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ANALISI MATEMATICA 1
primo semestre
[lezione 6/10/14]
*L’analisi matematica consiste nell’analizzare il calcolo infinitesimale. Il suo intento è quello di sostituire al concetto di punto il concetto di intervallo infinitesimale e, considerandolo come base potremo riscrivere una matematica adatta ad affrontare il mondo fisico.
-Introduzione agli insiemi dei numeri :
- insieme dei numeri naturali N: ⌇1,2,3,….⌇L'insieme é: infinito,ordinato,discreto questo insieme non è adatto alle sottrazione perché “2-4” non avrebbe senso perciò si ricorre ad un’altro insieme, più grande.
- insieme dei numeri relativi Z: ⌇-4,-3,-2,…,4,5..⌇ E' un’insieme: infinito,ordinato,discreto
- però questo insieme non è adatto alla divisione perché “2/5” non da come risultato un numero intero in modo da trovarlo nell’insieme Z, perciò si ha bisogno di un’altro insieme.
- insieme dei numeri razionali Q: ⌇n/m : n,m appartengono a Z, con m diverso da 0⌇ L'insieme è:infinito,ordinato,non discreto perché tra una coppia di numeri vi sono infiniti numeri (si dice che è denso).
- in questo insieme però numeri come ⌇ 2 3 B 7 2 ⌇non si possono individuare per questo vi è bisogno di un’altro insieme, quello dei numeri reali.
- insieme dei numeri reali R:
in sostanza questo insieme è l’insieme Q più i suoi “buchi”. def. R è l’insieme costituito da tutti gli allineamenti decimali illimitati con segno.
R >_ Q >_ Z >_ N ( >_ = contiene )
- Assioma di completezza
R è completo, cioè se consideriamo 2 insiemi A e B di numeri N tali che ogni elemento a ≤ b per ogni “a” appartenente a A e per ogni “b” appartenente a B la completezza ci dice che esiste almeno un elemento appartenente a R tale che a ≤ c ≤ b.
Intervalli (rappresentazione)
Dati a,b appartenenti a R , a < b, indico :
- entrambi esclusi, si dice “intervallo aperto” : (a,b) ]a,b[
- uno compreso e l’altro escluso, può essere o “semiaperto a destra” o “semiaperto a sinistra” : [a,b) o (a,b]
- entrambi compresi, “intervallo chiuso” : [a,b]
✳ per indicare un numero escluso è possibile usare anche la seguente rappresentazione: ⌇ 5 ⌇^c = R -⌇ 5 ⌇ (la c significa complementare )
Valore Assoluto
*mi indica la distanza da un punto
Il valore assoluto di un numero relativo a (indicato con a ) è il numero stesso, se questo è positivo
o nullo, il suo opposto, se questo è negativo. Pertanto è sempre “non negativo” il risultato di un valore assoluto,non il suo argomento.
- “a” appartiene a R | a |= a se a> -a se a< | a | = | -a | | ab | = | a | * | b | | a/b | = | a | / | b | valore assoluto di un prodotto: |x| * |x+1| = |x2 + x| valore assoluto di un quoziente |x+1| / |x+2| = |x+1/x+2|
✳ disuguaglianza triangolare = | a+b | ≤ | a | + | b |
**Risoluzione dell'equazione |f(x)|= k (es. |x| = 2)
- se k<0 , l'equazione non ha soluzioni
- se k = 0, l'equazione è verificata se e solo se f(x) = 0
- se k>0, l'equazione é verificata se e solo se f(x) = -k V f(x) = k
**Risoluzione dell'equazione |f(x)|= g(x) l'equazione equivale a:
- £ f(x) >_ 0 V £ f(x) < 0 £ f(x) = g(x) £ -f(x) = g(x)
**Risoluzione dell'equazione |f(x)| = |g(x)| l'equazione equivale a:
- f(x) = g(x) V f(x) = - g(x)
**Risoluzione di un equazione con due o più valori assoluti ( vedi es. sul quaderno )
- si studia il segno degli argomenti dei valori assoluti che compaiono nell'equazione.
- si risolve l'equazione in ciascun degli intervalli che si vengono a determinare.
- si conclude, assumendo come soluzioni dell'equazione originaria tutte le soluzioni accettabili che si sono trovate nel passo precedente.
**Risoluzione della disequazione | x | < 5 soluzione = -5 < x < 5
** Risoluzione della disequazione |x-a| < D
- togliamo il valore assoluto, e diventa :
- -D < x-a < D , spostiamo la a
m.
Se prendiamo un insieme A, definiamo il minimo di A, se esiste, il numero “m” appartenente ad A
t.c. per ogni “a” appartenete ad A, “a” ≥ m
es. A [0,1) m = 0
es. A (0,1) m = non esiste
Per “rilassare” questa definizione troppo restrittiva definiamo l appartenente a R il minorante di A
se per ogni “a” appartenente ad A, “a” ≥ l
es. A insieme dei numeri appartenenti a R
C ( minoranti di A)
A = (0,1) C = [0, - infinito)
A = [0,1) C = [0, - infinito)
- In A limitato inferiormente si dice che m appartenente a R è l’estremo inferiore di A se “m” è il
massimo dei minoranti.
- Per esserci m si deve avere = 1. “m” ≤ “a” con “a” appartenente ad A
2. per ogni epsilon > 0 esiste un “a” appartenente ad A tale che a <
m + epsilon. Questo significa che se prendiamo un valore di epsilon
positivo e lo sommiamo al nostro estremo inferiore troviamo un valore
appartenete all’insieme A.
Es. x appartenente ad R; x>0 uguale a (0; + infinito)
max = non esiste
min = non esiste
magg. = non esiste
mino. = 0, -1,..,-
- A si dice limitato superiormente se A ammette maggioranti
- A si dice limitato inferiormente se A ammette minoranti
- A si dice limitato se A ammette sia maggioranti che minoranti
* l’estremo relativo è un punto o di massimo o di minimo.
[Lezione 7/10/14]
Concetto di funzione
Se consideriamo due esempi, A (classe) e B (età), si può avere una funzione se si associa un
elemento del primo insieme a uno e uno solo del secondo. Infatti se facciamo il contrario non
otteniamo una funzione in quanto all’età 19 possono corrispondere più componenti della classe e
non più uno e uno solo.
Si definisce funzione y della variabile x un legame fra due variabili, una detta variabile
indipendente x e l'altra detta variabile dipendente y tali che abbiano senso le operazioni da
effettuare sulla x per ottenere i valori della y e per ogni valore della x corrisponda un solo valore
della y
y=f(x)
oppure
Si dice che è definita una funzione f su un insieme A a valori in un insieme B se a ogni elemento di
x appartenente ad A è assegnato uno e uno solo elemento f(x) appartenente a B.
f : A —> B
x —> f(x)
Più semplicemente possiamo dire la funzione è una legge che associa ad un elemento di partenza
(imput) uno e un solo elemento di arrivo (output).
L’insieme A è detto dominio della funzione, l’insieme B è detto codominio. Supponendo che in un
insieme B non tutti i valori vadano bene per rispettare la legge che ci impone la funzione, ne
consideriamo solo un sottoinsieme, ovvero quelli che ci vadano bene. Questo sottoinsieme di B è
formato da tutti i valori f (x) quando x varia in A è detta immagine di f e si indica con f (A).
x : variabile indipendente y : f (x) variabile dipendente
✳ Il campo di esistenza di una funzione coincide sempre con tutto l’asse x tranne nei seguenti casi:
- equazioni fratte
- equazioni irrazionali
- equazioni logaritmiche
es.
f (x) = 1 / ( 2 3B 7x +1)
D = [0; + 00)
f (x) = f : [0 ; +00 ) appartenente a R —> R
f [0 ; +00 ) contenuto in R
- Se si ha una funzione e si prendono due punti x1 < x2 e si vede che le loro immagini
f (x1) ≤ f (x2) la funzione si dice monotona crescente.
- Se si ha una funzione e si prendono due punti x1 < x2 e si vede che le loro immagini
f (x1) ≥ f (x2) la funzione si dice monotona decrescente.
- Se si ha una funzione e si prendono due punti x1 < x2 e si vede che le loro immagini
f (x1) > f (x2) la funzione si dice monotona strettamente decrescente.
- Se conosco una funzione in un intervallo e la posso riprodurre, si dice funzione periodica.
f : D contenuto in R —> R
f è periodica di periodo T
f (x+T) = f (x) : per ogni x appartente a D
✳ se una funzione è periodica di periodo T lo è anche per 2 T.
Limiti
Introduciamo il concetto considerando la funzione f (x) = senx / x
- con x = 0,2 —> f(x) = 0,
- con x = 0.001 —> f(x) = 0,
Quindi se dimostriamo che ci avviciniamo a 1 più la x si avvicina a 0 allora si dice che il limite di f
(x) per x che tende a 0 è 1.
lim (x—>1) f(x) = 1
definizione
Se f(x) è definita per tutti gli x vicini ad “a” tranne eventualmente “a” stesso si dice che il limite f
(x) per x che tende ad “a” é uguale ad un valore L e si scrive lim (x—>a) f(x) = L se è possibile
rendere il valore f(x) arbitrariamente vicino ad L pur di prendere un qualunque x sufficientemente
vicino, ma non uguale ad “a”.
✳ se esiste il limite è unico perché anche per assurdo che esistano due limiti eseguendo i calcoli si
ottiene che L = k ciò significa che coincidono quindi il teorema è verificato.
limite dx.
Si dice che il limite destro di f(x) in c é uguale a L e si scrive :
lim (x—> c+) f(x) = L
se è possibile rendere il valore di f arbitrariamente vicino a L pur di prendere x > c sufficientemente
vicino a c.
limite sx.
Si dice che il limite sinistro di f(x) in c é uguale a L e si scrive :
lim (x—> c-) f(x) = L
se è possibile rendere il valore di f arbitrariamente vicino a L pur di prendere x < c sufficientemente
vicino a c.
Se abbiamo una funzione f : R - ⌇a⌇—> R e sappiamo che questa funzione a lim
(x—>a) f(x) = L possiamo affermare con certezza che sia il “lim (x—> a+) f(x) = L “che il “lim(x
—>a-)f(x) = L”. Viceversa non possiamo affermarlo in quanto può esistere una funzione che non
abbia un limite ma bensì abbia solo un limite destro e un limite sinistro.
es. f(x) = x/x^2+|x|
-essendoci il modulo dobbiamo suddividere i casi.
1. f(x) = x/x^2+x con x>
lim (x—>0+) f(x) = lim (x—>0+) 1/x+1 = 1
(2) f(x) = x/x^2-x con x<
lim (x—>0-) f(x) = lim (x—>0+) 1/x-1 = -
Infatti possiamo dire che non esiste un limite di f(x) quando la x tende a 0
✳ Si può dimostrare in generale che, se P(x) è polinomio di grado n e Q(x) è polinomio di grado m,
allora: lim x—> +00 di P(x) / Q(x) è :
- -00 se n>m
- (^) 0 se n<m
- valore finito se n=m
✳ Le funzioni periodiche non costanti non hanno limite per x-> +00 o x-> -00.
Continuit à
Si dice che f è continua in un punto c del dominio se :
lim (x—> c) f(x) = f(c)
Una funzione non continua ha questo comportamento
lim (x—> c) f(x) = L diverso da f(c)
Teorema di weirstrass
Se prendo f [a,b] in R allora f assume max min in [a,b] cioè esistono x1 e x2 che appartengono [a,b]
tali che f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) per ogni x appartenente a [a,b].
Teorema degli zeri
Se ho f(a) negativa e f(b) positiva deve esserci almeno una volta l’intersezione con l’asse x.
[lezione 8/10/14]
- g(x) diverso da 0 e se lim g(x) diverso da 0
es.
2 3
lim (x—>1) x- B 7x =
2 3
lim (x—>1) x- lim (x—>1) B 7x
✳ lim (x—>2) x^x = lim (x—>2) e^ xlnx = lim (x—>2) e^ 2ln2 = 4
Corollario
Se g(x) ≥ 0 vicino ad a e lim (x—>a) g(x) = L questo implica che L ≥ 0
Teorema di permanenza
Se lim (x—>a) g(x) = L > 0 questo implica che g(x) ≥ 0 per ogni x sufficientemente vicina ad a.
Analogamente se L < 0 g(x) < 0 pur di stare sufficientemente vicino ad a.
Teorema del confronto
Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) per ogni x vicino ad a e se lim (x—>a) f(x) = lim(x—>a) h(x) = L allora anche il limite g(x) che tende ad a è uguale a L.
✳ Una funzione h(x) è un infinitesimo per x che tende ad a se il suo limite è 0. A sua volta anche il suo modulo sarà un infinitesimo.
- Sia h(x) un infinitesimo per x—> a e sia g(x) limitata vicino ad a se calcolo il limite del loro prodotto ottengo 0.
- Per ogni funzione che oscilla il limite non esiste.
Grafici funzioni elementari
Il grafico di f per definizione è il luogo dei punti del piano di coordinate tipo (x,y) con y= f(x)
- f(x) = x
- la funzione precedente la possiamo vedere come una funzione potenza perché f(x) = x = x^ - Funzione potenza
f (x) = x^q con q appartenente a Q e q = m/n con m e n primi fra loro, quindi x ^m/n.
q > 0
• m pari e n dispari (non può essere pari perché m e n sono primi fra loro )
D = R
- le funzioni in questo caso sono pari.
- il grafico di queste funzioni passa dai punti (-1;1),(1,1),(0,0).
- se q cresce prima dei punti (-1,1) e (1,1) si schiaccia mentre dopo cresce più velocemente.
con q >
es. y=x ^4/
con 0 < q < 1
es. y=x^2/ se q decresce es. y= x^2/
• m dispari n pari
D= (0,+00)
- passa dal punto (1,1)
- con q > 1il grafico va verso l’alto mentre con 0<q<1 va a destra
es.
y= x^17/ y= x^3/
• m e n dispari
D=R
- α > 1 y= x ^ (2^1/2)
- 0 < α > 1 y= x ^ 0,5655..
- α < 0 y= x ^ - 0,4543.. - Funzioni esponenziali
- sono della forma: f(x) = a^x (a >0)
- sono sempre funzioni positive per ogni x
- per ogni x la funzione è definita in R
- se nelle funzioni potenza la x configurava alla base ora configura all’esponente
- la funzione passa per il punto (0,1)
- a > 1 es. y= 2^x y= 8^x ( si schiaccia di più prima di 1 rispetto all’altra)
- 0 < a < 1 es. y= 1/2 ^x y= 1/8 ^x ( si schiaccia maggiormente dopo 1 rispetto all’altra )
- a = y=1^x - Funzioni logaritmiche
- funzione inversa degli esponenziali
- a = log b (c) -> b^a = c
- questa funzione è definita per b > 0 ; c > 0 ; b diverso da 1
- la funzione passa per il punto (1,0)
b > 1 y= log x 0 < b < 1
- Iperbole eq. x^2 / a^2 + y^2/b^2 = 1
eq. x^2 / a^2 + y^2/b^2 = -
- traslazione
Dato un L descritto dall’eq. h (x,y) = 0 l'equazione h (x-xo , yo-yo)= 0 descrive un altro luogo geometrico L’ che è ottenuto da L traslandolo orizzontalmente di xo e verticalmente di yo.
es. (x-1)^2 + (y+2)^2 = 1
h(x,y) = 0 h’ = (x-1)^2 + (y+2)^2 -
- tenendo presente che h (x-xo,y-yo)
- posso pensare che h’ sia uguale h’ = (x+1),(y-2) h è la circonferenza trigonometrica di raggio 1, ovvero x^2 + y^2 -1 = 0
- questo significa che io devo traslare la circonferenza di xo = 1 in orizzontale e yo= -2 in verticale.
✳ tenendo presente che h (x-xo,y-yo)
- OMOTETIE
(dilatazioni/compressioni)
Dilatazioni
- L’eq. h(x/α,y)=0 rappresenta l’insieme che si ottiene da L ( h(x,y)=0) “dilatandolo” orizzontalmente di un fattore α.
- Analogamente h(x,y/α) rappresenta l’insieme che si ottiene da L ( h(x,y)=0) “dilatandolo” verticalmente di un fattore α.
es. x^2 + y^2 /9 = 1
- se ci riferiamo ad un luogo geometrico h(x,y) notiamo che l’equazione data può essere riferita ad una circonferenza x^2+y^2 = 1 dilatata verticalmente di un fatto α pari a 9. Questo significa che non si tratta più di una circonferenza ma bensì di un’ellisse e quindi il numero 9 rappresenta una dilatazione verticale di coeff. α=3. Ora per dilatare la circonferenza basterà moltiplicare ogni coordinata y di un punto della circonferenza per 3.
es. y= x/
- mi riferisco alla bisetrice del terzo e primo quadrante ovvero y=x e noto che la nostra retta sarà la stessa, ma dilatata di un fattore α pari a 2.
- quindi basterà moltiplicare i punti della retta y=x per 2 e ottenere il grafico che ci interessa.
Compressioni
sempre supponendo α > 1
- h(αx,y) rappresenta compressione orizzontale di h(x,y)=
- h(x, αy) rappresenta compressione verticale di h(x,y)=
- in poche parole moltiplicare per un valore α > 1 equivale a dividere per un fattore 1/α.
es. y=2x
- ottengo il grafico partendo dalla retta y=x dividendo ogni ascissa della retta y=x per 2.
Infiniti e infinitesimi
Def. Si dice infinitesimo per x->xo ogni funzione che tende a 0 per x->xo. es. f(x) = sin(x) è un infinitesimo per x-> 0 e per x-> п.
Def. Si dice infinito per x-> xo ogni funzione che tende ad infinito (+oo ; -oo) per x->xo. es. log x è un infinito per x-> +oo e per x-> 0 mentre è un infinitesimo per x-> 1.
I nfinitesimi
Siano f e g due funzioni infinitesime per x->xo, ovvero:
lim (x->xo) f(x) = 0 lim(x->xo) g(x) = 0
se consideriamo il loro rapporto: lim (x->xo) f(x)/g(x) otteniamo come risultato :
- 0 se f è un infinitesimo di ordine superiore a g es. f(x) = x^3 g(x) = x^
- l con l finito diverso da 0 se f è un infinitesimo dello stesso ordine di g. es. f(x) = sin x g(x) = x
- oo se f è un infinitesimo di ordine inferiore a g. es. f(x) = sinx g(x) = 1-cosx
- non esiste se f e g sono infinitesimi non confrontabili
✳ se f è un infinitesimo di ordine superiore a f1, diventa: lim(x->xo) f+f1 / g = lim (x-> xo) f/g
Infiniti
Siano f e g due funzioni infinite per x->xo, ovvero:
lim (x->xo) f(x) = oo lim(x->xo) g(x) = oo
se consideriamo il loro rapporto: lim (x->xo) f(x)/g(x) otteniamo come risultato :
- 0 se f è di ordine inferiore a g
- l se f e g hanno lo stesso ordine
- oo se f(x) è di ordine superiore a g(x)
- (^) non esiste se f e g sono infiniti non confrontabili
Simbolo di Landau
Si dice che una funzione f(x) è un o-piccolo di g(x) per x-> xo e si scrive; f (x) = o g(x) se :
- il lim(x->xo) f(x)/g(x) = 0 Cioè f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x).
es. sinx = o (tanx) per x-> п/ es. sinx = o (x) per x-> +oo
Asintotici
f(x) ~ g(x) per x-> xo e si legge che f è asintotico a g per x->xo se; lim(x->xo) f(x) / g(x) = 1 cioè vanno alla stessa velocità, sono dello stesso ordine.
es. sinx ~ x es. 1-cosx ~ x^2/
✳ (^) f ~ g = f= g+ o(g)
Successioni
f : N—> R
Dati A e B due insiemi, si dice che hanno la stessa cardinalità cioè sono equipollenti se esiste una funzione f: A—> B che sia suriettiva e iniettiva.
- Card(N) = cardinalit à del numerabile = 𝑥 o ( aleph zero)
✳ Card(N) = Card(Z) = Card (Q)
- Card(R) = cardinalit à del continuo
Def di Successioni
La successione è prendere un numero n in N e associargli un numero “an” in R. Una successione è una legge che ad ogni numero naturale associa un numero reale.
es. an = n^ es. an= n-1/n
✳ Un numero reale “a” si dice limite della successione an per n-> +oo e si indica : a= lim (x-> +oo) an se per ogni epsilon maggiore di 0 esiste una N maggiore di zero tale che |an- n| < di epsilon per ogni n appartenente a N.
Diremmo che “an” è convergente se an ammette limite finito. Avendo limite finito una successione può essere o convergente o non convergente.
Diremmo che una successione è divergente quando ha limite infinito. O è divergente o è irregolare. *Ogni successione convergente è limitata, non vale lo stesso per il contrario (una successione limitata non implica la convergenza).
