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Lezione 004
01. DOMANDA 1 Il simbolo A? B indica che A è sottoinsieme di B B è un sottoinsieme di A A e B sono due insiemi congruenti A è un elemento di B 02. DOMANDA 7 L'espressione D 10,3 si sviluppa come somma di tre fattori decrescenti partendo dal 10 prodotto di 3 fattori decrescenti partendo dal 10 prodotto di 3 fattori crescenti partendo dal 10 prodotto di 10 fattori decrescenti partendo dal 10 03. DOMANDA 9 La classe di equivalenza di un sistema lineare S è: nessuna delle precedenti l'insieme di alcuni sistemi lineari equivalenti ad S l'insieme di tutti i sistemi lineari equivalenti ad S Un sistema lineae noni equivalenti ad S 04. DOMANDA 8 Due sistemi lineari di m equazioni in n incognite si dicono equivalenti in quale caso? se non hanno soluzioni se non hanno le stesse soluzioni se hanno le stesse soluzioni se le soluzioni sono il reciproco dell'altro 05. DOMANDA 2 Quale tra i seguenti raggruppamenti di oggetti? I punti di un segmento I migliori vini d'Italia I professori più bravi della tua scuola Le città più importanti d'Italia 06. DOMANDA 6 Nelle combinazioni semplici , se k=n i gruppi che si potranno formare saranno uguali a : k n 0 1 07. DOMANDA 4 Sia A ={1, 2, 3, 4}, definire su A un esempio di relazione di equivalenza, e calcolare le sue classi di equivalenza R = { (1, 2), (3, 4), (1, 4)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{2},{2} R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)},le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{1},{3},{3} R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{2},{3},{4} R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{1},{3},{3}
08. DOMANDA 3 Il simbolo a? A indica che a è un sottoinsieme di A a è un elemento di A è una scrittura errata a è un insieme minore di A 09. DOMANDA 5 Quanti sono i possibili anagrammi (anche senza senso) della parola COMPUTER? P6=6!= P8=8!= D?8,8=8elevato P4=4!=
08. DOMANDA 7 Una matrice quadrata A di ordine n è detta idempotente di ordine k se la potenza A elevato a k è uguale alla matrice identità(I). la potenza A elevato a k è uguale a A. la potenza A elevato a k è uguale ad una matrice quadrata. la potenza A elevato a k è uguale alla matrice nulla(O). 09. DOMANDA 2 Siano A(2, 3) B(3, 3) e C(3, 2). La matrice ABC è quadrata? se sì di che ordine? Si di ordine 2 Si di ordine 1 Si di ordine 3 No
Lezione 013
01. DOMANDA 1 Dati i seguenti 4 vettori di R3: ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ u = [3, 4, 2] e ~ v = [2, 5, 0], quale bisogna eliminare tra ~ u e ~ v in modo che i rimanenti 3 formino una base. (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) ~ v = 2 ~ e1 + 5 ~ e... ~ v = 1 ~ e1 + 4 ~ e... ~ v = 4 ~ e1 + 1 ~ e... ~ v = 6 ~ e2 + 5 ~ e... 02. DOMANDA 2 Dati ~ v = [1 0 -1] ~ w = [1 0 2] ~ u =[ 0 2 1] ~ z =[ 0 0 3] dire se ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti o indipendenti. (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) ~ u, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente indipendenti ~ v, ~ u e ~ z sono linearmente dipendenti ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti 03. DOMANDA 3 In R3 sono dati i seguenti insiemi di vettori: i) S1 = [1, 1, 1], [0, 1, 1], [1, 0, 0];ii) S2 = [2, 1, 0], [0, 1, 0],[1, 0, 1];iii) S3 = [1, 1, 2],[-1, 0,-1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]. Stabilire, per ciascuno di essi, se costituiscono un sistema di generatori e, in particolare, se sono delle basi per R3. (Gli insiemi come S1 è omessa la parentesi graffa di apertura e chiusura per problemi di quiz, ovviamente e come se ci fosse.) S1 ed S2 sono delle basi, S3 è un sistema di generatori. S2 ed S3 sono delle basi, S1 è un sistema di generatori. S1 ed S3 sono delle basi, S2 è un sistema di generatori. S1 è una base, S2 è un sistema di generatori. 04. DOMANDA 5 Trovare le componenti del vettore ~ v = 2 ~ e1 +~ e2 + 7 ~ e3 rispetto alla base B1 = ~ e1 ,~ e1 + ~ e2 ,~ e1 +~ e3 (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) [-1, 5, 3] [-2, 4, 7] [-5, 1, 7] [5, -1, 7] 05. DOMANDA 6 Per quali valori del parametro t l'insieme B = [2, t], [t, 2] è una base di R 2? t=2. t diversa da zero. Qaulunque t diverso da + - 2. t=- 06. DOMANDA 7 Trovare una base ~ e1 , ~ e2 di R2 tale che [1, 0]= ~ e1 + ~ e2 [ 0, 1] = ~ e1 ~ e2. (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) ~e1 =[1/4 , 1/4], ~e2 =[1/4 , -1/4]. ~e1 =[1/2 , 1/2], ~e2 =[1/2 , -1/2]. e1 =[1/3 , 1/3], ~e2 =[1/3 , -1/3]. ~e1 =[1/5 , 1/5], ~e2 =[1/5 , -1/5]. 07. DOMANDA 8 Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica B = ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ e3 = [0, 0, 1] ed il seguente sottospazio W generato da ~ e1 + 2 ~ e3 , ~ e3 ,~ e1 +~ e3 (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) W1=<[1, 0, 2], [0, 0, 1], [1, 0, 1] > quindi dimW1= 3. W1=<[0, 1, 2], [0, 1, 1], [0, 0, 1] > quindi dimW1= 2. W1=<[2, 0, 2], [2, 0, 1], [0, 0, 1] > quindi dimW1= 1. W1=<[0, 0, 3], [3, 0, 1], [1, 2, 1] > quindi dimW1= 4.
Lezione 017
01. DOMANDA 6 Se in una matrice quadrata agli elementi di una colonna si sommano i corrispondenti elementi di un'altra colonna moltiplicati per uno stesso numero, il determinante raddoppia rimane inalterato cambia segno dimezza 02. DOMANDA 9 Una matrice A è invertibile se e solo se A=I A= det(A) diversa da zero det(A) uguale zero 03. DOMANDA 8 Se A è invertibile, allora AB = AC implica B = A A = C B = C B = I 04. DOMANDA 7 Se A è invertibile, allora BA = CA implica A = C A = I B = C B = A 05. DOMANDA 5 Se in una matrice quadrata si scambiano tra loro due righe, il determinante della matrice: rimane inalterato raddoppia si dimezza cambia segno 06. DOMANDA 4 Se A è una matrice quadrata con det (A) diverso da 0 si ha: det(A) det (A elevato a -1) = 1 det (A elevato a -1) = det(A) det (A elevato a -1) = 0 det (A elevato a -1) = (det(A)) elevato al quadrato 07. DOMANDA 3 Il Det(nA)= 2n det(A) Non si può dire nulla (n*n) det(A) n det(A)
08. DOMANDA 2 Sia A = A elevato a -1 Che valori può assumere il determinante di A? det (A) = +- det (A) = + det(A) = 0 det (A) = +- 09. DOMANDA 1 È sempre vero che det(AB) = det(BA)? Sì se A e B sono quadrate dello stesso ordine Sì se A e B sono quadrate ma non dello stesso ordine NO se A e B sono quadrate dello stesso ordine Sì se A e B non sono quadrate dello stesso ordine
08. DOMANDA 2 La regola di Cramer è valida per la risoluzione di: qualunque sistema lineare. qualunque sistema determinato. qualunque sistema qualunque sistema di n equazioni in n incognite determinato. 09. DOMANDA 1 Un sistema omogeneo ammette sempre: nessuna soluzione almeno una soluzione Due soluzioni infinite soluzioni
Lezione 029
01. DOMANDA 9 Una matrice U è ortogonale se e solo se le sue colonne formano un sistema lineare di autovalori. nessuna delle precedenti un sistema ortonormale di vettori. un sistema ortonormale di autovettori. 02. DOMANDA 8 Una matrice quadrata A di ordine n è diagonalizzabile se e solo se nessuna delle precedenti ammette n autovalori dipendenti. non ammette n autovettori indipendenti. ammette n autovettori indipendenti. 03. DOMANDA 7 Due matrici simili A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico. Quale affermazione è corretta? nessuna delle precenti. Le matrici sono identiche Le matrici non sono invertibili. Le matrici sono invertibili 04. DOMANDA 6 Sia A quadrata di ordine n 3 e rango 1, allora A ha tutti gli autovalori distinti ha solo l'autovalore nullo ha n autovalori uguali a 1 nessuna delle precedenti 05. DOMANDA 5 Siano A e B due matrici quadrate reali di ordine n. Allora è vero che: Valgono le due proprietà precedenti A e B hanno gli stessi autovettori Non vale nessuna delle proprietà precedenti. A e B hanno gli stessi autovalori 06. DOMANDA 4 Una matrice A appartenente a Mn(R) e' sicuramente diagonalizzabile per similitudine se la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n. è simmetrica nessuna delle precedenti il suo polinomio caratteristico è privo di radici complesse a parte immaginaria non nulla. 07. DOMANDA 3 Sia A l'insieme delle matrici associate a forme quadratiche su R Alcune matrici di A ammettono coppie, ma non terne, di autovettori linearmente indipendenti. Nessuno dei casi precedenti. Tutte le matrici di A ammettono almeno un autovettore, ma alcune non ammettono coppie di autovettori linearmente indipendenti. Tutte le matrici di A ammettono terne di autovettori linearmente indipendenti.
Lezione 033
01. DOMANDA 9 Una forma quadratica è definita negativa se e solo se tutti gli autovalori di A sono positivi uguali a zero nessuna delle precedenti negativi 02. DOMANDA 8 Si chiama forma canonica ogni forma quadratica la cui matrice associata è diagonale nessuna delle precedenti di rango= unitaria 03. DOMANDA 7 Si chiama rango della forma quadratica il rango della matrice identica ad essa associata nessuna delle precenti nulla 04. DOMANDA 6 Un polinomio omogeneo di grado m si chiama forma quadratica se: il polinomio è di terzo grado nessuna delle precedenti il polinomio è di primo grado il polinomio è di secondo grado 05. DOMANDA 5 Una matrice A è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ammette solo radici sempilici. una radice invertibile solo radici multiple nessuna delle precedenti 06. DOMANDA 4 Due matrici simili hanno: nessuna delle precedenti lo stesso polinomio minimo non hanno lo stesso polinomio caratteristico differente polinomio minimo 07. DOMANDA 3 Teorema di Cayley-Hamilton è: Nessuno dei casi precedenti. non invertibile invertibile indipendente
08. DOMANDA 2 Una matrice è unitariamente simile ad una matrice diagonale se e solo se è hermitiana tutte le precedenti è normale è di Lagrange 09. DOMANDA 1 Ogni forma quadratica a coefficienti complessi (reali) di rango r > 0 si può ridurre, mediante una trasformazione lineare invertibile a Nessuna delle precedenti coefficienti complessi (reali) alla forma canonica autovettori in forma complessa autovalori in forma canonica
08. DOMANDA 1 Cosa rappresenta il oefficiente angolare? rappresenta la tangente goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse y rappresenta la secante goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse x Nessuna delle precedenti rappresenta la tangente goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse x 09. DOMANDA 3 Se k = 0, la retta di equazione kx+y+1=0 è: parallela all'asse y appartenente ad un fascio di rette Nessuno dei casi precedenti parallela all'asse x
Lezione 041
01. DOMANDA 6 Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se sono immaginarie la retta è esterna è esterna è secante è tangente 02. DOMANDA 9 In una circonferenza, se si uniscono gli estremi di una corda con il centro si ottiene generalmente un triangolo nessuna delle precedenti isoscele equilatero rettangolo 03. DOMANDA 8 Quale delle seguenti rette incontra la circonferenza in un solo punto? tangente secante esterna nessuna delle precedenti 04. DOMANDA 7 Tutte le circonferenze di un fascio concentriche, sono tangenti alla retta impropria nei punti esterni punti ciclici nessuna delle precedenti punti base 05. DOMANDA 5 Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se sono reali e coincidenti la retta è secante è tangente nessuna delle precedenti. è esterna 06. DOMANDA 4 Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se i due punti sono reali e distinti la retta nessuna delle precedenti è secante è tangente è esterna 07. DOMANDA 3 I punti ciclici del piano soddisfano l'equazione di una retta tangente alla circonferenza nessuno dei casi precedenti retta secante alla circonferenza qualsiasi circonferenza
Lezione 045
01. DOMANDA 6 Data l'ellisse di equazione (X^2/a^2 + 4y^2/a^2 = 1) uquale risposta è corretta? Se a = 1 , la curva passa per (1; ?1/2) I fuochi si trovano sull'asse x nessuna delle precedenti Un vertice ha coordinate (1a/2;0) 02. DOMANDA 9 La parabola y=ax^2 - 2x + 1 ha il vertice sulla retta y=x se: a= a= a= nessuna delle precedenti 03. DOMANDA 8 Per quali valori del parametro k appartenente a R l'equazione x^2 + (k-2)y^2 = 2 rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse? K > 2 2 <k < nessuna delle precedenti k > 3 04. DOMANDA 7 Considera l'ellisse di equazione 2x^2 + y^2 - 8x + 6y + 13=0 Quale fra le seguenti proposizioni è vera? L'eccentricità è 1/radice di 2 nessuna delle precenti L'eccentricità è 1/ Le coordinate del centro sono (4; -3) 05. DOMANDA 5 Dati due punti F1 e F2 del piano, si chiama ellisse di fuochi F1 e F2 l'insieme dei punti P del piano tali che nessuna delle precedenti sia costante la differenza delle distanze di P da F1 e F sia costante la somma delle distanze di P da F1 e F sia costante il prodotto delle distanze di P da F1 e F 06. DOMANDA 1 L'eccentricità di un ellisse è: un numero uguale a 1 Nessuna delle precedenti un numero maggiore di 1 un numero minore di 1 07. DOMANDA 3 L'eccentricità di una parabola è: Nessuna delle precedenti un numero uguale a 1 un numero maggiore di 1 un numero minore di 1
08. DOMANDA 2 L'eccentricità di un'iperbole è: un numero maggiore di 1 un numero minore di 1 un numero uguale a 1 Nessuna delle precedenti 09. DOMANDA 4 Una parabola e una circonferenza possono avere in comune al massimo: nessuna delle precedenti Due punti Un arco Quattro punti
