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ALGEBRA 7
POLINOMI e OPERAZIONI CON I POLINOMI
Si dice polinomio la somma algebrica di 2 o più monomi non simili fra loro. I monomi che compaiono in un polinomio si dicono termini del polinomio.
2 a + 4 b −
ab + 7 ab
Un polinomio si dice ridotto a forma normale, o semplicemente ridotto, se in esso non compaiono termini simili e se tutti i suoi monomi sono scritti in forma normale.
a
2
− 2 a + 4 b
Si dice grado di un polinomio il maggiore fra i gradi dei suoi termini. €
- 3 x 2 y 3 − 2 x 2
- 5 x 2 y 4 grado di € 3 x 2 y 3 : 5 grado di € − 2 x^2 : 2 grado di € 5 x^2 y^4 : 6 il polinomio è di 6°grado Si dice grado relativo di un polinomio rispetto a una lettera il più alto esponente con cui la lettera compare nel polinomio. € 3 a^3 + 2 ab^2 − b il grado relativo alla lettera € a è 3 il grado relativo alla lettera € b è 2. Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini hanno lo stesso grado. € 2 a 3 b + ab 3 − 7 b 4 tutti i termini sono di 4°grado. Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (o crescenti) di una determinata lettera quando gli esponenti della lettera si succedono in modo decrescente (o crescente). € 4 a 3 b − 6 a 2 b + 3 ab − 15 b è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera a. Un polinomio si dice completo rispetto a una sua lettera se in esso figurano tutte le potenze di quella lettera dalla maggiore a quella di grado zero; altrimenti è detto incompleto. € 5 ax^3 + 2 ax^2 + ax − 4 a il polinomio è completo rispetto alla lettera x. € 4 x 3 −
x − 7 il polinomino è incompleto. Addizione La somma di due o più polinomi si ottiene scrivendo l'uno di seguito all'altro i loro termini, ciascuno con il proprio segno, e riducendo successivamente gli eventuali termini simili. € (^ − 5 xy^ +^3 x^2 ) +^ (− 7 xy^ −^7 xy^2 +^3 x^2 ) = = − 5 xy + 3 x 2 − 7 xy − 7 xy 2
- 3 x 2 = = (^) (− 5 − (^7) ) xy + (^) (+ 3 + (^3) ) x^2 − 7 xy^2 = − 12 xy + 6 x^2 − 7 xy^2 Sottrazione La differenza fra due polinomi si ottiene scrivendo i termini del primo polinomio, con il proprio segno, seguito dai termini cambiati di segno del secondo polinomio e riducendo gli eventuali termini simili. € − 5 xy + 3 x 2 ( ) −^ −^7 xy^ −^7 xy 2
- 3 x 2 ( ) = = − 5 xy + 3 x^2 + 7 xy + 7 xy^2 − 3 x^2 = = (− 5 + 7 ) xy + (+ 3 + 3 ) x 2
- 7 xy 2 = = + 2 xy − 7 xy 2
ALGEBRA 8 Le operazioni di addizione e sottrazione si possono indicare come addizione algebrica. € − 6 x 3 y + 5 a 2
( ) +^ − a
2
( y ) −^ −^3 x
3 y + 5 a 2
= − 6 x^3 y + 5 a^2 + 2 ab^4 − a^2 + 4 ab^4 + 6 x^3 y + 6 x^3 y + 3 x^3 y − 5 a
= (− 6 + 6 + 3 ) x
3
y + (+ 5 − 1 − 5 ) a
2
+ (+ 2 + 4 − 9 ) ab
4
= + 3 x 3 y − a 2 − 3 ab 4
Moltiplicazione
Il prodotto di un polinomio per un monomio, o viceversa, si ottiene moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio e addizionando poi i prodotti ottenuti. Il prodotto di due polinomi si ottiene moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo ed eseguendo la somma algebrica dei prodotti parziali ottenuti.
(^4 a^3 b^3 +^7 a^3 b^2 −^3 ab )⋅^ (−^3 ab )^ =
(^4 a^3 b^3 ) (−^3 ab )^ +^ ( 7 a^3 b^2 ) (−^3 ab )^ +^ (^ −^3 ab )^ (^ −^3 ab )^ =
− 12 a 4 b 4 − 21 a 4 b 3
(^3 a^ +^4 ab^2 −^7 b )⋅^ ( 2b^^ −^ a )^ =
3 a ⋅ ( 2b − a ) + 4 ab^2 ⋅ ( 2b − a ) + ( − 7 b )⋅ ( 2b − a ) = 3 a ⋅ 2 b + 3 a ⋅ (− a ) + 4 ab^2 ⋅ 2 b + 4 ab^2 ⋅ (− a ) + ( − 7 b )⋅ 2 b + ( − 7 b )⋅ (− a ) = 6 ab − 3 a^2 + 8 ab^3 − 4 a^2 b^2 − 14 b^2 + 7 ab = 13 ab − 3 a^2 + 8 ab^3 − 4 a^2 b^2 − 14 b^2
Divisione
Il quoziente di un polinomio e di un monomio non nullo si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio ed eseguendo poi la somma algebrica dei quozienti parziali ottenuti. €
(^ − 18 a^3 +^15 ab^2 −^6 a ) :^ (^ − 3a )^ =
(^ − 18 a^3 ) :^ (−^ 3a )^ +^ (+ 15 ab^2 ) :^ (−^ 3a )^ +^ (−^6 a )^ :^ (−^ 3a )^ =
Prodotti notevoli
il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale alla differenza fra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo monomio.
(a + b) (a - b) = a
2
- b
2 il quadrato di un binomio si calcola addizionando algebricamente il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo per il secondo termine e il quadrato del secondo termine.
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2 il cubo di un binomio si calcola addizionando algebricamente il cubo del primo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo termine, il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo termine e il cubo del secondo termine.
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
(a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
(^2 x^ +^3 y )⋅^ (^2 x^ −^3 y ) =
= 4 x^2 − 9 y^2 €
(^2 x^ +^3 y ) =
= 4 x 2
(^2 x^ −^3 y ) =
= 4 x^2 − 12 xy + 9 y^2 €
(^2 x^ +^ y )
3
= 8 x 3
(^2 x^ −^ y )
3
= 8 x 3 − 12 x 2 y + 6 xy 2 − y 3
