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Dare la definizione di autovalore e autovettore, e parlare della molteplicità algebrica, in particolare enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario) Un autovettore di una funzione tra spazi vettoriali è un vettore non nullo la cui immagine è il vettore stesso moltiplicato per un numero (reale o complesso) detto autovalore. Se la funzione è lineare, gli autovettori aventi in comune lo stesso autovalore, insieme con il vettore nullo, formano uno spazio vettoriale. Sia f appartenente Lin (V , V ) un endomorfismo di uno spazio vettoriale V sulcampo K. Se vV \{0}e lambda * K sono tali che f(v) = lambda*v, allora il vettore v è detto autovettore di f , e lo scalare lambda è dettoautovalore di f, L'autovettore v è detto relativo all’autovalore lambda.La molteplicità algebrica di un autovalore A indica quante volte l'autovalore annulla il polinomio caratteristico. Dare la definizione di autovalore e autovettore, e parlare della molteplicità geometrica, in particolare enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).Un autovettore di una funzione tra spazi vettoriali è un vettore non nullo la cui immagine è il vettore stesso moltiplicato per un numero (reale o complesso) detto autovalore. Se la funzione è lineare, gli autovettori aventi in comune lo stesso autovalore, insieme con il vettore nullo, formano uno spazio vettoriale. Sia f appartenente Lin (V, V ) un endomorfismo di uno spazio vettoriale V sulcampo K. Se v V \{0}e lambda * K sono tali che f(v) = lambda*v, allora il vettore v è detto autovettore di f , e lo scalare lambda è dettoautovalore di f. L’autovettore v è detto relativo all'autovalore lambda. La molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore lambda.Mg=DimV-rank(A-llambda) con DimV che sarebbe la dimensione dello spazio Vettoriale V mentre il rank e’ il rango della matrice associata all’autovalore lambda ottenuta sostituendo a lambda il valore trovato. Dare la definizione di spazio vettoriale, ed enunciare un risultato (teorema, proposizione o corollario) sugli spazi vettoriali.Per Campo si intende una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto K e da due operazioni interne; somma e prodotto. Tale insieme non vuoto e’ una campo se valgono le seguenti proprieta’: associativa,commutativa, distributiva ed esistenza elemento neuto (0 per la sommma e 1 per il prodotto). Per Gruppo si intende una struttura algebrica formata dalla presenza di nu insieme non vuoto con un’operazione binaria, somma o prodotto. Un gruppo gode delle seguenti proprieta’: Proprieta’ associativa, esistenza elemento neutro, esistenza di opposto ed inverso, proprieta’ commutativa. Descrivere le matrici associate alle coniche, e il loro utilizzo per la classificazione e per lo studio delle coniche (dal punto di vista euclideo, affine o proiettivo).Data una conica C con equazione omogenea aX2 +bXY +cY2+dXT +eYT +fT2 =0, la matrice (a,b/2,d/2,b/2,c,e/2,d/2,e/2,f) è detta matrice associata alla conica C. Una conica non degenere C con matrice associata A può essere rappresentata da una (e una sola) delle seguenti forme ca- noniche euclidee con una scelta opportuna di un sistema di riferimento cartesiano: * ax2 + by2 = 1 (ellisse reale), ** ax2 + by2 = -1 (ellisse immaginaria), ** ax2 — by2 = 1 (iperbole), **ax2-y=0 (parabola), con a,b > 0. Le direzioni degli assi sono dati dagli autovettori della matrice A(3,3) Descrivere il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.Processo di ortenormalizzazione di Gram-Schmidt: Siano v1, v2, ..., vm vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale reale V con un prodotto scalare (- , -). | passi dell'algoritmo sono m: uno per ogni vettore vi, per i = 1,...,m. Ad ogni passo dell'algoritmo partiamo con il vettore vi, otteniamo il vettore wi ortogonale ai vettori e(0, equivalentemente, w ) già trovati, e troviamo il suo versore ei. Per ottenere wi sottraiamo la proiezione vettoriale di vi sui vgià trovati da vi stesso. Descrivere le disuguaglianze relative alle molteplicità geometrica e algebrica, e applicarle alla diagonalizzazione di applicazioni lineari e/o matrici (Criterio di diagonalizzabilità).Un endomorfismo f di uno spazio vettoriale finitamente generato V di dimensione n, con autovalori (k1,k2,k3.....Kn)è diagonalizzabile, se e solo se * il polinomio caratteristico pf ha n zeri,contato ciascuno con la propria molteplicità * per qualunque K che va da 1 adnsi avra’ che m.a.=m.g . * Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice A sia diagonalizzabile è che per ciascun autovalore K si abbia che la molteplicità algebrica di K coincida con la sua molteplicità geometrica. dove molteplicita’ algebrica e’ pari alnumeri di radici del polinomio caratteristico, mentre la molteplicita’ geometrica e’ data dalla dimensione dell’autospazio associato all’autovalore K. Descrivere lo sviluppo di Laplace per il calcolo del determinante.Il teorema di Laplace riduce il calcolo del determinante di una matrice di ordine n al calcolo di determinante di matrici di ordini n-1. Nello specifico il il determinante di A e’ uguale alla somma dei prodotti delle entrate di una riga ( o di una colonna) qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici Applicando ripetutamente il teorema di Laplace, possiamo calcolare il determinante di una matrice di qualsiasi ordine. E' una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice con un procedimento ricorso. La prima formula e’ detta sviluppo di Laplace lungo la k-esima riga, la seconda che riguarda le colonne invece si chiama sviluppo lungo la n-esima colonna, infatti lo sviluppo può essere eseguito sia per righe che per colonne. Descrivere come utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss per il calcolo del determinante. L'intento del metodo di eliminazione di Gauss e’ di ridurre la matrice a scalini, e per farlo possiamo utilizzare quelle che si chiamano mosse di Gauss, ovvero: CAMBIARE RIGA MOLTIPLICARE UNA RIGA DELLA MATRICE PER UN NUMERO REALE NON NULLO DETTO SCALARE SOSTITUIRE UNA RIGA DELLA MATRICE CON QUELLA OTTENUTA SOMMANDO A ESSA UN MULTIPLO DI V’ALTRA RIGA Descrivere alcune proprietà del determinante.Se il Det e' diverso da zero la matrice e’ invertibile Se il Det e’ diverso da zero il rango e' massimo Il determiante di una matrice coincide con il determinante della sua trasposta Se tutti gli elementi di una rigs o di una colonna sono nulli allora determinante uguale a zero Il valore del det non cambia se sommo o sottraggo ad una riga o una colonna una qualunque riga o colonna parallela moltiplicata per un numero reale © scambiando tra di loro due righe o due colonne il determinante cambia segno, restando uguale in valore assoluto. Descrivere la relazione tra il determinante di una matrice e la dipendenza/indipendenza lineare delle colonne e delle righe della matrice.Sia A matrice quadrata nxn, La relazione tra il Det di una matrice nxn e la dipendenza o indipendemza lineare tra le righe e le colonne e’: Se il det = 0 le righe e le colonne sono linearmente dipendenti, diversamente sono linearmente indipendenti. Possiamo anche dire che le righe di A sono linearmente indipendenti se e solo se le colonne sono linearmente indipendenti. Descrivere come utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan per il calcolo dell'inversa di una matrice. Per calcolare la matrice inversa della matrice quadrata A di ordine n occorre: Affiancare alla matrice A la matrice identita’ di uguale ordine ottenendo in questo modo una matrice di ordine nx2n applicare sulla matrice ottenuta le equazioni elementari necessarie a ridurre la matrice A a forma canonica, la matrice unita’ affiancata sara’ stata trasformata nella matrice A elevato a -1. Data la matrice quadrata di ordine n A, si considera la matrice A In e Kn,2n, che ha A come sottomatrice corrispondente alle prime n colonne e In come sottomatrice corrispondente alle ultime n colonne. Si applica il metodo di eliminazione di Gauss- Jordan. Il risultato dell’algoritmo è una matrice a scalini (B C) Se si ha B= In, allora A è invertibile e si ha A-1 = C. Altrimenti, A non è invertibile. Descrivere la regola di Cramer.L’algoritmo di Cramer è usato per calcolare la soluzione di un sistema compatibile con un numero uguale di equazioni lineari e incognite. Questo algoritmo è usato anche per calcolare le soluzioni di un qualsiasi sistema di equazioni lineari compatibile. Sia A*X=B un sistema di equazioni lineari ed incognite con Det(A)diverso da 0. e il sistema abbia A1, A2,...Ah colonne. La i-esima colonna del sistema sara’ data da xi= Det (A1,A2,Ai-1,Ai,Ai+2....An) /Det(A) Il Determinante della matrice ottenuta da A sostituendo la -—esima colonna con la colonna dei termini noti e’ il Determinante di A. Se A*X=B e’ un sistema di n equazioni lineari ed n incognite con det(A)diverso da 0 allora la soluzione trovata con il metodo di Cramer e’ l’unica soluzione del sistema. Descrivere l'applicazione di uno dei metodi di eliminazione di Gauss, di Gauss con normalizzazione o di Gauss-Jordan, per la soluzione dei sistemi di equazioni lineari.Un altro algoritmo, oltre a quello di Cramer, capace di calcolare le soluzioni di un sistema di equazioni lineari compatibile, è l’algoritmo di Gauss. E’ più veloce del precedente, ma non usa una formula esplicita per le soluzioni. Il metodo di Gauss per la soluzione un sistema di equazioni lineari è una procedura per decidere se il sistema è risolubile, e contemporaneamente, trasformarlo in uno equivalente più facile da risolvere. Il metodo di Gauss è un algoritmo che trasforma il sistema dato in uno equivalente e delle forme indicata. Le operazioni consentite per ottenere un sistema equivalente a quello dato sono: * * scambiare tra loro due equazioni; ** moltiplicare una equazione per una costante diversa da zero; ** sommare a una equazione un’altra equazione. Mentre, il metodo di Gauss-Jordan è una variazione del metodo di eliminazione di Gauss. La è un vettore non nullo la cui immagine è il vettore stesso moltiplicato per un numero (reale o complesso) detto autovalore. Se la funzione è lineare, gli autovettori aventi in comune lo stesso autovalore, insieme con il vettore nullo, formano uno spazio vettoriale. Sia f appartenente Lin (V , V ) un endomorfismo di uno spazio vettoriale V sulcampo K. Se v V \{0}e lambda * K sono tali che f(v) = lambda*v, allora il vettore v è detto autovettore di f , e lo scalare lambda è dettoautovalore di f. L'autovettore v è detto relativo all'autovalore lambda. La molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio associato all’autovalore lambda.Mg=DimV-rank(A-llambda) con DimV che sarebbe la dimensione dello spazio Vettoriale V mentre il rank e’ il rango della matrice associata all’autovalore lambda ottenuta sostituendo a lambda il valore trovato. Parlare delle operazioni, dei gruppi e/o dei campi.Per Campo si intende una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto K e da due operazioni interne; somma e prodotto. Tale insieme non vuoto e’ una campo se valgono le seguenti proprieta’: associativa,commutativa, distributiva ed esistenza elemento neuto (0 per la sommma e 1 per il prodotto). Per Gruppo si intende una struttura algebrica formata dalla presenza di nu insieme non vuoto con un'operazione binaria, somma o prodotto. Un gruppo gode delle seguenti proprieta’: Proprieta’ associativa, esistenza elemento neutro, esistenza di opposto ed inverso, proprieta’ commutativa. Parlare delle combinazioni lineari.Le combinazioni lineari sono la più semplice espressione in cui possiamo scrivere uno spazio vettoriale: sono somme di prodotti per scalare. Esse sono anche le più generali, perché ogni espressione in uno spazio vettoriale può essere ridotta a una combinazione lineare attraverso le proprietà degli spazi vettoriali. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Si considerino v1,v2,...,vn € Ve lambda 1, lambda 2, ..., lambda n € K: La scrittura lambda1*v1 + lambda2*v2 + + - * + lambda n*vn è detta combinazione lineare dei vettori vi. Gli scalari lambda i sono detti coefficienti della combinazione lineare. Il vettore v = lambda 1*v1 + lambda 2*v2 + - - - + lambda n*vn è detto risultato o valore della combinazione lineare. Zero vettori danno una sola combinazione lineare, il cui risultato valore è il vettore nullo. Parlare dei sottospazi vettoriali, in particolare enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).Sia V uno spazio vettoriale dotato di addizione + e moltiplicazione per scalare * su un campo K. Un sottoinsieme W incluso in V è detto sottospazio vettoriale di V se W è uno spazio vettoriale su K con l’addizione + e la moltiplicazione per scalare di V . I sottospazi vettoriali sono sottoinsiemi di spazi vettoriali che ereditano la struttura di spazio vettoriale, sono a loro volta quindi spazi vettoriali rispetto alle stesse operazioni su V. Sia V uno spazio vettoriale dotato di addizione + e moltiplicazione per scalare su uncampo K. Un sottoinsieme W di V è un sottospazio vettoriale di V se e solo se valgono le seguenti proprietà: 0 appartiene a W; per ogni vw appartenente a W si ha vtw appartenente a W;j per ogni v appartenente a W e lambda appartenente a K si ha lambda*v appartenente a W. Parlare del concetto di insieme di generatori, e dei sottospazi vettoriali finitamente generati.I generatori sono un insieme di vettori che generano lo spazio V. Ogni vettore di V e’ esprimibile come combinazione lineare dei vettori generati. Un sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale V si dice finitamente generato se ammette un insieme di generatori con un numero finito di vettori Sia X un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V . Il Sottospazio vettoriale generato sottospazio vettoriale Span(X) di V è detto sottospazio vettoriale generato da X. L'insieme X e i vettori di X sono detti generatori del sottospazio vettoriale Span(X). Un sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale V è detto finitamente generato se esiste un sottoinsieme finito (w1,w2,...,wn) di W tale che Span(w1,w2,...,wn) = W. Uno spazio vettoriale V è detto finitamente generato se V , pensato come sottospazio vettoriale di sé stesso, è finitamente generato, ossia se esiste un sottoinsieme finito (v1,v2,...,vn)di V tale che Span(v1,v2,...,vn)= V. Parlare della dipendenza e dell'indipendenza lineare, in particolare dando la definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. N vettori di V si dicono linearmente indipendenti se l’unica combinazione lineare che da il vettore nullo e’ quello a coefficienti tutti nulli, altrimenti si dicono linearmente dipendenti. Sia V uno spazio vettoriale e siano v1, v2.....vn vettori di V con n maggiore o uguale a 2, essi sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi e' il risultato di una combinazione lineare degli altri. Sia V uno spazio vettoriale, e siano v1, v2, ..., vn vettori di V . Essi son linearmente indipendenti se e solo se ogni vettore di Span(v ,v ,...,v) è il risultato di una sola combinazione lineare dei vettori v1,v2,....vn. Parlare delle basi degli spazi vettoriali, in particolare dando la definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).La base e' un insieme di generatori lin. ind., Dato uno spazio V, tutte le basi hanno lo stesso numero di Vettori e questo numero si chiama dimensione di V. Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme finito ordinato B = {v1,v2,...,vn} i cui vettori v1,v2,...,vn generano V e sono linearmente indipendenti. Per definizione tutte le basi di uno spazio vettoriale V hanno lo stesso numero di elementi. Parlare dell'algoritmo di estrazione di una base.In presenza di un insieme di vettori l’algoritmo di estrazione ha il seguente procedimento: si prende il primo vettore e si controlla che non sia nullo, se non lo è si imette nella base che stiamo cotruendo. Poi si prende il 2° e si verifica che sia lin. ind. dal 1°, se lo e' lo metto nela base altrimenti si scarta. Poi si prende il terzo e si verifica se e’ lin.ind. dal 2° e così via, fino al ragiungimento dela base estratta. Dato che un generico vettore v delo spazio vettoriale e’ una base, le coordinate del vettore rispetto alla base data sono i coefficienti della combinazione lineare di vettori della base che ha come risultato il vettore dato. Parlare delle basi degli spazi vettoriali, e delle coordinate di un vettore rispetto a una base.Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme finito ordinato B = (v1,v2,...,vn) i cui vettori v1,v2,....yn generano Ve sono linearmente indipendenti. Questo vale anche per tutti i sottospazi vettoriali di un generico spazio vettoriale, infatti ogni sottospazio vettoriale è di per sé uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ha una base. Se B è un insieme finito ordinato di vettori di uno spazio vettoriale V allora B è una base di V ed ogni vettore di V è il risultato di una e una sola combinazione lineare degli elementi di B. Tutte le basi di uno spazio vettoriale V hanno lo stesso numero di elementi e questo numero si chiama dimensione di V. Parlare della dimensione degli spazi vettoriali finitamente generati, in particolare dando la definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario La dimensione degli spazi vettoriali finitamente generati e’ il numero di vettori che compongono una qualsiasi base dello spazio vettoriale dato. Sia w sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale finitamente generato V, si avra' sempre che dim(W)<= dim(v) La dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato V è il numero degli elementi di una qualsiasi delle sue basi, ed è indicata con dim(V ). La definizione ha senso, infatti: * visto che V è uno spazio vettoriale finitamente generato, esso ha almeno una base; * tutte le basi di V hanno lo stesso numero di elementi. Uno spazio vettoriale finitamente generato è anche detto di dimensione finita. Corollario: Sia n la dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato V, e siano v1, v2,..., vk vettori di V. Le seguenti proprietà sono soddisfatte: + se v1, v2,..., vk sono linearmente indipendenti, allora k minore/uguale n; * se v1,v2,...,vk generano V, allora n minore/uguale k. Parlare dell'algoritmo di completamento a una base.Sia x=(v1,v2...vn) un sottoinsieme ordinato di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale finitamente generato V. L'algoritmo funziona in questo modo: si sceglie un vettore e lo si aggiunge a quelli gia’ presenti, dopodiche’ si controlla se lo Span di tutti i vettori e’ uguale a V. Se e’ così allora l'algoritmo termina, altrimenti si ripete scegliendo altri vettori. L'algoritmo di completamento a una base, termina dopo un numero finito di passi e il suo risultato è una base di V. Parlare delle operazioni elementari sulle matrici, e di uno dei metodi di eliminazione di Gauss, di Gauss con normalizzazione 0 di Gauss-Jordan.Le operazionni elementari sulle matrici si dividono in operazioni elementari su righe ed operazioni su colonne. Una operazione elementare sulle righe di una matrice A ,appartenente al campo delle matrici di K n,m quindi n righe ed m colonne, e’ : 1) scambio di 2 righe di A 2) moltiplicazione di una riga di A per un elemento lambda appartenente a k \ (0) 3) sostituzione di una riga di A con la somma della riga stessa moltiplicata di un multiplo di un’altra Un’operazione elementare sulle colonne sulla stessa matrice riguarda : 1) scambio di due colonne di A 2) moltiplicazione di una colonna di A per un elemento lambda appartenente a k\{0) 3) sostituzione di una colonna di A con la somma della riga stessa moltiplicata di un multiplo di un’altra.Metodo di eliminazione di Gauss ) — Sia A una matrice appartenente a Kn,m, si ripetono i seguenti passi al piu’ n volte, una per ogni riga. AI primo passo si lavora sulla matrice A e poi ad ogni passo successivo, si fissa la prima riga e si lavora sotto matrice che si ottiene cancellandola. Algoritmo: (Metodo di eliminazione di Gauss con normalizzazione):Sia A = Kn,m una matrice. Si applica il metodo di eliminazione di Gauss e si ottiene la matrice a scalini B € Kn,m. Per ogni riga non nulla si applica un’operazione elementare sulle righe di tipo Il con fattore 1, dove p è il pivot della riga considerata. In questo modo il pivot della riga considerata Parlare delle matrici associate alle applicazioni lineari.Dati due spazi vettoriali V e W e data un’applicazione lineare V -W ( DA VIN W) la matrice associata ad f e’ unica nel momento in cui si sono fissate una base di V e una base di W. Per determinare tale matrice si scrive l'immagine tramite f dei vettori delle basi di V, rispetto alla base di W. | vettori così ottenuti si inseriscono nelle colonne delle matrici. Parlare dei cambiamenti di base.Dato uno spazio vettoriale e date due basi B e B1 di V l’obiettivo e’ scrivere i vettori V, scritti rispetto alla base di B, rispetto alla nuova base B1. Il procedimento e’: Si prendono i vettori della prima base B e si scrivono rispetto alla seconda BI, si risolve il sistema, si procede con lo stesso procedimento ma con BI, i risultati saranno vettori che formano la matrice del cambiamento di base. Parlare della relazione tra le soluzioni di un sistema di equazioni lineari e le soluzioni del sistema di equazioni lineari omogeneo associato.Un sistema di m equazioni lineari e n incognite in un campo K, 0 semplicemente un sistema lineare, è un sistema in cui i membri delle equazioni sono polinomi in K di grado al più. Dato il sistema di equazioni lineari A - X = B, il sistema di equazioni lineari A - X = 0 è detto il sistema di equazioni lineari omogeneo associato al sistema A - X = B. Le soluzioni di un sistema di equazioni lineari e le soluzioni di quello omogeneo associato sono legate tra loro. Parlare della forma parametrica e della forma cartesiana delle rette nello spazio.Un endomorfismo f di uno spazio vettoriale finitamente generato V di dimensione n, con autovalori (K1,K2,k3.....Kn)è diagonalizzabile, se e solo se * il polinomio caratteristico pf ha n zeri,contato ciascuno con la propria molteplicità « per qualunque K che va da 1 ad n si avra’ che m.a.=m.g . * Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice A sia diagonalizzabile è che per ciascun autovalore K si abbia che la molteplicità algebrica di K coincida con la sua molteplicità geometrica. dove molteplicita’ algebrica e’ pari alnumeri di radici del polinomio caratteristico, mentre la molteplicita’ geometrica e’ data dalla dimensione dell’autospazio associato all’autovalore K. Parlare della forma parametrica e della forma cartesiana dei piani nello spazio.Sia S un sottospazio affine di uno spazio vettoriale finitamente generato V. Chiamiamola dimensione di S. Se S =P0+W, possiamo scegliere una base B =(v1,v2,...,vm) della giacitura W di S e scrivere ogni punto P di S come P =P0 +k1v1 +k2v2 +---+km in modo unico, ossia con i coefficienti k univocamente determiminati. Abbiamo parametrizzato $, e La forma parametrica di S e’ detta anche una uguaglianza vettoriale, il punto PO è detto punto base della parametrizzazione. | coefficienti ( I,m,n) sono detti parametri della parametrizzazione. La forma parametrica è molto utile per trovare la retta per due punti e il piano per tre punti. Dati due punti distinti A e Bin V 20V3, c'è un’unica retta r che li contiene. Una sua forma parametrica è facile da calcolare, infatti se scegliamo A come punto base e il vettore B - A come vettore direttore, otteniamo la seguente forma parametrica di r: P =A+A{B-A).Sia S un sottospazio affine di uno spazio vettoriale finitamente generato V. Chiamiamola dimensione di S. Se S =P0+W, possiamo scegliere una base B =(v1,v2,....vm) della giacitura W di S e scrivere ogni punto P di S come P =PO +k1v1 +k2v2 +---+km in modo unico, ossia con i coefficienti k univocamente determiminati. Abbiamo parametrizzato $, e La forma parametrica di S e' detta anche una uguaglianza vettoriale, il punto PO è detto punto base della parametrizzazione, I coefficienti { I,m,n) sono detti parametri della parametrizzazione. La forma parametrica è molto utile per trovare la retta per due punti e il piano per tre punti. Dati due punti distinti A eBinV20V3, c’è un’unica retta r che li contiene. Una sua forma parametrica è facile da calcolare, infatti se scegliamo A come punto base e il vettore B — A come vettore direttore, otteniamo la seguente forma parametrica di r: P=A+A(B-A). Parlare della posizione di una retta rispetto a un piano nello spazio. Una retta rispetto a un piano nello spazio può essere: * contenuta, se la retta è contenuta nel piano; * parallela ma non contenuta, se non si intersecano; * incidente, se la retta interseca il piano in un punto. Parlare della mutua posizione di due piani nello spazio.Una retta rispetto a un piano nello spazio può essere: * contenuta, se la retta è contenuta nel piano; * parallela ma non contenuta, se non si intersecano; * incidente, se la retta interseca il piano in un punto. Parlare della mutua posizione di due piani nello spazio.Una retta rispetto a un piano nello spazio può essere: * contenuta, se la retta è contenuta nel piano; * parallela ma non contenuta, se non si intersecano; * incidente, se la retta interseca il piano in un punto. Parlare della forma matriciale delle applicazioni affini.Una retta rispetto a un piano nello spazio può essere; * contenuta, se la retta è contenuta nel piano; * parallela ma non contenuta, se non si intersecano; * incidente, se la retta interseca il piano in un punto.Una retta rispetto a un piano nello spazio può essere: * contenuta, se la retta è contenuta nel piano; * parallela ma non contenuta, se non si intersecano; + incidente, se la retta interseca il piano in un punto. Parlare delle applicazioni affini.Una retta rispetto a un piano nello spazio può essere: * contenuta, se la retta è contenuta nel piano; * parallela ma non contenuta, se non si intersecano; * incidente, se la retta interseca il piano in un punto. Parlare dei prodotti scalari e delle norme associate.Una retta rispetto a un piano nello spazio può essere: * contenuta, se la retta è contenuta nel piano; * parallela ma non contenuta, se non si intersecano; * incidente, se la retta interseca il piano in un punto. Parlare delle norme associate ai prodotti scalari, in particolare dando la definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).Una retta rispetto a un piano nello spazio può essere: * contenuta, se la retta è contenuta nel piano; * parallela ma non contenuta, se non si intersecano; * incidente, se la retta interseca il piano in un punto. Parlare degli angoli tra rette e piani nello spazio.l’angolo tra una retta e un piano nello spazio e l'angolo acuto che la retta forma con la propria proiezione ortogonale sul piano se esse è incidente al piano., in alternativa è l'angolo retto che essa forma con il piano se è e ortogonale ad esso . L'angolo è nullo se la retta è parallela al piano o contenuto in esso . Parlare delle basi ortonormali negli spazi vettoriali reali. Processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt: Siano v1, v2, ..., vm vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale reale V con un prodotto scalare (- , -). | passi dell'algoritmo sono m: uno per ogni vettore vi, per i = 1,...,m. Ad ogni passo dell'algoritmo partiamo con il vettore vi, otteniamo il vettore wi ortogonale ai vettori e(0, equivalentemente, w ) già trovati, e troviamo il suo versore ei. Per ottenere wi sottraiamo la proiezione vettoriale di vi sui vgià trovati da vi stesso. Parlare delle matrici reali simmetriche, in particolare dando la definizione, parlando dei loro autovalori ed enunciando il Teorema spettrale. Processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt: Siano v1, v2,..., vm vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale reale V con un prodotto scalare (-, +). I passi dell'algoritmo sono m: uno per ogni vettore vi, per i = 1,...,m. Ad ogni passo dell'algoritmo partiamo con il vettore vi, otteniamo il vettore wi ortogonale ai vettori eo, equivalentemente, w ) già trovati, e troviamo il suo versore ei. Per ottenere wi sottraiamo la proiezione vettoriale di vi sui vgià trovati da vi stesso. Parlare delle matrici ortogonali, in particolare dando la definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).Processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt: Siano v1, v2, ..., vm vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale reale V con un prodotto scalare (: , +). | passi dell'algoritmo sono m: uno per ogni vettore vi, per i = 1,...,m. Ad ogni passo dell'algoritmo partiamo con il vettore vi, otteniamo il vettore wi ortogonale ai vettori e(0, equivalentemente, w ) già trovati, e troviamo il suo versore ei. Per ottenere wi sottraiamo la proiezione vettoriale di vi sui vgià trovati da vi stesso. Parlare delle isometrie, in particolare dando la definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).Processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt: Siano v1, v2, ..., vm vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale reale V con un prodotto scalare (* , +). | passi dell'algoritmo sono m: uno per ogni vettore vi, per i = 1,...,m. Ad ogni passo dell'algoritmo partiamo con il vettore vi, otteniamo il vettore wi ortogonale ai vettori e(o, equivalentemente, w ) già trovati, e troviamo il suo versore ei. Per ottenere wi sottraiamo la proiezione vettoriale di vi sui vgià trovati da vi stesso. Trovare la conica passante per i punti A=t(-1 -1), B=t(-2 1), C=t(0 -2), D=t(-1 -2) ed E=t(-2 -1), utilizzando il fascio di coniche passanti per i punti A, B, C e D Retta AD x=-1 Retta BC x+2/2=y-1/-3 3x+2y+4=0 Retta AB x+1/-1=y+% 2x+2=-y-1. 2x+y+3=0 Retta CD y=-2 La conica cercata ha equazione (x+1)(3x+2y+4)+2(y+2)(2x+y+3)=0 Trovare la conica passante per i punti A=t(1 1), B=t(0 -1) e C=t(-2 -2), e tangente alla retta di equazione x-y+2=0 nel punto D=t(0 2), utilizzando il fascio di coniche passanti per i punti A e B, e tangenti alla retta di equazione x-y+2=0 in D Retta AD x+y-2=0 Retta AB 2x-y-1=0 Retta BD x=0 La conica già equazione x(x+y-2)+2(2x-y-1)(x-y+2)=0 Trovare la conica passante per i punti A=t(1 -1), B=t(0 1) e C=t(-2 2), e tangente alla retta di equazione x+y+2=0 nel punto D=t(0 -2), utilizzando il fascio di coniche passanti per i punti A e B, e tangenti alla retta di equazione x+y+2=0 in D Retta AD x-y-2=0 Retta BD x=0 Retta AB 2x+y-1=0 La conica ha equazione x(x-y-2)+2(2x+y-1)(x+y+2) Trovare la conica tangente alla retta di equazione x-y+1=0 nel punto A=t(0 1), tangente alla retta di equazione x+3y+2=0 nel punto B=t(-2 0) e passante per il punto C=t(1 1), utilizzando il fascio di coniche tangenti alla retta di equazione x-y+1=0 in A e tangenti alla retta di equazione x+3y+2=0 in B Retta AB x-2y+2=0 La conica ha equazione (x-y+1)(x+3y+2)-6(x-2y+2)42=0 Trovare la conica tangente alla retta di equazione x-y-1=0 nel punto A=t(1 0), tangente alla retta di equazione 3x+y+2=0 nel punto B=t(0 -2) e passante per il punto C=t(1 1), utilizzando il fascio di coniche tangenti alla retta di equazione x-y-1=0 in A e tangenti alla retta di equazione 3x+y+2=0 in B Retta AB 2x-y-2=0 La conica ha equazione (x-y-1)(3x+y+2)+6(2x-y-2)42=0 Trovare la conica passante per i punti A=t(1 1), B=t(2 -1), C=t(0 2), D=t(1 2) ed E=t(2 1), utilizzando il fascio di coniche passanti per i punti A, B, Ce D La conica ha equazione -2(x+y-2)(3x+y-5)+(x-1)(3x+2y-4)=0 dire se la matrice e’ diagonalizzabile Autovalorik= 2 con m.a.=2 k=1 con m.a,=1 per k=2 la m.g.=2 e per k=1 la m.g.=dimVrank{A-KI)= 3-1=2 e poiche’ M.a.=M.g.=2 quindi E” DIAGONALIZZABILE -3 1 -1 cz 0 2 dire sela matrice ° " 7 e’ diagonalizzabile Autovalori k= -1 con m.a.=1 k=2 con m.a.=1 per k=-2 la m.g.=1 e poiche’ ho tre autovalori distinti e la somma delle molteplicita' algebriche e’ pari all’ordine della matrice, la matrice E' DIAGONALIZZABILE 4 O —Z 6 1 -3 4 0 z dire se la matrice e' diagonalizzabile Autovalori k= 1 con m.a.=1, k=2 con m.a.=1 per k=0 la m.g.=1 e poiche’ ho tre autovalori distinti e la somma delle molteplicita' algebriche e’ pari all'ordine della matrice, la matrice E' DIAGONALIZZABILE -4 0 2 -6 -1 3 dire se la matrice nn con m.a.=1 per k=-2 la m.g.=1 e poiche’ ho tre autovalori distinti e la somma delle molteplicita’ algebriche e' pari all'ordine della matrice, la matrice E' DIAGONALIZZABILE e’ diagonalizzabile Autovalori k= -1 con m.a.=1,, k=0 4 -3 1 6 -5 -2 o 0-2 dire se la matrice m.a. =2 Per K=-2 la m.g. = 1 perche’ M.g.= e’ diagonalizzabile Autovalori k=+1 con m.a.=1 e K=-2 con limW-rank(A-KI)= 3-2 = 1 NON E’ DIAGONALIZZABILE polinomio carattaristico K2 +2 = O, avremo KI = «radice 2 ma. = 1 e K2==radice 2 con mami POICHE" AUTOVALORI DISTINTI SICURAMENTE LA MATRICE E DIAGONALIZZABILE polinomio caratteristico km3 v Se a è diverso da 3 allera k1 diverso da k2 con M.a. (k1)«1 ed M.a.{k2}«1, dim M.a{3) + M. AUTOVALORI DISTINTI E le molteplicita” algebriche sono parl all'ordine della matrice Qx2) — £* SICURAMENTE DIAGONALIZZABILE: Se a=3 allora avro' k=3M.2.=2 — devo verificare che sia M.a.=-M.g. con Mg.=dimV-rank(A-ki) per had avro’ rank [A-hb=1 quindi dimv-rank{A-i) » 2-= 1% 1-= NON e' E' DIAGONALIZZADILE IN definitiva la matrice e’ per a=3 NON DIAGONALIZZA BILE PER A DIVERSO DA } DIAGONALIZZABILE Direselo motrice Q2,2 4 2 e'diagonalitzabile 44 polinomio caratteristico t2-t+24:0 quindi avro” due radici di 4 t= +41 radice 2 Polche' autovalori distinti con molteplicita* algebrica che sommata e' pari all'ordine della matrice allora la matrice e’ di sicuro DIAGONALIZZABILE. Verificare che il piano » di equazione + — 2y — &: — 3 è ll non è parallelo alla retta r di equazione {24202 d0 210. rvevro piane 0 ehe cosleve 1 re © pasa per li p PU RANK (A) = 3, RANK (AIB)=3, QUINDI RETTA E PIANO NON SONO paralleli IL PIANO ALFA CHE CONTIENE R E PASSA PER P E'; 3X-Y-52-11=0 Verificare che la retta r di equazione { » 7 7!7% è parallela al piano + di equazione 21 + 7 fe Tei. Deovane Il piano 4 che contiene la retta r e passa per Il punto (3, 1,-1). rank(3)= 2 rank(A/B)=3 E' parallela, l'equazione del PIANO CONTENENTE r e passante per P e’ X+3Y-SZ-11=0 dtt 7” è paratiota al piano + di equazione 25 + 4 + 521-261, Trovare Il piano n che contiene la retta r e passa per Il punto P(3.1,1). Verificare che la retta r di equazione { rank(A) = 2 rank(A/B)=3 e’ parallela, l'equazione del piano passante per re contenente P e’ x+3y+52-11=0 Verificare che Il 2-29+3541=0 , Ted 0 7 di equazione + 4% - di 9 è piaraliolo alla ret Pdl equazione + Droware I piano © che contiene la retta r © passa per ll punto PX1,3,-1). ank(A)=3 rank(A/B)=3 E' incidente, ti piano contenente re passante per P_e' SIANO DATI 1 Siano dati il punto / ( 2 ) e il piano a con forma cartesiana 3r — dy — 2+2 = 0. Trovare la distanza 1 tra Pea. Dire se la retta r con forma cartesiana { Ò è ortogonale al piano 3 parallelo ad a © passante per P. Calcolo Dist (P,piano alfa)=radice quadrata 26 / 13 il piano passante per P e parallelo ad alfa e' 3x-4y-z+4=0 La retta R non e’ ortogonale perche’ | vettori direttori non sono tra loro proporzionali 1 Siano dati il punto P (4) e il piano a con forma cartesiana 35 + 4y+2+2= 0, Trovare la distanza il t+93y-e+1=0 2r-p+2z-2=0 è ortogonale al piano parallelo tra Pea. Dire se la retta r con forma cartesiana { ad a e passante per P. Calcolo Dist (P,piano alfa)=radice quadrata 26 / 13 il piano passante per P e parallelo ad alfa e’ 3x-4y+z+4=0 La retta R non e’ ortogonale perche' i vettori direttori non sono tra loro proporzionali 0 Siano dati il punto P (0) e il piano a con forma cartesiana 4r — y+3:—1=0, Trovare la distanza il y-22-1=0 sudata è parallela al piano # parallelo tra P e a. Dire se la retta r con forma cartesiana { ada e passante per ). Calcolo Dist (P, piano alfa)= 2 * (radice quadrata 26 ) / 13 il piano passante per P e parallelo ad alfa e’ 4x-y+3z-5=0 La retta R non e’ parallela a B perche’ arcos Vpiano * Vretta e’ diverso da pigreco/2 il Siano dati il punto P (È) e il piano a con forma cartesiana 3 — y-+ 4: - 1» 0, Trovare la distanza 0 2 ia tra Pea. Dire se la retta r con forma cartesiana { Fa — sd i n > da 0 è parallela al piano 9 parallelo ad a e passante per /. Calcolo Dist (P, piano alfa)= 2 * (radice quadrata 26 ) / 13 il piano Beta passante per Pe parallelo ad alfa e’ 3x-y+4z-5=0 La retta R non e' parallela a Beta perche’ arcos Vpiano * Vretta e’ diverso da pigreco/2 Siano dati il punto P=t(2 -4 3) e il piano n con forma cartesiana 3x-2y+z-3=0, Irovare una forma cartesiana della retta r ortogonale a n e passante per P. Trovare un’equazione della sfera di centro P e tangente al piano n. avro‘ vpiano (3,-2,1) forma parametrica delia retta sara’ x=2+3t y=-4-2t z=3+t avremo risovendo che x-3z+7=0 troviamo il raggio tramite la distanza P,piano= radice 14 y+2z-2=0 la Sfera avra’ equazione (x-2)exp2+(y+4)exp2+(z-3)exp2=14 Parlare dei centri, dei diametri, degli assi e degli asintoti di una conica. Definizione 45.1. Sia € una conica non degenere. Se il polo della retta all'infinito rispetto alla conica € non è un punto all'infinito, esso è detto centro di €. Osservazione 45.2, Solo le ellissì e le iperboli hanno centro, Non di- mostreremo questo fatto, anche se non è difficile. Notiamo solamente che le parabole non hanno centro, infatti il polo della retta all'infinito è un punto all'infinito.» Definizione 45.4. Sia C una conica non degenere. Se la retta polare di un punto all'infin Po rispetto alla ica € non è la retta all'infinito, eun è dotta diamotro di C coniugato a Px, 0 anche alla direzione definita da Pax Definizione 45.8. Sia € una conica non degenere. Se il diametro di € coniugato a Px è ortogonale alla direzione definita da Pg, esso è detto asse di €. Definizione 45.13. Sia C una conica non degenere. Se il diametro di € coniugato a P contiene Px*, esso è detto asintoto di C. Osservazione 45.14. Solo le iperboli hanno asintoti.B Le direzioni dei due asintoti di un'iperbole sono definiti dai due punti all'infinito dell’iperbole. 
