Algebra Lineare: Esercizi Risolti e Spiegazione, Dispense di Algebra Lineare e Geometria Analitica

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Appunti di algebra lineare

Federico G. Lastaria

Mauro Saita

Politecnico di Milano

gennaio 2011

(Edizione corretta)

Consigliamo MIT OpenCourseWare (Massachussets Institute of Technology), dove si trova

materiale didattico relativo a numerosi corsi di matematica e fisica. In particolare, si possono

seguire i video delle lezioni del corso 18.06 Linear Algebra, tenuto da Gilbert Strang.

Un vivo ringraziamento a Pietro De Poi (Universit`a di Udine) per consigli e correzioni.

Naturalmente siamo i soli responsabili degli eventuali errori rimasti.

Federico Lastaria

[email protected]

Mauro Saita

[email protected]

Milano, Gennaio 2011.

• 1 Spazi vettoriali e Applicazioni Lineari
  • 1.1 Gli spazi vettoriali reali
    • 1.1.1 Lo spazio vettoriale delle matrici m × n
  • 1.2 Combinazioni lineari. Sottospazi.
  • 1.3 Basi e dimensioni. Coordinate.
  • 1.4 Riduzione a scala
  • 1.5 Esercizi
  • 1.6 Prodotto di matrici. Matrici invertibili
  • 1.7 Esercizi
  • 1.8 Applicazioni lineari
  • 1.9 Esercizi
  • 1.10 Applicazioni lineari e matrici
    • 1.10.1 Matrice associata a un’applicazione lineare
    • 1.10.2 Cambio di base
  • 1.11 Esercizi
  • 1.12 Somme di sottospazi. Formula di Grassmann
  • 1.13 Nucleo e immagine
    • 1.13.1 Il teorema delle dimensioni
  • 1.14 Esercizi
• 2 Sistemi lineari. Rette e piani nello spazio
  • 2.1 Sistemi lineari. Il teorema di Rouch´e-Capelli
  • 2.2 Sottospazi affini
  • 2.3 Il metodo di eliminazione di Gauss
    • 2.3.1 Esempi
  • 2.4 Esercizi
  • 2.5 Rette e piani nello spazio
  • 2.6 Esercizi 4 INDICE
• 3 Spazi vettoriali euclidei
  • 3.1 Spazi vettoriali euclidei
  • 3.2 Esercizi
  • 3.3 Matrici ortogonali
  • 3.4 Proiezioni ortogonali e matrici associate
    • 3.4.1 Proiezioni ortogonali su rette
    • 3.4.2 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli
    • 3.4.3 Matrici di proiezioni su rette
    • 3.4.4 Il procedimento di Gram-Schmidt
    • 3.4.5 Proiezioni ortogonali
    • 3.4.6 Matrici di proiezioni
  • 3.5 Uguaglianza dei ranghi per righe e per colonne.
• 4 I determinanti
  • 4.1 Propriet`a caratteristiche del determinante.
    • 4.1.1 Esistenza e unicit`a del determinante.
    • 4.1.2 Calcolo del determinante
    • 4.1.3 Il determinante del prodotto
  • 4.2 Spazi vettoriali orientati
    • 4.2.1 Basi equiorientate
    • 4.2.2 Deformazioni continue di basi
  • 4.3 Interpretazione geometrica del determinante
  • 4.4 Esercizi
• 5 Autovettori e Autovalori
  • 5.1 Introduzione
  • 5.2 Autovalori e autovettori
  • 5.3 Il polinomio caratteristico
  • 5.4 Matrici e operatori diagonalizzabili
    • 5.4.1 Esercizi
• 6 Operatori autoaggiunti. Il teorema spettrale.
  • 6.1 Operatori autoaggiunti
    • 6.1.1 Forme quadratiche
• INDICE - 6.1.2 Cambio di coordinate in una forma quadratica
  • 6.2 Il teorema spettrale per operatori autoaggiunti
  • 6.3 Propriet`a di massimo e minimo degli autovalori di una matrice simmetrica
  • 6.4 Esercizi
• A Esercizi
  • A.1 Tema
  • A.2 Tema
  • A.3 Tema
  • A.4 Tema
  • A.5 Tema
  • A.6 Tema
  • A.7 Tema

Capitolo 1

Spazi vettoriali e Applicazioni

Lineari

1.1 Gli spazi vettoriali reali

I punti del piano, e quelli dello spazio, si possono rappresentare mediante coppie o, rispetti-

vamente, terne ordinate di numeri reali, quando si fissa un sistema di riferimento cartesiano.

Questo suggerisce l’idea di considerare l’insieme R

n delle n-uple ordinate di numeri reali come

uno spazio di “vettori” , che scriveremo come vettori riga:

v =

∣ (^) a 1.^.^.^ an

∣ (^) o anche (a 1 , ..., an)

o come vettori colonna:

v =

a 1

.

.

.

an

Lo spazio R

n delle n-uple di numeri reali e l’esempio piu comune di spazio vettoriale.

Quando pensiamo a R

n come a uno spazio vettoriale, intendiamo prendere in considerazione

soltanto due operazioni:

• la somma di vettori: (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1

.

.

.

an

b 1

.

.

.

bn

a 1 + b 1

.

.

.

an + bn

• la moltiplicazione di uno scalare reale per un vettore:

λ

b 1

.

.

.

bn

λb 1

.

.

.

λbn

8 CAPITOLO 1. SPAZI VETTORIALI E APPLICAZIONI LINEARI

dove λ `e un numero reale.

Veniamo ora alla definizione precisa di spazio vettoriale.

Definizione 1.1.1 Uno spazio vettoriale reale `e un insieme V con due operazioni:

• la somma:

V × V −→ V

(v, w) 7 −→ v + w

• la moltiplicazione per uno scalare:

R × V −→ V

(λ, v) 7 −→ λv

Queste operazioni devono soddisfare i seguenti assiomi:

1. La somma `e commutativa: per ogni v, w in V

v + w = w + v

2. La somma `e associativa: per ogni u, v, w in V

(u + v) + w = u + (v + w)

3. Esiste un vettore in V , il vettore nullo 0 , che `e elemento neutro rispetto all’operazione

di somma, nel senso che

v + 0 = v

per ogni vettore v.

4. Per ogni vettore v ∈ V esiste un vettore, l’opposto di v, denotato −v, che sommato a

v d`a il vettore nullo:

v + (−v) = 0.

Diremo allora che V , con l’operazione di somma, `e un gruppo abeliano.

5. Per ogni v, w in V e per ogni λ, μ in R

λ(μv) = (λμ)v

(λ + μ)v = λv + μv

λ(v + w) = λv + λw

1 v = v

10 CAPITOLO 1. SPAZI VETTORIALI E APPLICAZIONI LINEARI

Esempio. A =

∣ ∣ ∣ ∣

1 0 3

2 − 1 2

∣ ∣ ∣ ∣ `e una matrice 2^ ×^ 3.^ Se ci riferiamo a questa matrice come a

A = (aij ), allora a 11 = 1 a 12 = 0, a 13 = 3, a 21 = 2, a 22 = −1 e a 23 = 2.

Esempio. Una matrice m × 1 `e un vettore colonna di Rm. Non useremo l’indice di colonna, e

scriveremo un vettore colonna semplicemente come:

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x 1

.

.

.

xm

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Un matrice 1 × n `e un vettore riga di R

n

. Ometteremo l’indice di riga, e scriveremo un vettore riga

come

∣ ∣ (^) y 1.^.^.^ yn

∣ ∣ (^) oppure come (y 1 , ..., yn).

Una matrice 1 × 1 contiene un unico numero, e non la distingueremo dalla sua unica componente.

Somma di matrici. Si definisce la somma di due matrici solo quando sono entrambe dello

stesso tipo m × n. Siano dunque A = (aij ) e B = (bij ) due matrici m × n. La somma A + B

e la matrice C = (cij ) di tipo m × n, il cui elemento di posto ije

cij = aij + bij.

Si dice che la somma di matrici si fa per componenti.

Esempio. Se A =

∣ ∣ ∣ ∣

5 0

0 7

∣ ∣ ∣ ∣

, B =

∣ ∣ ∣ ∣

− 1 1

3 2

∣ ∣ ∣ ∣

, allora A + B =

∣ ∣ ∣ ∣

4 1

3 9

∣ ∣ ∣ ∣

Esempio. La matrice nulla m × n, denotata con il simbolo 0, `e la matrice le cui entrate sono tutte

nulle. Ovviamente, per ogni matrice A di tipo m × n, si ha

A + 0 = A

Per ogni matrice A, si denota con −A, e si chiama matrice opposta di A, la matrice di componenti

(−A)ij = −Aij. Ad esempio:

A =

∣ ∣ ∣ ∣

2 1

3 − 2

∣ ∣ ∣ ∣

, −A =

∣ ∣ ∣ ∣

− 2 − 1

− 3 2

∣ ∣ ∣ ∣

,

Per ogni matrice A, si ha A + (−A) = 0.

Moltiplicazione di un numero per una matrice. Se λ `e un numero reale e A = (aij )

e una matrice m × n, definiamo λA come la matrice m × n la cui componente (λA)ije

(λA)ij = λaij.

1.1. GLI SPAZI VETTORIALI REALI 11

Esempio. Se λ = 2 e A =

∣ ∣ ∣ ∣

6 0

2 7

∣ ∣ ∣ ∣, allora 2A^ =

∣ ∣ ∣ ∣

12 0

4 14

∣ ∣ ∣ ∣

Diremo anche che λA `e il prodotto dello scalare λ per la matrice A.

Propriet`a della somma di matrici e della moltiplicazione di

uno scalare per una matrice.

A, B, C sono matrici dello stesso tipo m × n e λ, μ sono numeri reali.

1. (Propriet`a commutativa) A + B = B + A
2. (Propriet`a associativa) (A + B) + C = A + (B + C)
3. (La matrice 0 `e elemento neutro rispetto alla somma)

A + 0 = A

4. (Ogni matrice ha un’opposta rispetto alla somma)

A + (−A) = 0

5. λ(μA) = (λμ)A
6. λ(A + B) = λA + λB
7. (λ + μ)A = λA + μA

8. 1 A = A

Tutte queste proprieta seguono facilmente dalle definizioni e dalle corrispondenti proprieta

dei numeri reali. Riassumendo, l’insieme M (m × n, R) delle matrici reali m × n, dotato delle

operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare, `e uno spazio vettoriale.

Diamo ora una definizione, che sar`a utile in seguito. Sia A una matrice di tipo m × n. La

trasposta di A `e la matrice

t A, di tipo n × m, definita nel modo seguente:

t A)ij = Aji

per ogni i = 1, ..., n, j = 1, ..., m. La matrice trasposta

t A si ottiene dunque dalla matrice A

scambiando le righe con le colonne.

1.2. COMBINAZIONI LINEARI. SOTTOSPAZI. 13

Definizione 1.2.2 I vettori v 1 , ..., vk si dicono linearmente dipendenti se esistono k numeri

λ 1 , ..., λk non tutti nulli per i quali

λ 1 v 1 + .... + λkvk = 0.

In caso contrario, i vettori v 1 , ..., vk si dicono linearmente indipendenti.

Dunque i vettori v 1 , ..., vk sono linearmente indipendenti quando

λ 1 v 1 + .... + λkvk = 0

vale solo quando λ 1 = ... = λk = 0.

Esempi (a) Consideriamo i vettori e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) dello spazio vettoriale R

2 .

Supponiamo che una loro combinazione lineare sia nulla:

0 = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 = λ 1 (1, 0) + λ 2 (0, 1) = (λ 1 , λ 2 )

Ora (λ 1 , λ 2 ) = 0 solo quando λ 1 = λ 2 = 0. Dunque i vettori e 1 , e 2 sono linearmente

indipendenti.

Allo stesso modo si dimostra che e 1 = (1, ..., 0), e 2 = (0, 1 , ..., 0), en = (0, ...., 1) di R

n

(le componenti di ei sono tutte zero tranne la i-esima, che `e 1) sono vettori linearmente

indipendenti di R

n .

(b) Consideriamo i vettori v 1 = (1, 0 , 0), v 2 = (1, 1 , −1), v 3 = (0, 1 , −1) di R

3

. Una loro

arbitraria combinazione lineare `e

λ 1 (1, 0 , 0) + λ 2 (1, 1 , −1) + λ 3 (0, 1 , −1) = (λ 1 + λ 2 , λ 2 + λ 3 , −λ 2 − λ 3 ).

Dire che una tale combinazione lineare `e uguale a zero significa che:

 

λ 1 + λ 2 = 0

λ 2 + λ 3 = 0

−λ 2 − λ 3 = 0

ossia (la terza equazione equivale alla seconda)

λ 1 + λ 2 = 0

λ 2 + λ 3 = 0

Ora questo sistema lineare omogeneo non ha solo la soluzione nulla. Ad esempio, λ 1 = 1, λ 2 =

− 1 , λ 3 = 1 `e una soluzione non nulla. Ne segue che i tre vettori v 1 , v 2 , v 3 sono linearmente

dipendenti.

14 CAPITOLO 1. SPAZI VETTORIALI E APPLICAZIONI LINEARI

Definizione 1.2.3 Sia V uno spazio vettoriale. Diciamo che W `e un sottospazio vettoriale

di V se

• W ⊆ V , cioe We un sottoinsieme di V. (Ossia, ogni elemento di W `e anche elemento

di V ).

• W `e uno spazio vettoriale, rispetto alle stesse operazioni di somma e di moltiplicazione

per uno scalare che sono definite in V.

Un sottospazio di uno spazio vettoriale non pu`o essere vuoto: contiene almeno il vettore

nullo. Scrivendo in modo un po’ pi`u formale, un sottoinsieme non vuoto W di uno spazio

vettoriale V `e sottospazio vettoriale di V quando:

∀x, y x, y ∈ W =⇒ x + y ∈ W

∀λ ∀x λ ∈ R, x ∈ W =⇒ λx ∈ W

Esempio: I sottospazi di R^2. I sottospazi W di R^2 sono di tre tipi:

1. il sottospazio 0 costituito dal solo vettore nullo: 0 = {(0, 0)};
2. ogni retta passante per l’origine;
3. l’intero spazio R^2.

Questo puo essere dimostrato nel modo seguente:e ovvio anzitutto che quelli elencati sono tut-

ti sottospazi di R^2. Per provare che sono gli unici sottospazi vettoriali di R^2 , si ricordi la regola

del parallelogramma per sommare due vettori. Si vede allora facilmente che se W contiene due vet-

tori w 1 , w 2 che non appartengono a una stessa retta, allora W deve contenere anche tutte le loro

combinazioni lineari

λw 1 + μw 2

e quindi deve coincidere con l’intero piano: W = R

2

. Se W invece non contiene due vettori siffatti,

allora siamo in uno degli altri due casi.

Esempio: I sottospazi di R^3. In modo analogo, si dimostra che i sottospazi W di R^3 sono dei

seguenti quattro tipi:

1. il sottospazio 0 costituito dal solo vettore nullo: 0 = {(0, 0 , 0)};
2. ogni retta passante per l’origine;
3. ogni piano passante per l’origine;
4. l’intero spazio R

3 .

La classificazione dei sottospazi di R^2 e R^3 sar`a chiarita dal concetto di dimensione, che intro-

durremo pi`u avanti: ad esempio, i quattro tipi di sottospazi di R^3 corrispondono rispettivamente a

sottospazi di dimensione 0, 1 , 2 , 3.

Esempio. Il semipiano

P = {(x, y) ∈ R

2 | y ≥ 0 }.

non `e un sottospazio vettoriale di R

2 (anche se `e chiuso rispetto alla somma).

16 CAPITOLO 1. SPAZI VETTORIALI E APPLICAZIONI LINEARI

Dimostrazione. Poich´e i vettori v 1 , ..., vn generano V , ogni vettore v si scrive come combi-

nazione lineare di v 1 , ..., vn.

Supponiamo che il vettore v si scriva come:

v = λ 1 v 1 + ... + λnvn

e come

v = μ 1 v 1 + ... + μnvn

Dimostriamo che le due scritture coincidono. Sottraendo membro a membro, si ottiene:

(λ 1 − μ 1 )v 1 + .... + (λn − μn)vn = 0 (1.3.1)

Poich´e i vettori v 1 , ..., vn sono per ipotesi linearmente indipendenti, si conclude che i coeffi-

cienti della combinazione lineare 1.3.1 sono tutti nulli, ossia:

λ 1 = μ 1 · · · · · · λn = μn

come si voleva dimostrare.

Siano B = (v 1 , ..., vn) una base di uno spazio vettoriale V , v un vettore di V e sia

v = λ 1 v 1 + ... + λnvn

l’unica espressione di v come combinazione lineare di (v 1 , ..., vn). I numeri λ 1 , ..., λn sono

detti le coordinate, o le componenti, di v rispetto alla base B. Il vettore colonna

[v]B =

λ 1

·

·

λn

`e il vettore delle coordinate di v rispetto alla base B.

Teorema 1.3.3 (Esistenza di basi) Ogni spazio vettoriale generato da un insieme finito

di vettori, ha una base.

Dimostrazione. Per ipotesi, esiste un insieme finito di vettori di V , diciamo v 1 , .., vk, che

generano lo spazio vettoriale V. Se tali vettori sono linearmente indipendenti, costituiscono

gia una base. Altrimenti, tra di essi c’e una relazione lineare non banale, e quindi uno di questi

vettori, diciamo vk, pu`o essere scritto come combinazione lineare dei restanti k − 1 vettori.

Allora possiamo eliminare questo vettore vk. Ripetiamo il procedimento, fino ad arrivare a

un insieme di vettori linearmente indipendenti. Questi vettori indipendenti generano ancora

V e dunque costituiscono una base di V.

Diremo che uno spazio vettoriale V ha dimensione finita - o e finito-dimensionale, oe

finitamente generato - se esiste un insieme finito di vettori di V che genera V. In modo

1.3. BASI E DIMENSIONI. COORDINATE. 17

equivalente (per il teorema precedente), uno spazio vettoriale V `e finito-dimensionale se ha

una base (finita).

Ad esempio, R

2 ha dimensione finita, perch´e l’insieme di vettori {e 1 , e 2 } genera R

2 .

Teorema 1.3.4 Tutte le basi di uno spazio vettoriale finito-dimensionale hanno la stessa

cardinalit`a.

La dimostrazione `e un’immediata conseguenza del seguente:

Lemma. Supponiamo che i vettori x 1 , ..., xn generino uno spazio vettoriale X e che i vettori

y 1 , ..., yj di X siano linearmente indipendenti. Allora

j ≤ n

Dimostrazione. Poich´e x 1 , ..., xn generano X, ogni vettore di X si scrive come combinazione lineare

di x 1 , ..., xn. In particolare si potr`a scrivere

y 1 = k 1 x 1 + · · · knxn (1.3.2)

Almeno uno dei coefficienti k 1 , .., kn deve essere diverso da zero, altrimenti si avrebbe y 1 = 0 (e di

conseguenza y 1 , ..., yj sarebbero dipendenti). Siccome in un insieme di generatori l’ordine non conta,

non e restrittivo supporre che sia k 1 6 = 0. Allora da 1.3.2 segue che x 1e combinazione lineare di y 1 e

dei restanti x 2 , ..., xn. In questo modo abbiamo costruito un nuovo sistema di n generatori per X:

X = L(y 1 , x 2 , ..., xn)

Ripetiamo il procedimento per y 2. Poich´e y 1 , x 2 , ..., xn generano X, si potr`a scrivere

y 2 = h 1 y 1 + k 2 x 2 + k 3 x 3 + · · · knxn (1.3.3)

Almeno uno dei coefficienti k 2 , ..., kn `e diverso da zero (altrimenti si avrebbe y 2 = h 1 y 1 , contro l’ipotesi

di indipendenza lineare di y 1 , ..., yj ). Al solito, non `e restrittivo supporre k 2 6 = 0. Da 1.3.3 segue che x 2

`e combinazione lineare di y 1 , y 2 , x 3 , ..., xn e quindi abbiamo costruito un nuovo sistema di generatori

di X:

X = L(y 1 , y 2 , x 3 , ..., xn)

Supponiamo ora, per assurdo, che sia j > n. Se seguiamo il procedimento descritto n volte, eliminiamo

uno dopo l’altro tutti gli x 1 , ..., xn e troviamo alla fine un sistema di generatori per X costituito da

y 1 , ..., yn:

X = L(y 1 , y 2 , y 3 , ..., yn)

Ma allora il vettore yn+1 `e combinazione lineare di y 1 , ..., yn, contro l’ipotesi di indipendenza lineare

dei vettori y 1 , ..., yj.

Esercizio. Dedurre dal Lemma dimostrato che tutte le basi hanno la stessa dimensione.

(Soluzione. Siano (x 1 , ..., xn) e (y 1 , ..., yj ) due basi di uno stesso spazio vettoriale X. Poich´e

x 1 , ..., xn generano X e y 1 , ..., yj sono linearmente indipendenti, per il Lemma vale j ≤ n. Per

simmetria, vale anche n ≤ j. Segue j = n.)

Grazie al fatto che due basi hanno lo stesso numero di elementi, ha senso dare la seguente

definizione.

1.4. RIDUZIONE A SCALA 19

posto pi`u a destra della riga di sopra. Le (eventuali) righe formate interamente da zeri sono

al fondo della matrice.

Esempi. Le seguenti matrici sono a scala: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 7

0 3 0

0 0 0

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

,

∣ ∣ ∣ ∣

1 − 1 2

0 0 7

∣ ∣ ∣ ∣ ,

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 1 3 − 2

0 0 2 4

0 0 0 2

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

La matrice (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

1 − 1 2

0 3 7

0 1 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

non `e a scala.

Scriveremo A ' A

′ se la matrice A

′ si ottiene dalla matrice A mediante una successione di

operazioni elementari sulle righe.

Esempio. (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

1 − 2 0

0 1 2

2 − 3 2

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

'

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 − 2 0

0 1 2

0 1 2

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

'

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 − 2 0

0 1 2

0 0 0

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Si dimostra facilmente la seguente

Proposizione 1.4.1 Sia A una matrice m × n e sia S una matrice a scala ottenuta da A

mediante una successione di operazioni elementari sulle righe. Siano A 1 , ..., Am le righe di A

e S 1 , ..., Sr le righe non nulle di S. Allora:

1. lo spazio vettoriale generato dalle righe di S `e uguale allo spazio vettoriale generato dalle

righe di A:

L(S 1 , ..., Sr) = L(A 1 , ..., Am)

2. (S 1 , ..., Sr) `e una base dello spazio L(A 1 , ..., Am) generato dalle righe di A.

(Si veda anche l’esercizio 1.5.9)

Definizione 1.4.2 Sia A ∈ M (m × n, R). Il rango per righe di A `e la dimensione dello

spazio vettoriale generato dalle righe di A. Il rango per colonne di A `e la dimensione dello

spazio vettoriale generato dalle colonne di A.

Si dimostra che il rango per righe e il rango per colonne coincidono: il loro comune valore `e

il rango rk A della matrice A (Si veda la definizione 1.13.4).

Esempio. Sia W = L(v 1 , v 2 , v 3 ) il sottospazio vettoriale di R

4 generato dai vettori:

v 1 = (− 1 , 1 , 1 , 2), v 2 = (1, − 3 , 0 , −2), v 3 = (0, − 2 , 1 , 0)

20 CAPITOLO 1. SPAZI VETTORIALI E APPLICAZIONI LINEARI

Trovare dim W e una base di W.

Soluzione. Formiamo la matrice A che ha come righe i vettori v 1 , v 2 , v 3 :

A =

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 1 1 2

1 − 3 0 − 2

0 − 2 1 0

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

e semplifichiamola con operazioni elementari sulle righe:

A =

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 1 1 2

1 − 3 0 − 2

0 − 2 1 0

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

'

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 1 1 2

0 − 2 1 0

0 − 2 1 0

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

'

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 1 1 2

0 − 2 1 0

0 0 0 0

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

= S

In questo modo abbiamo ottenuto una matrice a scala S. Una base di W `e costituita dalle due righe

non nulle (− 1 , 1 , 1 , 2) e (0, − 2 , 1 , 0) di S. Pertanto dim W = 2.

1.5 Esercizi

Esercizio 1.5.1 Decidere se il vettore b =

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0

3

− 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

di R

3 `e combinazione lineare dei vettori a 1 =

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

1

2

− 1

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

e a 2 =

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2

1

1

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

.

Soluzione. Si tratta di vedere se esistono due numeri reali, diciamo x, y, per i quali

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0

3

− 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

= xa 1 + ya 2 = x

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1

2

− 1

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

• y

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2

1

1

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

=

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x + 2y

2 x + y

−x + y

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

.

Detto altrimenti, si tratta di vedere se il sistema

 



x + 2y = 0

2 x + y = 3

−x + y = − 3

(1.5.1)

di 3 equazioni in due incognite x, y ha soluzioni. Si vede facilmente che il sistema `e risolubile:

precisamente l’unica soluzione `e x = 2, y = −1. Pertanto

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0

3

− 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

= 2

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1

2

− 1

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

−

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2

1

1

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Per matrice dei coefficienti del sistema lineare 1.5.1 intendiamo la matrice:

A =

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2

2 1

− 1 1

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Si noti che la soluzione del sistema lineare 1.5.1 esprime la colonna b dei termini noti come

combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti A.