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riassunti di geometria e algebra lineare
Tipologia: Sintesi del corso
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Corso di Laurea in Ingegneria
Anno Accademico 2025/
Ricostruzione rigorosa di definizioni, teoremi e dimostrazioni
CAPITOLO 1: COMPLEMENTI SUGLI SPAZI
VETTORIALI ED EUCLIDEI
Sia R
m lo spazio vettoriale euclideo standard dotato del prodotto scalare canonico standard ⟨ ·, · ⟩. Siano u, v ∈
m , la loro ortogonalità viene definita dall'annullamento del loro prodotto scalare.
Definizione 1.1 (Complemento Ortogonale)
Sia U un sottospazio vettoriale di R
m
. Si definisce complemento ortogonale di U, e si indica con U
l'insieme di tutti i vettori di R
m che sono ortogonali a ogni vettore di U:
= { v ∈ R
m : ⟨ v, u ⟩ = 0, ∀ u ∈ U }
1.1 Proprietà Fondamentali del Complemento Ortogonale
Proposizione 1.
Sia U un sottospazio vettoriale di R
m
. Allora valgono le seguenti proprietà fondamentali:
è un sottospazio vettoriale di R
m .
L'intersezione tra il sottospazio e il suo complemento ortogonale è banale: U ∩ U
Dimostrazione.
⊥ è un sottospazio vettoriale, verifichiamo la chiusura rispetto alle combinazioni lineari.
Siano u 1
, u 2
⊥ e siano α, β ∈ R genericamente scelti. Per definizione di appartenenza al complemento
ortogonale, si ha che ⟨ u 1
, u ⟩ = 0 e ⟨ u 2
, u ⟩ = 0 per ogni elemento u ∈ U.
Consideriamo adesso la combinazione lineare vettoriale αu 1
e calcoliamone il prodotto scalare
rispetto al generico vettore u ∈ U. Sfruttando la proprietà di bilinearità del prodotto scalare canonico si ottiene:
⟨ αu 1
, u ⟩ = α ⟨ u 1
, u ⟩ + β ⟨ u 2
, u ⟩ = α·0 + β·0 = 0
Poiché il risultato è nullo per qualsiasi u ∈ U, si deduce stabilmente che (αu 1
⊥
. Il sottoinsieme è
quindi un sottospazio vettoriale.
⊥
. Dal momento che v ∈ U
⊥ , esso deve essere ortogonale a ogni
elemento del sottospazio U. Contemporaneamente, poiché v ∈ U, esso deve essere ortogonale a se stesso:
⟨ v, v ⟩ = 0 ⇒ v 1
= 0 ⇒ v = 0
1.2 Il Prodotto Vettoriale in R
Definizione 1.
Siano u = (u 1
, u 2
, u 3
) e v = (v 1
, v 2
, v 3
) due vettori nello spazio tridimensionale R
. Si definisce
prodotto vettoriale (indicato con u ∧ v) il vettore le cui coordinate sono i determinanti minori della
matrice formale associata:
u ∧ v = \left(
u 2
u 3
v 2
v 3
u 1
u 3
v 1
v 3
u 1
u 2
v 1
v 2
ight)
Il prodotto vettoriale soddisfa le proprietà per cui u ∧ v = 0 se e solo se i vettori sono linearmente dipendenti
(proporzionali). Se sono indipendenti, u ∧ v genera un vettore ortogonale a entrambi, tale che la terna {u, v, u
∧ v} formi una base di R
CAPITOLO 2: FONDAMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA
NEL PIANO
Il piano della geometria elementare viene indicato con E
. L'insieme dei suoi punti viene indicato con P e
quello delle sue rette con L. Associato al piano vi è lo spazio dei vettori liberi del piano , denotato con L 2
avente dimensione pari a 2.
Definizione 2.1 (Base Ortonormale e Riferimento Cartesiano)
Una base ordinata B = (i, j) di L 2
si dice ortonormale se i vettori sono a due a due ortogonali e hanno
modulo unitario (versori):
⟨ i, i ⟩ = 1, \quad ⟨ j, j ⟩ = 1, \quad ⟨ i, j ⟩ = 0
Un riferimento cartesiano nel piano è una coppia R = (O, B), dove O ∈ E
è un punto fisso detto
origine e B = (i, j) è una base ortonormale. Ogni punto P viene identificato univocamente dalle
coordinate del vettore posizione OP = x i + y j, denotato con P ≡ (x, y).
Proposizione 2.2 (Componenti del Vettore tra due Punti)
Siano dati due punti fissati nel piano cartesiano, P ≡ (x P
, y P
) e Q ≡ (x Q
, y Q
). Le componenti del vettore
libero PQ rispetto alla base B sono date da:
(PQ) = (x Q
, y Q
Dimostrazione.
Per la legge del triangolo sui vettori applicati (relazione di Chasles), sussiste la scomposizione vettoriale per cui
OQ = OP + PQ. Isolando il vettore incognito, si ottiene la relazione algebrica differenziale PQ = OQ - OP.
Esplicitando la combinazione rispetto alla base ortonormale ordinata B, si ha:
PQ = (x Q
i + y Q
j) - (x P
i + y P
j) = (x Q
)i + (y Q
)j
Le componenti risultano per l'appunto essere (x Q
, y Q
Sviluppando l'espressione per bilinearità e simmetria del prodotto scalare reale, si ottiene:
Sostituendo la definizione geometrica del prodotto scalare tra due vettori, ovvero ⟨ CA, CB ⟩ = |CA| · |CB| ·
cos(θ), e convertendo i moduli dei vettori nelle rispettive distanze lineari tra i punti vertice, perveniamo a:
d(A,B)
= d(B,C)
La tesi è pienamente verificata.
Corollario 2.4 (Teorema di Pitagora)
Nel caso particolare in cui l'angolo θ sia un angolo retto (θ = 90°), poiché il coseno si annulla (cos(90°)
= 0), la formula di Carnot si riduce alla nota relazione di Pitagora:
d(A, B)
= d(A, C)
CAPITOLO 3: GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
Lo spazio euclideo tridimensionale viene indicato con E
, e lo spazio dei relativi vettori liberi è L 3
, con
dim(L 3
) = 3. Un riferimento cartesiano ortonormale nello spazio è identificato da una quaterna ordinata R = (O,
i, j, k).
3.1 Rappresentazione del Piano nello Spazio
Un piano Π passante per un punto P 0
(x 0
, y 0
, z 0
) e avente come giacitura il sottospazio bidimensionale generato
dai vettori linearmente indipendenti u e v, con componenti rispettive C B
(u) = (α, β, γ) e C B
(v) = (α', β', γ'),
ammette le seguenti formulazioni:
Equazioni Parametriche: Espresse per mezzo di due parametri reali indipendenti t, s ∈ R:
{ x = x 0
{ y = y 0
{ z = z 0
Equazione Cartesiana Ordinaria: Ottenuta imponendo la complanarità tra il vettore generico
spostamento P 0
P = (x - x 0
, y - y 0
, z - z 0
) e i vettori di giacitura, traducibile nell'annullamento del
determinante misto:
x - x 0
y - y 0
z - z 0
α β γ
α' β' γ'
= 0 ⇒ ax + by + cz + d = 0
I coefficienti (a, b, c) rappresentano geometricamente le componenti del vettore normale n
perpendicolare al piano, ricavabile direttamente tramite il prodotto vettoriale u ∧ v.
3.2 Intersezione Lineare di due Piani
Proposizione 3.
Siano dati due piani distinti nello spazio Π 1
: ax + by + cz + d = 0 e Π 2
: a'x + b'y + c'z + d' = 0. Essi
possono esclusivamente risultare paralleli (intersezione vuota) oppure intersecarsi lungo una retta nello
spazio.
Dimostrazione.
CAPITOLO 4: TEORIA DELLA DIAGONALIZZAZIONE E
DEGLI OPERATORI LINEARI
Sia A ∈ K
m,m una matrice quadrata di ordine m definita su un campo numerico K (generalmente identificato
con il campo dei numeri reali R o complessi C).
Definizione 4.1 (Matrice Diagonalizzabile)
La matrice quadrata A si dice diagonalizzabile se esiste una matrice invertibile P ∈ K
m,m e una
matrice diagonale D ∈ K
m,m tali da verificare la relazione di similitudine:
Definizione 4.2 (Autovalore e Autovettore)
Un vettore non nullo v ∈ K
m \ {0} si definisce autovettore della matrice A se esiste uno scalare λ ∈ K
tale da soddisfare l'uguaglianza algebrica:
A v
= λ v
Lo scalare λ prende il nome di autovalore di A associato all'autovettore v.
Definizione 4.3 (Autospazio)
Sia λ un autovalore della matrice A. L'insieme costituito da tutti gli autovettori legati a λ,
congiuntamente al vettore nullo 0 , prende il nome di autospazio relativo a λ, indicato con Q A
(λ):
(λ) = { v ∈ K
m : A v
= λ v
4.1 Struttura Geometrica degli Autospazi
Proposizione 4.
L'autospazio Q A
(λ) associato all'autovalore λ costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio K
m .
Dimostrazione.
Verifichiamo i criteri necessari per la definizione di sottospazio vettoriale:
T = 0
T = λ
T .
, v 2
A
(λ) e due scalari α, β ∈ K. Valutiamo l'azione della matrice A
sulla loro combinazione lineare sfruttando le proprietà distributive del prodotto matrice-vettore:
A (α v 1
= A (α v 1
) = α (A v 1
) + β (A v 2
Sostituendo le relazioni d'autovalore note A v 1
T = λ v 1
T e A v 2
T = λ v 2
T si ha:
= α (λ v 1
) + β (λ v 2
) = λ (α v 1
) = λ (α v 1
Ciò prova che la combinazione lineare (α v 1
) appartiene ad ogni effetto a Q A
(λ), certificando la natura di
sottospazio vettoriale.
Proposizione 4.
L'autospazio Q A
(λ) coincide esattamente con il nucleo o spazio delle soluzioni del sistema lineare
omogeneo espresso dalla matrice kernel:
(A - λ I m
) v
Dimostrazione.
Un elemento vettoriale v ∈ Q A
(λ) se e solo se soddisfa l'uguaglianza A v
T = λ v
T
. Sottraendo il membro destro
e portandolo a sinistra otteniamo: A v
T
T = 0
T .
Raccogliendo a fattor comune il vettore colonna tramite l'introduzione della matrice identità I m
di ordine m, si
perviene immediatamente a:
(A - λ I m
) v
L'equazione esprime la definizione esatta del nucleo dell'operatore associato.
Si definisce molteplicità geometrica dell'autovalore, e si indica con m g
(λ), la dimensione del rispettivo
autospazio: m g
(λ) = dim(Q A
(λ)) = m - rk(A - λ I m
