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Serie
Numeriche
Con
le scri numeriche stamo andando a ludicare
quell'operator
matematico con cui rudidiamo una sanma che Paside
infiniti
Termini
, quindi
∞
Scrivendo
u = s
O
dove an è il termuie
generale
e con
Tale scrittura stemo Descrucude una semar del
Tipo
:
∞
am = not as
azt
.... + on
è una somma chePossiede
infiniti
Termini
次 , 只
Capri meglio
el Gratto di Serie e quindi
una somma a termini infiniti
,
spaghiando
attraverso
il Peradaso
di Zenone
.
· Alla Pertura aller
Tortage
vieve
dato
un
piccole
Vantaggio Rispetto
ed Schille
che Parte de una
Passione 5 = 0.
Una
Volta che la
gara
comincia Schille Percorre
quel vataggio
data Inizialmente alla
totariga
ma alla stesso
Tempo
la
Tartaruga
i audata evanti e
ha Percosse un atto
gap
che adelle
dovrà colmare
di nuevo. ~ Così
all'infinite
schlle sera
Cestrato a
lusegure
la Tertauger
senza
mai
Raggiungerla
.
Come Permetamo
ed
Schelle di
Raggiungere
la
terteger
e vinare la corsa
Pencudo
ne
limite alla Corsa
,
coe i dur
Partecipanti
Nau Sevono correre Per Sempre
ma seusé
deveno corre
por
una
speso
limitato
~(fonte
.
Ciae?
·
Illlllll
illlllilllihind
> Nau
Impote
quanti
Perzettini Pundo
(quindi quanti
sposi
Percorrona i due) alla
fini
la
Somma
di
Essi
Serà
Comunque
finito
·
Un
alte
esempio
Pratico di
questo
Gatto posiamo
Vederlo attraverso
l'uso comune :
La misurazioni di un
oggetto finito
: quindi
ho
un tubo di2m
.
Come Ce musura ?
\
> Paso Dividerlo
un
infiniti
Pensati
Piccolissimi
e
sonmerli ta
Cara
ma
quelle
che otterrà serei
Comunque
:เ
una sonma
cheome Risultato
ร
euza Voloce Em
μ
u = ye
= as
az
...
>
Definiamo
rusamma una
Serie
come una somme Sente
rifiniti
Termini Come
:
∞
an = as
+... +on
Seve
an è diemato
termur
generale
della Serie
n
= 1
·
l se
per
se
questa
scrittura i una semma
che
nen
ha
Cimite
, quel
è una semmer lufinita
.
Per Doce we suso
t ∞
Definiamo
Delle sottosame Su
che
Contrgeno
un numero di
Termine
Finito
di
en del
Tipo
:
u = 3
No: a อ
S1 = a
as
52 = ao + as
az
⾔
Sn = 00 + as
am
·
gli
climati
So
,
5s
....,
En s diamano Sorre Risotto n-esime della Serie
t
o
an meter
l'insieme che
u= 3
a
Contene
Putti i Termini Sa
....,
In è cliemate lusieme selle sottoseme
di Ʃ
u
= ja
>
Que è la
Relosene Fra
In e am ?
Se
In asume Vare
Sn
ao
as
+... +em una Volta che
famio
Tende i
Termini di In
a
infinito
avrà
che Sn assume
"le vesti de an
"e
era :
-assime
Veloce Sinto
S
la ser
au-Enverge
S. me
Sn = s asume
Velane
unfnto
en :
Dverge
e
M
20
∞
a
lunte 79
m = s
an
·
serie note
noli
· Esistena 3
Tipologie
di Serie
notevoli
,
e sono
- Serie Geaméricoi
∞
>
La Serie
genetica
è un tipo
di Sere di cui
il Termini generale eypere
Come
n
= 19
e
sove
&
Può aser 921 ; 933
·
qual
è la
Particolarità di questa
Serie ?
Che il Rapporto
Tra un numero e il suo successio è Cestate
qeats = cE/
9
·
In Base al Valore che
a
assume (6m n
e/N)
abbiamo che la Ser Più
Convergere
o
Avergere.
Smestremo come ,
vi Base al
Velare che
&
assume abbiamoRisultati differente
.
Typé
:
∞
n=
1
qu definisco
Delle Somme a Termini finiti
In come : Soge
= ges
=
+q
...
In
gi
9
+...
qu
·
se
multiplica
In
Per un
Valer (
Dave
pers]
aro :
Sn
(5-9) =
ge
ast
... + qm(
-g)
= s
Sn
15-9)
=
get a ta
...
is
ofgo
iltemuo
Sn
(s-9)
=
q
qmi
:
Sn
90
au
aes
Più Pacolo e
il Più
grande
:
·
saypiemo
che studiende il limie di
In
a usto Pasiemo Siri se una serie
Averge
e
Converge
,
ma endersiamo i Veri Casi
Se 93 ,
3
∞
t
∞
=> in Squats -
The
to :the as alloca
n = 1
q"
Diverge
หรอ 2 se
·
1911 /allera 9 e
un numero frasenecia)
azo :
-> ค
·. 5
เท
Gui
S
=
lui
e Ent
Seg
allea qu Gree
M =
a 1 -
9
Finito
Gros) Se 94
Cimite Nau
esiste
Perché n + 1 con ne + c eseme
Veloci una Veltr
Disperi
e una
Volter Peri
=ธ. 9: - 2
uims
t
oo
3
=
an
Per mra var
e a
a
Diverge
se 9ss
In
Bosunta
;
wammo dhe
:
qu &Converge
se <
Nau esiste se 95-
Serie
Telucopeiche
· Le Serie Telescopiche
sesso Tute
quelle
serie Seve el termuir guerde
an è
espresso
Come la
Afferura de un numero e il
suo
successio
∞
n = s
(en-ants/
>>
Perché
Telescopiche
Perché
queste
Tipologi
de Serie s
svhypeno
come i
Termini nel merso si elimmaso lasciando solo
lufine
il Teme.
Più
piccolo
- il termue più grande Proprio
come
quando
cliudono un
Telesgio
Tomme
· Più
Piccole
quando
la chuda
vedo solo
la Porte
Tammiee
Temi
Più Piccoler e
quella
虛
nel
merz
o Di
grande
~
Allo steso modo s.
Emporta
la Serie
Telescopica
,
del
Tipé
:
‰
รส
β
Diverge
e
Enverge?
u(u
m = 1
Paso sorvere
I
come
ini
Perche :
As
n(m+ m Inte
>
audendo a Descriver
la
sottosuccessione
di au
,
Em-mis)
Traciendo meno meno
è navemente
di u wamo
che :
:a
so
['
?
.
fn
"
'
lt ;
'
:
)
o
?
s
s
.
quindi
I
I
super
sind:
3 2 prude
6
-Ps
se
Converge-
Tau-Gnverge
>
Il
carattere della serie
Viene
dunque
dato Dalla studia Sel Temie
mis
Sse
Diverge-
Zau
Siverge
I
se van Es .
=
Zan
Internate
Serie
ermaniche
· Sesso ve
Pysé
di Serie di cui nas ne
speghiamo
l'andamente cre ma
più
canti.
· Una
Volte
Definito
Ciò ,
Passo
Definire
dei Teoreme che
Pasono darmi stimenti
utili me determiere la
Convergere
e
divergenza
Delle Serie Numeriche
·
Teoremi del
Confronto
semplice
luguda
a
quella
segli
integrali
Ip
: Serio an e Qu dur successioni
numerita
en Termini non
Negativ
dove :
aubu
V nei
· se ciò si
Verifica
abbiamo che
Se
bu
Converge
lo
fa
auche
an
se an Siverge
le
fa
auche Ser
· Simestrosiene :
Obiettine
: Dobbiamo Dimostrare che se Converge
In allora Converge
en
> sa
spotesi
Nai
Saggiero
che en e Su sono sus Serie a Termini Nau
Vegatni
e telse
Sappiamo
che osenber
Pose
Definite
Spare Subr come
le
due softeseme
delle
Serie an e bu come :
Suar-actast ... + au Sno-botbs+ ... bu e siccome o au
bu
allora avremo che :
03 ส
>by *
Da
Sef Sappiamo
che
un an
allera ,m Converge
und D
cheuse
audendo
en
Ripotere
Tele
uguaghenzer
vella
Sisugueghauza
azimo de
, Se
Su
Enverge
:
อะทบ can > G6= วิหารห
quindi
Con
Serie
ar Converge
se
la
fa
bu
·
Teorema
del Confronto ASINTOTICo.
Luguda
a
quelle
degli tregrali
Mp
Siaso
en e
bu
due Serie a Termini van
vegativi
T. C.
an
~ ber
5 luio a
(quindi
en e Su sono saitotiche
(
Allora
l'andamento
de assume Lu è la Stesso che ará en : Su e en homo lo Stesso
Grattere .
·
Dimestrosione :
> sa
yotesi
le che en e
bu seno
seutatche
,
quiedihui
aru
s
es
mahui a
e
-Neso
Messe
#C. Ams Near to
-S
<
ma
laws/EsE
i una serie a
Termini van Negati
Posso
mettipho
Per
bu
Sure snaturare la
Ssuguaglianza
e
mette siccome anche au
è una
serie e
Termi Postini
,
dunque
en deve stoce Tra due
Termini Positivi
selge dunque
un
E T
. c. au
è Racchusa
Tra due
Termini Positivi
&
< au
<
Ibu
= s scatteno
le
lys
del Teoremar Sel
Confrante Seuplie ; quudi
se bu
Enverge
C
fa
anche en
e se au
Sverge
Ca
fa
auche
Ju
· รร exs?
·
Per
Verificeri
che
se
en
Converga
seguime
La Stessa
legica ,
essio :
luinte
no N N
lau e a
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Reda
Pergo
l'atensioni solo su
l
affiché
"au
Diverga
C +
E s1 ma
queste
è
già
vouficato
Perché
C
e sommando en 251 una
quantità
Eso
ottengo
che
C+ Ess
ma
au (e
: /
ema
seri
gramica
qu
Serge
se
951
ma
questo
lo
segiomo
Salle
Nesta
Soluzioni
, quindi
=S an
Diverge
·
Criterio
di consensazione
·
Il
criterio
di Conduzione è un cateria che mi
Dici se una serie
Averge
o
Converge
vi Bass al Risultato che o ottime Valutando una
Serie
Condensate :
t
∞
Invuciato :
Sai
en una serie
us
au
Positivai
ma
Descresente (ciãe
aosas
] ... s en
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∞
∞
m = g
en Enverge
u
..
azu
Converge
=> la Natzer Serie
Cenverge
se en
routata vi
z"erzu
Cenverge
·
oss.
All'evaurere di -Sto la Serie
2
an
ha i
seguenti
Termini :
u = 0n
= 1 moc n
" 3
as
2a
z
Pay
2a
+... +
2azu
·
Simestroo
i die
obiettivo :
Simestore che se
Converge Zazu
Eonverge
auche au
-Quando
Velo
an
non sto
faundo
alte che valutare la seri em
Perdendo Sela i
Termi cer mi Gruspensera
a
2
zu
cie :
moz m
← 3
+a.
..
qunde
Posso
Sofinire
2 azn
come un insieme sottsemma
della serie en
quindi
Paso
Confrontare
i Termini della sere en
Con i
Termini della serie
2mazn
come ,
Terrudo a meute che au i decorate ,
salgo
Sei Blesch Br
,
che alto non sono che sottesone di en che home un numero di
Termi Peri a
2 con cavausemento
Sei Termi
Pari a 24 + 1
quindi
,
Br
è u sottesoma di on Pou a :
Bn =
an
Gzu
y
a2u
, z
+...
agn
Perso
Confrattore
i Termini di
2
azu
con Bu Come :
Per
n = o 2
1 = lu
sole Termi di Br : As & As
Per
n = 1 2
2 = en2 Termi di Br :
Ogtaz
202
Some au
e Sacr
eas
as quiudi
azta
Zaz
Er nez
2. T Can ↑ Tomi di Bu
artas
actag
Zet
Siccome au è Descrescente
Ogni
Termuiz de Bm Sarà Compreso
Tra un Veloce successivo 2 una Predate : 2 + s e
Dae Il Prudente
è
maggiore
sel
successiva :
Rie a
segue Qualsiasi Criterio si leibiniz
∞
Inviato :
Sici am user serie del
Tipo
:
m = s
(1)
en .
Allora , se sono
Vers Tali
Ipotesi
:
↓
la serie
e
positive
2
Zim
an = 0
u
c
3
La
Serie an è
Decrescente
Allora
Pasiano diri che
la Serie an
è CONVERGENTE.
oss.
Il
Termure (1) +
può
espluari
come
1-11= costn
I2 Tecrema
ci dici chie se ci
capiteno
serii saa il Terunéi geverale aypore
come
(- en se tola sere è Partina
Can so)
,
luvi
auoe
en è decrescente allora la Series
on
Converge
· Dimostrazione
Hp
.
Syfiemo
che
an è una
serie
Decrescente
quelli
il Termini ore
sarai maggiore
di Tuti
gli
altri
Termini
per
ne +
a
=
Della
Seri (1) em
Paso
Pandore due sottoseme :
Una che
Perde solo i Termini Sesperi
2 una che Rende i Termini Pare
-Serie
Dispori
:
S =
m
=
d) =
a
5-m
= st
+spay = as ao-as
dar soche as say
☆
- S
=
me3/
ao-adtar-as ma
ae-as
e siccome azsas # 5z
= 5s
1a2 asl 55s
:
Ca sottosamna
5335s
Sse ao-as
az-aztap-a
ma 53eea-agtaz-az
e
sixome appas 55 (
: la sottosemme 55s
>
Noteno che
a causa delle
Ipotes
Inizidi di Decrescera
l insieme delle sottosame
disponi
èGurute Parli
,
mi genere
Susssnissa
Per il
Teorema sell' ersteura sel limie
per
la successioni manatore :
I lavo Susspari
e Siccome
Per
Energe
alla
Tele limite ha Come Risultat
ze
Volare
Finito
Ss
>
Sottosamme Peri :
· Prendieme Come
Es
. Crdine la sottaremna Peri che s.
ferma
es 6 Terini : Sj = ao-as
az-as tay-astas.
Queude Pundienio una semma Peri Notemio
5 S
de esa è composta
se la sottosemar Sipari
/So
ao-as
er-a +
ay-asta) più
un temuie Per
(ag)
che Però Tende a Tene
perché
Ca
Sere è
Decrescente
quindi
Più nes
·
Quindi
Perso Scrivere la sottosemma delle semme Paci come Sen-San-s
erzu
e
,
se Gusidera el lunte selle sottosemme Pari ,
errà :
สก
Sui Samu
Seus
ma
quando
u
.
Tens s
Seme
Sens
é Gere e Caa
·
azu
-o
Perché
en è Secrescent
=
Im
Sen
= Es qudi
auche Sm
Energie
·
Ma
la
Serie generale
èSerrate
Sa In
che
vou
è alto
che
la Sommar di
Sang
Sam
: Su=
San-sErm
quindi
siccome le sottoseme di Su
Convergono
anche
In
Converge ,
Come
Luo
In-
EsNua Nas
,
Non so
T
Ans Nawas) =
152n-s
zu-5a/
< E
Salgo
uner Saglici
Nusex Per farsi
che
le
Propriet
di Eu
e
San-y
Continuums a
Velva
Es
.
Applicativo
∞
u
= 3
>เรี
è
Presente (
uso
leitiniz
=> mue
diedo :
Su è Postiva
%
I to
auto?
em è Serrest
Si Perelé ve
IN
quidi Sempre
Por
Previto
>
o suite -
or
u3 + 3
&
3
è Decrescente
Cambia Ver. e Velo
la
Servata
Cosi de
fere
el test di Marconia
Nell'
wervello
che
mi weresse
#-> (?) - 38 - 25 แหวน 33 คน แ
-Posts
NocR
~
0
5
:
/
☆
, oo se 203 a Ese - ss
&(28. 20 aco
2
s
s を
… ⼟段⼸
8 (
28 681 &
fsf
S …
…
;
学
an
é Sec. = au
Gnverge
seugrio
∞
·
(e) suicus usa la
Convergera
accuta
Perke-snicul
es
exp sempre
e
la Cario
fuori
oss. Se Isuiu
o
ige
bn cuicurl = s
(ets)/ sui su)
ma
lets) sui lui < /et-1)
(confronte
simplica
-Pesso
valutara
grindi
sola
-lots/
ma
xu
e
0
for used is
Inve Notice:
CatThe
-I
a ·ยา the et
telle serie
thuis
t
=- s
·
Per il
Gatorio estatica
posso
dunque
dise estr
:
E
comportamente di
è
le
sono di
e
quindi
Studiero :
t
∞
u= a
studiarla Sarei usere il Giro di Concessione ma mi sera
,
besta che
guardo
a e
dia:
Cnverge
Diverge
ni
queste
coso 2 _ 2 = )
&
&
Enverge
es
Glei-1)
Enverga-s
& /e1)
wim Eenverge
oss. Convergenza
ascluta
Confront Semplice
Se
i Pasible ma ,
è possible
anche l'altra
