

2 , 33 =^

g

è (^) inversa sinistra (^) di f

In base a come scelgo g(z)

e g(3) attengo

inverse sinistre diverse.

N. B : f: x

• U ,

AX f(a)

=

(f(a)

: a + Ay

= Y

FIBRADI & SU^

y

: f

2

(hyb)

=

(x

= X : f(x)

=

yy

= X

ex :

S =^ studenti di

unige

M =^ mesi (^) dell'anno

7 :^ S^

M (^) fu)

= mese di^ nascita^ di^ n

FIBRA : f-2 (b Gennaio) =

[ueS

: f(u) = Gennaio)

OSS :

f :^

X +^ U

surgettiva

Fuel f(bu3) + d

↓ iniettiva^ Fyell (^) fy]) La^ al^ più un elemento

bigettiva Fuel^

[2(y)) ha^ esattamente^

(^1) elemento

TEOREMA

Data f: x -Y^ applicazione ,

Xto ,

470 , allora^ :

↓ ha^ inversa^ destra^

f

è

surgettiva

c. f

ha (^) inversa sinistra

>f

è (^) iniettiva

f ha^ inversa^

bilatera sfè

bigettiva

Dimostrazione :^ 1) Ip

: Ig

inversa destra^ di^ 7.

Th : f è

surgettiva ,

cioè Jyel ,

TrotX +. c. f(xd) =

yo

Per

ipotesi

foridu

calcolo fog

(nd)

=

f(g(ya)

= idy(yd)

= 40

poniamo

No

=

g(yd f(ud

=

yo

1 .) Ip

:

f

è surgettiva ,

cioè f1(/yo)

Tesi :

7g

: 42X.

Definiamo

q

in questo

modo : glyo-scegliamo

un elemento^

di

f

2((y03)

d

Log

(yd)

=

f (g(yd)

=

yo

2 .)^

Ip

:

Fg

: 4

X :

gof

= idx

Th :^ finiettiva

,

cioè (^) dati 11 ,

12 e X +. c. f(x) =^ f(nz)

,

da provare

sc =^12

f(x)

= f(x) applica^

g

: op(f(ud)

=

g(f(xa)

• (^) x = (^) m

Il (^) Il

idx(nz) idx(xz)

COROLLARIO

Dati + ,

4 insiemi If:^ x14 iniettiva

Ig

: 42X surgettiva

Div:^ Per il teorema Ig

. (^4) BX inversa sinistra di f (gof

= ide)

Teo.

quindi

è inversa destra^ di g

.

= gè surgettiva

= ) (^) FAI PER ES .

CARDINALITÀ :^ Misura^ di^ grandezza degli

insiemi

Dati X ,

4 insiemi ,

diciamo (^) che :

1. Xe4 hanno la stessa cardinalità se 78 :^ / bigettiva

(1) =^ (4)

2 .

X ha cardinalità minare o

uguale

a 4 se 77 :^ x34 iniettiva (1x1141)

surgettival

big

Oss:

1, a

1

z = (x) = 1z)

Dim :

2

: X-

bigettiva

=> gof

: X -^ Z

bigettiva

84-z bigettiva

ini (^). ini. (^) inci.

OSS : (x^

= (^) (41e (41 = (^) (z) => (= (^) (z)

Dim : (^) f :^

X - Y

iniettiva

=> gof

: X - Z^ iniettiva

g

: 4 Z^ iniettiva

TEO . CANTOR-BEDNSTEIN

se (x^

( = (^) (4) e (^

= (^) (x) = (x)

=

N. B:^ /NI^

= /X1 Finsieme X (^) in finito

Dim: Dobbiamo^

provare

che If

: N-X iniettiva

IN X

O un (^) No

= mus (^) the d+ (^) Gel Fra^ # G20]

a muxi retirol X1620^ , 23 +^

Frex costruisco (^) finiettiva...

3 us^13

:

DEF :^ un insieme X^ è detto (^) NUMERABILE se IX1 =^ /IN)

N. B^ :^ (^

= IN)

,

IQ

= III ,

Il-IN) Répiù

che numerabile

COSTRUISCO UN^ APP. BIGETTIVA DA IN^ A

f

: IN^ T

&

f(x)

=

E -par

e

pare

2

• 1

3

2

!

METODO DIAGONALE DI^ CANTOR

h

=

(a

: atx

,

be

)

1 - 12 - 23 - 3 ...

1

Ye

4 3/^

3/

leggo

le diagonali

:

• 2/22/ -

313

2/z

233/

IN : 1 2 3 4 5

--

/

&

è bigettiva

2 - = E ...

OSS

:

·

X insieme

finito e^ f

: +X

, f

iniettiva (^) f surgettiva

·

f

: (^) N-IN fa)

= (^) a+ (^1) è iniettiva e non^ surgettiva

TEO .

CANTOR

X insieme (^) = (P(X))-IX)

N (^). B: Non esiste un insieme

più

grande

di tutti

Dim: Da provare

che 72

: X 1P(X) iniettiva

1. cioè che (x1 =^ /P(X))^ e (^) f:^ X

>

P(X)

surgettiva

(^2). cioè (^) che (x1 =^ (P(x)

⑳

(^1). f

: X +^ P(x) (

1. f(u)^

= /x] verifico se^ f è^ iniettiva

x , y

• X +. c. f(x)

=

f(y)

= (x)

=

4y

= n= 4

2.^ Data^ f :^ X

• (^) P(X) da provare

che f non^ è^ surgettiva ,

cioci

Proprietà

:

·

(

)

= = ·

(n) =^

= n

·

= (^) ht

·

(m)

=

(nüm)

·

(4) (^) =

ex

:

(5) = =

=

FORMULA RICORSIVA

(m)

=

(n-1)

(

Gen (^) e (per la^ formula

di

Tartaglia)

verifico

m

divido

con

(n-!tu e

-(n-m)!

mime) (^) !men

-m)!

moltiplico

con m !

tutto

mmm

moltiplico (^) per

(n-m)! tute

n

= n

• (^) m
  • m = n^

= m

BINOMIO DI^ NELTON

(x+ (^) y) =

(ryn

ex : (^) n =^7

(x+

y)

=

(5)

(2)

(2)x

()24"

(

(5)

15242

/

• (^) Qui mancano degli appunti

Su

Sn = Ef :^

X-X

bigettival

#Sn =^ n!

Sn è l'insieme delle

permutazioni

Sa

: X +^ X

2

1

(23)

Y

2 2

33

↓

(^4 )

CIGLI

Ciclo (134)^ 3-ciclo

1. 3

,

,

2 va in^

se (^) stesso.

I 2-cicli^ si dicono SCAMBI :^ ( ,

(

permutazione

1234567

= (e ,

1. (23463) =^ (

( (

N. (^) B:

Ogni

ciclo è prodotto

di scambi e ogni permutazione

è prodotto

di cicli e^

ogni

permutazione

è prodotto

di scambi.

:4 d^

surgettiva

PRINCIPIO DI INCLUSIONE ED ESCLUSIONE

X = AuB #X =^ #^ A^ + #B

• (AnB)

finiti

X =^ Aubuc #x=^ #A+ #B + # C

• (AnB) -^ # (Anc) - #(Br() + # (^) (AnBrC)

finiti

ex : 2 : x^

• (^4)

g

: 4 - X

1 2

2

2 Iniettiva

I (^2) e 4 hanno^3 possibilità

13

↑ 1

2

(^7) inversa sinistra

3 (^2) ciascuno # inverse

3 4 3

sinistra

↓ (^) -

PARTIZIONE DI UN INSIEME

Dato X insieme

una (^) partizione di^ X^ è PeP(X) +. c.

:

1

.^ D^ P

2. VA

,

BEPtc. AtB si ha^ che ArB

= &

A = X

AtP

ex :^

X = ( ,

2 ,

3 ,

, 54 def

. una rel.^ di^

equivalenza

R

=

&(2, 2)^ ,

,

,

( ,

,

( .

,

( , (^) 5)

2 S

ex :^ IN^ I^ relazione di naturali

U

(^34) R

=

((min)

:

men)

ver (^) di ordine

ex :

insieme

ARBA

= B

N. B^ :^ Una^ relazione^ di^ ordine è^ Totale se^ Fr

, (^) yeX

si ha (^) n Ry

oppure

y

Rx

.

2X : IN

= (^) classica è di ordine Totale

ex : (^0111) ,

(^2) .. 14

=

ordine non totale

poiché

A =

121 AB (^) POSET

B

=

(24 BIA

ex : (^) X

=

R

R

=

((n,^

=

R

=

R

= my" =^

S (n Ry my

= Q)

RELAZIONE DI EQUIVALENZA (R

= -)

nvy ny^

-Q verifica

rel (^). di equivalenza

1

. RIFL.^

FueIR

da provare

MUN cioè

un'Qun=^1

2. SIMM

. XmyeIR

muy

da

provare

che

y

un

Hp :^ My

Q Tesi^ : you're

D

Dim: o

• 2 Q^ =^2

+Q

= (^) (my

=Q

= mi

y

= =^

yn

R

Altro Lodo

mi

< (^) Q voi n=

xy

+>

1 =^ <^

-C

=

yn

Q

1. (^) TRANS· Fr , 4.

z E^

IR

Hp my , yet

(my +Qeyzc@)

Tesi (^) : nuz (nz Q)

Dim :^ nz1^ =

my

Q

Altro (^) modo :

Ce

Ge

= Bed

sh m

==

CLASSI DI EQUIVALENZA

Dato X^ insieme e

~

rel. di

equivalenza

Dato meX =

yeX

:

x - y)

=

(y

= X =

gen

= X

CLASSE DI EQUIVALENZA DI^ M N^.^ B^ :^

NEM

per riflessività

esempio

:

X =

(2,^

2 ,

3 , 4

. 34

~ =

((

,

2)( ,

24 ,

,

,

(a .

.

,

S)

,

,

,

,

,

,

,

(2, 3)^ , (3. 2)

I=

(1,

2

. 34

= =

(

,

2 , (^34)

=

I

= 344

5

=

OSS :^ Xinsieme ,

~rel equivalenza

x (^) /

• 4

N

n ,

yeX +^

n =

y

= n

y

ynn i^

= d

Dimostratione:

1 .

= > =

i

=>

y

=

y

= n

yencio

n-

y

transitività +^ simmetria

C.

muy

Le

= nuz ma nuy quindi^ yuz

zei

"2" da

provare n^

Zen cial nuz

ipotesi

muy

=>

yez

=>

zey

"2"Per ex

2. FY

nXY

è la

negazione

di 1

De

provare

che nty in

= b

=> Ip : Mry

Th (^). ni

= b

nuz

Por (^) asurdo ,

se (^) zenny z- y

avy contraddice^ l'ipotesi

[ (p

: mi

= 0

=> Th^ :^ nwy

nEx

Per (^) assurdo

,

se muy ney

=>

ufant

o Fipotesi

Quindi

L'insieme (^) della classi (^) di

equivalenza

è una partizione

di X

3 .TRANS (^) : aub ebucanc

Ip :

alb-a nic-b nica (^)!

7de +. c.^ b^ -^ a =^ dn Jee (^) /+. c. c-b = (^) en = fex

+. c. c

• a= fn

-I

Sommo

c-a =^ da^ +^ en = (dteln f

: = d+ e ok

Come sono fatte le^ classi^ di

equivalenza

?

n

= 2 5

=

Gbe t

. c. orby

= (^) numeri

pari

= (^27) =

(2r

: =x)

2/b-02/b

0 =^2 =^ - E= 2004

1 =

(bcx

: 1 -

by

= (2k

• (^1)

, ke)

n dispari

21b

• (^1) JREX : b- 1

= (^) 2n

b= ^ X/n i

proiezione

canonica sul^ quoziente

N

n- i^ #(m) = m

esempio

:

R- >^ R/n

π(z) =^5 =^ ( .

= = =^ 23

, 34

Con

e iriettiva ,

ma è^

surgettiva

Vedo (^) se è surgettiva

:

el arbitrario

Dato (^) FeX/n (t) =^ E

Dato fix

• Y

X

,

4 insiemi

resta indata^ una^

rel di equivalenza su^

X

. Definita

casi :

M (^) , vmz=>^ f(m)

= f(nz) S

m ,,

nzEX

OSS :^ è rel . di

equivalenza

mon f(ul

= f(m)

ok

wwanaghi

fin

= fla) final

= f(mi)

ore

S

ma

Mara =>^ More flu-fina). f(Mc)

= f(x) =>^ f(mi)

= f(x)

È una rel di^ equivalenza

esempio

:

8

:

/

.

2 ,

3 ,

4

. 54 - 52 ,

2 ,

, (^44)

1 +

2

2

12 253

3

/s

1

3 4-

8

4 4

2

=

(2 ,^34

=

f +

(24)

L'insieme delle (^) classi di equivalenza

i

=

=

8

(432)

è l'insieme delle

fibre non^

vuote

I = (

=

f -

(424)

g

è iniettiva n^ , (^) jeX/y

+. (^) c.

g(m)

=

g(y)

f(2)

= fig)

m

y

• n =

y

.

Ing

= Inf

avvio (^) dalla

def

di

g

: g(a)

=

f(n)

g

è

surgettiva f surgettiva

ovvio perché Ing

= Inf

1. (1)

= 141 se frugetiva è

bigetiva

esempio

:

X

8

:

42

,

2 ,

3 ,

4 , 54

• (^41).

2 ,

.

44

(^1 1) i= 5

a

Il

3

-s

e

Se ti

E

4

COME SI COSTRUISCONO GLI^ INSIEMI

IN =T^ =Q^ =^ IR =

&

m

IN me^

es Ques R

COSTRUISCO & PARTIRE DA^ L

7 ha^ due operazioni

: (^) solma e moltiplicazione

opposta

· comm.

· solo 1 ,

-1 (^) sono inu.

· 7 o neutro

· ass.

· associativa

· dist

①

commutativa

· (^1) el neutro

num. den

X =^ x

definiamo una^ rel.^

~ (^) su X^ atx

,

be

(a

, b)^ ,

(c , d)^

X

(a

,

blu (c , d)^

ad = bc

1 .

RIF (a

,

b)v(a ,

b)? ab^ =^ ba^ on (commutativa

(^2). SIMM (a ,

b) -^ (c , d)

= (^) (c ,

d) -^ (a ,

b)

ip

: (^) ad= (^) bc = Tesi^ :^ chida^

Op ! (commutativa

TRANS : (a ,

b)

~(c ,

d)

~

(e

, f)^

= (a

,

b)

~ (e , f)

ip

: adbe^ ,

(f =^ de^ Tesi^

:

af

= be

ad =^ bc-ade=^ bce^ = (^) act =^ bce => claf-be)

= 0

H

O O

&

C = 0 adoazo dato eto s af = be

af

= be

=> E' (^) una relazione di^ equivalenza

Q

: = X/n (53)

= Q

Il

(a . b)

= X

= b)

S

la

b2b

I

b

2 E

quindi

5

=

j

=

T23) = 46)

coe

( ,

1. ( ,

a

atk b ,

s +^ *

[sbs)

=

b)

-?

b

las ,

bslu(a ,

b) asbibsa veral

OPERAZIONI SU

in

Qx

Q

ad+^

ch Q

E +

bat

.. Qx - Q

:

= (^) Q

Bisogna verificare^

il risultato^ non dipende

dai

rappresentanti

problema della (^) Buona definizione

delle classi

Quando abbiamo una f

con l'insieme

quoziente

come dominio

BUONA DEF. DI +:

ipotesi

Tess

la

, ca

= da

(a ,

b) -(an^

,

bz)

abr =^ bas