angoli e funzioni circolari, Dispense di Matematica Generale

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Angoli e funzioni circolariAngoli e funzioni circolari

Maurizio RinaldiMaurizio Rinaldi

2019/10/14 (aggiornato: 2019-10-21)2019/10/14 (aggiornato: 2019-10-21)

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Numeri e loro rappresentazione Radici e potenze ad esponente intero e frazionario. Percentuali. Gli insiemi. Semplici equazioni e disequazioni Geometria piana e solida: superfici e volumi. La retta reale. Il piano cartesiano. Retta nel piano. Circonferenza, ellisse, parabola. Angoli e funzioni circolari

Assegnato un punto sulla circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine di un sistema di assi cartesiani monometrici la lancetta lo raggiunge dopo una certa rotazione (antioraria) spazzando l'angolo.

La misura più semplice per una rotazione (e quindi per gli angoli) consiste nei giri antiorari e relative frazioni e multipli.

P

OA

AOP

Sottomultipli del giro

I gradi

`

10 = 1 GRADO =

1GIRO

Un'altra unità di misura per gli angoli è il radiante. Possiamo misurare la rotazione in esame determinando il cammino percorso dall'estremo mobile della stanghetta. Per percorrere un giro tale estremo percorre. Quindi

e quindi ne deduciamo la formula di conversione radianti-gradi

o anche

Il valore di è (con 30 cifre)

2 π

1 giro = 2 π [ rad ] = 360^0

Misura in radianti Misura in gradi

2 π 360

π 180

Misura in radianti = π /180 ∗ Misura in gradi

Misura in gradi = 180/ π ∗ Misura in radianti

π

π = 3, 14159265358979323846264338328

Convertire 1 rad in gradi

1 rad = = 57, 2958^0

1 ⋅ 180^0

π

Funzioni circolari

Se il punto è individuato dall'angolo possiamo definire coseno e seno dell'angolo

Dalla definizione (e dal teorema di Pitagora) segue immediatamente la relazione fondamentale

P θ θ

cos( θ ) = ascissa di P sin( θ ) = ordinata di P

cos^2 ( θ ) + sin^2 ( θ ) = 1

Valori di seno, coseno e tangente

per angoli particolari

Per alcuni valori dell'angolo il calcolo di coseno e seno è immediato. Se l'angolo vale 0 allora la lancetta è ad ore 3: ,. Se l'angolo vale allora la lancetta è ad ore 6: ,. Se l'angolo vale allora la lancetta è ad ore 9: ,.

cos(0) = 1 sin(0) = 0 π /2 cos( π /2) = 0 sin( π /2) = 1 π cos( π ) = −1 sin( π ) = 0

Proprietà fondamentali delle funzioni

circolari

Periodicità:

{

cos( θ + 2 π ) = cos( θ ) sin( θ + 2 π ) = sin( θ )

Quarto di periodo

Simmetrie:

Formule di addizione e sottrazione:

Formule di duplicazione:

cos( θ − π /2) = sin( θ ) sin( θ + π /2) = cos( θ )

{ cos(−sin(− θθ ) =)^ = cos(− sin( θθ ))

cos( α + β ) = cos( α ) cos( β ) − sin( α ) sin( β ) cos( α − β ) = cos( α ) cos( β ) + sin( α ) sin( β ) sin( α + β ) = sin( α ) cos( β ) + cos( α ) sin( β ) sin( α − β ) = sin( α ) cos( β ) − cos( α ) sin( β )

cos(2 α ) = (cos( α ))^2 − (sin( α ))^2 sin(2 α ) = 2 sin( α ) cos( α )

a^2 = b^2 + c^2 Teorema di Pitagora

b = a sin( β ), sin( β ) = b / a

c = a cos( β ), cos( β ) = c / a

tan( β ) = sin( β )/ cos( β ) = b / c

b = c tan( β )

pc ∗ a = c^2 (primo teorema di Euclide)

pc ∗ pb = h^2 (secondo teorema di Euclide)

(2017) Se in un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono uguali rispettivamente a 6 cm e a 12 cm, allora l'area del triangolo è uguale a:

54√2cm^2 18cm^2 18√2cm^2 18√3cm^2 36√3cm^2

h^2 = 6 ∗ 12

A = (12 + 6) h /2 = 18√72/2 = 18√2 ∗ 36/2 = 2 = 18 ∗ 3√2 = 54√

Risoluzione dei Triangoli

qualunque

a^2 = b^2 + c^2 − 2 bc cos( α ) (Teorema di Carnot)

α + β + γ = π [ rad ] = 180^0 (Teorema di Euclide)

sin( α )/ a = sin( β )/ b = (sin( γ )/ c )(Teorema dei Seni)

Formule di prostaferesi

sen( α ) + sen( β ) = 2sen( ) cos( )

α + β 2

α − β 2

sen( α ) − sen( β ) = 2sen( ) cos( )

α − β 2

α + β 2

cos( α ) + cos( β ) = 2 cos( ) cos( )

α + β 2

α − β 2

cos( α ) − cos( β ) = −2sen( )sen( )

α + β 2

α − β 2