Appunti Algebra I 2024/25, Appunti di Algebra I

Scarica Appunti Algebra I 2024/25 e più Appunti in PDF di Algebra I solo su Docsity!

Corso di Laurea Triennale in Matematica

ALGEBRA I

dispense del corso

Carlo Casolo

La parola “algebra” proviene da un libro scritto nel 830 dall’astronomo Mohammed ibn Musa al-Kouwârizmi e intitolato Al-jabr w’al muqâbala. La parola al-jabr signi- fica “ristabilire” e in questo contesto significa ristabilire l’equilibrio di un’equazione scrivendo in un suo membro un termine che era stato eliminato nell’altro membro [... ]. Al-jabr venne anche a significare “conciaossa” e quando i Mori trasportarono il termine in Spagna esso divenne algebrista, continuando a conservare quest’ulti- mo significato. In quel periodo era molto comune in Spagna vedere un’insegna con la scritta “Algebrista y Sangrador” (conciaossa e salassatore) sopra l’ingresso delle botteghe dei barbieri.

[M. Kline, Storia del pensiero matematico]

I matematici si devono applicare ai problemi più astrusi e remoti dall’esistenza ma- teriale, ed a questo scopo la loro mente deve ignorare i sensi e dev’essere addestrata ad avere a malapena un minimo rapporto con il corpo; perciò i matematici sono tutti tardi, distratti, letargici e mai a loro agio negli affari di tutti i giorni. Di conseguenza, ogni loro organo e di fatto il loro intero corpo si sforma e diviene torpido e debo- le; quasi condannato ad una perpetua oscurità. Infatti mentre la mente è intenta a questi studi, la luce degli istinti animali viene compressa nel suo centro e non può espandersi a illuminare nient’altro che non sia il cervello.

[B. Ramazzini, De Morbis Artificum Diatriba^1 ]

(^1) Bernardino Ramazzini (1633–1714) non era un bischero qualsiasi, ma anzi uno studioso di no- tevole libertà intellettuale, considerato, oggi, il fondatore della medicina del lavoro. Né è possibile liquidarlo come un “perito di parte” dalle dubbie intenzioni, dato che fu tra l’altro ottimo amico di Leibniz, che ospitò a casa sua a Modena nel 1690, e grazie alle referenze del quale divenne, nel 1706, il primo italiano ammesso all’Accademia delle Scienze di Berlino. In Firenze, Via B. Ramazzini è la prima traversa di Via G. D’Annunzio (all’altezza del cinema).

4 INDICE

• I Parte prima: INSIEMI E NUMERI
• 1 Insiemi
  • 1.1 Insiemi e sottoinsiemi.
  • 1.2 Operazioni tra insiemi.
  • 1.3 Prodotto cartesiano
  • 1.4 Applicazioni
  • 1.5 Composizione di applicazioni.
  • 1.6 Cardinalità di insiemi.
  • 1.7 Esercizi.
  • 1.8 Complementi: Cenni di calcolo proposizionale.
• 2 Numeri
  • 2.1 Numeri interi e Principio di Induzione.
  • 2.2 Combinatoria.
  • 2.3 Rappresentazioni b-adiche.
  • 2.4 Divisibilità e MCD.
  • 2.5 Numeri primi
  • 2.6 I Numeri Complessi.
  • 2.7 Esercizi.
• 3 Operazioni e relazioni
  • 3.1 Operazioni binarie.
  • 3.2 Equivalenze.
  • 3.3 Relazioni d’ordine.
  • 3.4 Esercizi.
  • 3.5 Complementi: Reticoli e algebre di Boole
• 4 Primi passi nella teoria dei numeri
  • 4.1 Equazioni diofantee.
  • 4.2 Congruenze.
  • 4.3 Funzioni moltiplicative
  • 4.4 Esercizi.
  • 4.5 Complementi: Il sistema crittografico RSA.
• ANELLI E POLINOMI II Seconda parte:
• 5 Anelli
  • 5.1 Prime proprietà.
  • 5.2 Tipi di anello.
  • 5.3 Ideali.
  • 5.4 Omomorfismi e isomorfismi.
  • 5.5 Esercizi.
• 6 Anelli notevoli
  • 6.1 Anelli di classi di congruenza. Caratteristica di un anello
  • 6.2 Anelli di matrici.
  • 6.3 Campo delle frazioni.
  • 6.4 Quaternioni.
  • 6.5 Esercizi.
• 7 Fattorizzazioni
  • 7.1 Divisibilità e fattorizzazioni
  • 7.2 Ideali primi e ideali massimali
  • 7.3 Domini a Ideali Principali
  • 7.4 Interi di Gauss.
  • 7.5 Esercizi.
• 8 Polinomi
  • 8.1 Definizioni.
  • 8.2 Divisione tra polinomi.
  • 8.3 Radici e fattorizzazioni.
  • 8.4 Fattorizzazioni in Z[x] e Q[x]
  • 8.5 Esercizi.
• 9 Quozienti
  • 9.1 Anelli quoziente.
  • 9.2 Quozienti e omomorfismi.
  • 9.3 Quozienti di un PID e di F [x].
  • 9.4 Estensioni semplici
  • 9.5 Esercizi.

Parte prima: INSIEMI E NUMERI

Insiemi

1.1. Insiemi e sottoinsiemi.

In queste note, il concetto di insieme verrà assunto in una forma ’ingenua’, e la teoria relativa sarà trattata in modo pragmatico, prescindendo da una formulazione assio- matica della stessa. Per quanto attiene ai fini di questo corso, si tratta principalmente di fissare un linguaggio, che è poi quello di base di buona parte della matematica. I fondamenti della teoria degli insiemi sono in genere oggetto di studio nei corsi su- periori di logica. Dunque, assumeremo come primitivi i concetti di oggetto (o ente), insieme, elemento, appartenenza.

In genere si utilizzano lettere maiuscole, come A, X, S, ... per indicare gli insiemi, e lettere minuscole, come a, a′, x, y, α,... per gli elementi di un insieme.

Alcuni insiemi particolarmente importanti hanno un simbolo in esclusiva:

• N indicherà sempre e solo l’insieme di tutti i numeri naturali, cioè dei numeri 0 , 1 , 2 , 3 , 4....
• Z è l’insieme dei numeri interi; cioè l’insieme dei numeri 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , 3 , − 3 ,...
• Q è l’insieme dei numeri razionali; cioè dei numeri mn , dove m, n ∈ Z e n 6 = 0;
• R è l’insieme dei numeri reali;
• C è l’insieme dei numeri complessi.

La definizione rigorosa di questi insiemi a partire dall’insieme N è argomento che - se mai - tratteremo più avanti; per il momento dovrebbe essere sufficiente la nozione che si ha di essi dalle scuole superiori (e chi ancora non conosce i numeri complessi, non si allarmi: li definiremo rigorosamente nella sezione 2.6).

Il simbolo ∈ indica l’appartenenza di un elemento ad un certo insieme; a ∈ X (che si legge "a appartiene a X”) significa cioè che a è un elemento dell’insieme X. Con il simbolo 6 ∈ si intende la non appartenenza: a 6 ∈ X significa che a non è un elemento dell’insieme X. Ad esempio, 2 ∈ N mentre π 6 ∈ N (ricordo che π è il numero reale che esprime il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo diametro). Uno specifico insieme verrà di solito descritto mediante informazioni delimitate da parentesi graffe: {....}. L’informazione può essere costituita dall’indicazione diretta degli elementi dell’insieme, oppure dalle proprietà che ne individuano univocamente gli elementi. Ad esempio, l’insieme i cui elementi sono i numeri naturali 2 , 3 , 4 può essere descritto nelle seguenti maniere (e, naturalmente, in molte altre):

{ 2 , 3 , 4 }, {x | x ∈ N e 2 ≤ x ≤ 4 }.

8 CAPITOLO 1. INSIEMI

Nella seconda modalità (che spesso e volentieri si accorcia in {x ∈ N | 2 ≤ x ≤ 4 }), la barra verticale | segnala che ciò che segue è sono le proprietà (predicati) che servono ad individuare gli elementi dell’insieme. A volte, invece della barra, si usano i ’due punti’. Ad esempio { 2 x : x ∈ N} è l’insieme dei numeri interi pari. È opportuno osservare che né l’ordine con cui sono descritti gli elementi di un insieme, né eventuali ripetizioni, modificano l’insieme. Ad esempio, le scritture:

{ 1 , 2 }, { 1 , 2 , 1 }, { 2 , 1 }

descrivono tutte il medesimo insieme. Inoltre, è bene sapere che gli elementi di un insieme possono anche essere di ’natura’ diversa; ad esempio, gli elementi dell’insieme X = { 1 , { 1 }}, sono il numero intero 1 e l’insieme { 1 } (X contiene quindi due elementi distinti).

È conveniente contemplare anche la possibilità che un insieme sia privo di elementi. In matematica è infatti frequente la possibilità di considerare proprietà che non sono soddisfatte da alcun oggetto (in un certo insieme universo). Tali proprietà definiscono quindi insiemi privi di elementi. Ad esempio, l’insieme dei numeri interi pari che sono potenza di tre non contiene alcun elemento. L’insieme privo di elementi si denota con ∅ e si chiama insieme vuoto. Ad esempio, è vuoto l’insieme delle soluzioni reali del sistema di equazioni

{ 2 x + 3y = 3 xy = 1

Questo si può scrivere così: {(x, y) | x, y ∈ R, 2 x + 3y = 3 e xy = 1} = ∅.

Assumeremo, almeno per il momento, come primitivo anche il concetto di numero di elementi di un insieme. Sia X un insieme; diremo che X è un insieme finito se X contiene un numero finito di elementi; in tal caso, se il numero di elementi di X è n, scriviamo |X| = n. Ad esempio, |{ 1 , 2 , 6 , 8 }| = 4 , e |∅| = 0. Se invece X contiene un numero infinito di elementi, diremo che X è un insieme infinito e scriveremo |X| = ∞. Ad esempio |N| = ∞. Il simbolo |X| (che quindi, per quanto riguarda un approccio introduttivo, sarà ∞ oppure un numero naturale), lo chiameremo ordine (o cardinalità) dell’insieme X.

Paradosso di Russell. Anche se si tratta di una insidia che non si presenterà nell’am- bito della nostra utilizzazione del linguaggio della teoria degli insiemi, è opportuno avvertire che non tutto ciò che ci si presenta intuitivamente come una "proprietà" può essere utilizzato per definire un insieme. L’esempio più famoso ed importante per la nascita di quella che sarà poi la teoria assiomatica degli insiemi è il cosiddetto Paradosso di Russell. Per illustrare il paradosso, diciamo che un insieme è normale se non contiene se stes- so come elemento (si può pensare ad esempio all’insieme di tutti i concetti astratti: questo è, direi, un concetto astratto esso stesso, quindi contiene se stesso come ele- mento, non è dunque un insieme normale). Intuitivamente, l’essere normale ci appare senz’altro come una proprietà ’sensata’; ma cosa accade quando la utilizziamo per definire un insieme? Definiamo cioè l’insieme N i cui elementi sono tutti gli insiemi normali. Quindi

N = {X | X è un insieme e X 6 ∈ X}.

10 CAPITOLO 1. INSIEMI

Un sottoinsieme S dell’insieme A si dice proprio se non coincide con A, ovvero S ⊆ A e S 6 = A. Per indicare che S è un sottoinsieme proprio di S scriveremo S ⊂ A.

Insieme delle parti. Dato un insieme A, allora la collezione di tutti i sottoinsiemi di A costituisce un insieme, detto insieme delle parti (o insieme potenza) dell’insieme A, che si denota con P(A). Quindi

P(A) = {X | X ⊆ A }.

Esempi. Se X = { 1 , 2 }, allora P(X) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 1 , 2 }};

P(∅) = {∅} 6 = ∅; P(P(∅)) = {∅, {∅}}.

Osserviamo che, per ogni insieme X si ha ∅ ∈ P(X) e X ∈ P(X).

Più avanti in questi appunti dimostreremo il seguente importante fatto: se A è un insieme finito e |A| = n, allora |P(A)| = 2n.

1.2. Operazioni tra insiemi.

Siano A e B insiemi.

Unione. Si chiama unione di A e B e si denota con A ∪ B, l’insieme i cui elementi sono gli oggetti che appartengono ad almeno uno tra A e B. Quindi

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}.

Intersezione. Si chiama intersezione di A e B e si denota con A ∩ B, l’insieme i cui elementi sono gli oggetti che appartengono sia ad A che a B. Quindi

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.

Esempi. 1) Siano A = {− 1 , 0 , 1 } e B = { 2 x | x ∈ N, 0 ≤ x ≤ 3 }, allora

A ∪ B = {− 1 , 0 , 1 , 2 , 4 , 6 } e A ∩ B = { 0 }.

2. Siano P = {x | x ∈ N, 2 divide x} e D = {x | x ∈ N, 2 non divide x}, rispet- tivamente, l’insieme dei numeri naturali pari e quello dei numeri naturali dispari, allora P ∪ D = N e P ∩ D = ∅.

La verifica delle seguenti osservazioni, che è comunque utile formulare esplicitamente, è immediata: Siano A, B insiemi; allora

• A = A ∪ ∅ e ∅ ∩ A = ∅;
• A ⊆ A ∪ B e A ∩ B ⊆ A;
• A = A ∪ B se e solo se B ⊆ A;

1.2. OPERAZIONI TRA INSIEMI. 11

• A = A ∩ B se e solo se A ⊆ B.

Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè se

A ∩ B = ∅.

Le operazioni di unione e intersezione soddisfano ad alcune importanti proprietà che sono di facile verifica.

Proposizione 1.1. Siano A, B e C insiemi. Allora

1. A ∪ A = A;

2. A ∪ B = B ∪ A;

3. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

Dimostrazione. Le proprietà (1) e (2) si verificano immediatamente. Vediamo la dimostrazione della proprietà (3); proveremo l’uguaglianza degli insiemi A ∪ (B ∪ C) e (A ∪ B) ∪ C mediante la verifica della doppia inclusione. Sia x un elemento di A ∪ (B ∪ C); allora x appartiene ad A o x appartiene a B ∪ C. Ora, se x ∈ A , allora x ∈ A ∪ B e quindi x ∈ (A ∪ B) ∪ C; se x ∈ B ∪ C, allora x ∈ B e dunque x ∈ A ∪ B, oppure x ∈ C; comunque si ha x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Abbiamo quindi provato che ogni elemento di A ∪ (B ∪ C) appartiene a (A ∪ B) ∪ C; cioè che

A ∪ (B ∪ C) ⊆ (A ∪ B) ∪ C.

Allo stesso modo si dimostra l’inclusione inversa: (A ∪ B) ∪ C ⊆ A ∪ (B ∪ C); e quindi vale l’uguaglianza.

La proprietà 2) è la proprietà commutativa dell’unione; mentre la 3) è la proprietà associativa dell’unione.

Proposizione 1.2. Siano A, B e C insiemi. Allora

1. A ∩ A = A;

2. A ∩ B = B ∩ A;

3. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

Dimostrazione. Per esercizio.

Quindi, anche l’operazione di intersezione di insiemi gode delle proprietà commutativa (2), e associativa (3).

La prossima proposizione descrive le importanti proprietà distributive tra l’unione e l’intersezione di insiemi

Proposizione 1.3. Siano A, B e C insiemi. Allora

1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

1.2. OPERAZIONI TRA INSIEMI. 13

In particolare perciò: (^) { x ∈ A x 6 ∈ B e

x ∈ A x 6 ∈ C

da cui segue, rispettivamente, x ∈ A \ B, e x ∈ A \ C. Dunque: x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C). Abbiamo così provato l’inclusione:

A \ (B ∪ C) ⊆ (A \ B) ∩ (A \ C).

Viceversa, sia x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C); allora x ∈ A \ B e x ∈ A \ C. Cioé:

x ∈ A , x 6 ∈ B e x 6 ∈ C.

Ora, da

x 6 ∈ B x 6 ∈ C , segue x 6 ∈ B ∪ C, e pertanto x ∈ A \ (B ∪ C); dimostrando così

l’inclusione inversa

(A \ B) ∩ (A \ C) ⊆ A \ (B ∪ C)

e dunque l’uguaglianza (A \ B) ∩ (A \ C) = A \ (B ∪ C).

La dimostrazione del punto 2) è lasciata per esercizio.

Differenza simmetrica. Siano A e B due insiemi. Si chiama differenza simmetrica di A e B, e si denota con A∆B, l’insieme i cui elementi che appartengono ad uno e un solo degli insiemi A e B. Quindi

A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Ad esempio, se A = { 1 , 2 , 3 } e B = { 3 , 4 , 5 }, allora A∆B = { 1 , 2 , 4 , 5 }.

La dimostrazione delle principali proprietà della differenza simmetrica è lasciata per esercizio. Si osservino in particolare le proprietà 3), 4), e 5) che, rispettivamen- te, assicurano che la differenza simmetrica è commutativa, che è associativa, e che l’intersezione è distributiva rispetto alla differenza simmetrica.

Proposizione 1.5. Siano A, B e C insiemi. Allora

1. A∆A = ∅ e A∆∅ = A;

2. A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B);

3. A∆B = B∆A;

4. (A∆B)∆C = A∆(B∆C);

5. A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C).

Esercizio 1.1. Siano A, B, C insiemi. Si dimostri che:

(a) A 4 (B ∪ C) ⊆ (A 4 B) ∪ C.

(b) A 4 (B ∪ C) = (A 4 B) ∪ C se e solo se A ∩ C = ∅.

14 CAPITOLO 1. INSIEMI

Soluzione. (a) (B ∪ C) \ A ⊆ (B \ A) ∪ (C \ A) ⊆ (B \ A) ∪ C ⊆ (A 4 B) ∪ C. Inoltre, poiché B ⊆ B ∪ C si ha A \ (B ∪ C) ⊆ A \ B ⊆ (A 4 B). Dunque: A 4 (B ∪ C) = (A \ (B ∪ C)) ∪ (B ∪ C) \ A) ⊆ (A 4 B) ∪ C. (b) Sia A∩C = ∅; per il punto (a) è sufficiente provare l’inclusione (A 4 B)∪C ⊆ A 4 (B∪C). Sia quindi x ∈ (A 4 B) ∪ C = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ C; se x ∈ A, allora x 6 ∈ B e (per ipotesi) x 6 ∈ C , quindi x ∈ A \ (B ∪ C) ⊆ A 4 (B ∪ C); se invece x ∈ (B \ A) ∪ C allora x 6 ∈ A (sempre perchè A ∩ C = ∅), e quindi x ∈ (B ∪ C) \ A ⊆ A 4 (B ∪ C). Dunque (A 4 B) ∪ C ⊆ A 4 (B ∪ C). Viceversa, sia A ∩ C 6 = ∅, e sia x ∈ A ∩ C. Allora, poichè x ∈ C, si ha x ∈ (A 4 B) ∪ C; ma x 6 ∈ A \ (B ∪ C) (perchè x ∈ C ) e x 6 ∈ (B ∪ C) \ A (perchè x ∈ A); quindi x 6 ∈ (A \ (B ∪ C)) ∪ ((B ∪ C) \ A) = A 4 (B ∪ C). Dunque (A 4 B) ∪ C 6 ⊆ A 4 (B ∪ C).

Unioni e intersezioni generalizzate. Prima di entrare nel merito, diciamo qual- cosa a proposito dell’uso degli indici nella notazione matematica. Il lettore sarà già familiare con il loro impiego nelle definizioni di successioni: i termini di una succes- sione si denotano in generale con an dove n (l’indice) è un numero intero positivo (che per lo più parte da 0 o da 1 ). Lo stessa convenzione, ovvero quello di assegnare ad ogni ente appartenente ad una famiglia - finita o infinita - un’etichetta che consenta di richiamarlo con una notazione più compatta, viene utilizzato anche in molti altri contesti. Ad esempio, se n è un certo intero positivo, e A è un insieme con n elementi (che è possibile non siano noti con precisione), si possono designare gli elementi di A come A = {a 1 , a 2 , a 3 ,... , an}.

Più in generale, data una famiglia - anche infinita - di oggetti (i quali possono a loro volta essere insiemi), può essere spesso opportuno indicizzarli. In generale gli indici sono presi in un altro insieme noto, come N o Z, ma a volte si può essere generici fino in fondo e assegnare gli indici in un non specificato insieme (che allora viene in genere chiamato I - l’insieme degli indici). Spesso poi, l’indice ha strettamente a che fare con la definizione del particolare ente che esso etichetta; questo normalmente accade nelle successioni. Come altro esempio, l’insieme dei numeri naturali maggiori di un certo numero n può essere indicizzato proprio da tale n

An = {a ∈ N | a ≥ n},

che è una notazione conveniente se abbiamo intenzione di considerare tutta la famiglia di insiemi di questo tipo; si dice allora

la famiglia degli insiemi An al variare di n ∈ N.

Se A, B e C sono insiemi; allora la proprietà associativa della intersezione consente di poter scrivere senza ambiguità A ∩ B ∩ C, intendendo, indifferentemente (A ∩ B) ∩ C ovvero A ∩ (B ∩ C). Chiaramente si ha l’uguaglianza:

A ∩ B ∩ C = { x | x ∈ A, x ∈ B, x ∈ C }.

Similmente, per quanto concerne l’unione; avremo:

A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = { x | x ∈ A o x ∈ B o x ∈ C }.

Questo si estende ad un numero qualunque di insiemi; se A 1 , A 2 ,... , An sono insiemi; allora

A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ An = { x | x ∈ Ai per qualche i = 1, 2 ,... , n }.

16 CAPITOLO 1. INSIEMI

e quindi l’uguaglianza.

Per provare l’affermazione riguardo all’intersezione, dopo aver osservato che ovvia- mente essa è un sottoinsieme di R, notiamo che, se y è un numero reale, certamente esiste un numero razionale positivo a tale che y^2 < a ; ma allora y 6 ∈ Xa e quindi y 6 ∈

a∈I Xa. Dunque^

a∈I Xa^ =^ ∅.

1.3. Prodotto cartesiano

Coppie ordinate. Siano A e B insiemi; siano a ∈ A e b ∈ B; il simbolo (a, b) è la coppia ordinata la cui prima coordinata (o componente) è l’elemento a e la seconda è l’elemento b. Per definizione, due coppie ordinate (a, b) e (a′, b′) (con a, a′^ ∈ A, b, b′^ ∈ B) sono uguali se e solo se a = a′^ e b = b′. Questa, come qualcuno avrà sospettato, non è una definizione rigorosa di coppia ordinata. Rimediamo dicendo che, con le notazioni di sopra, se a ∈ A e b ∈ B, allora (a, b) è, per definizione, {{a}, {a, b}}. Il lettore cerchi di capire perché proprio questa definizione (e non altre ”più semplici”) è quella che esprime correttamente quanto abbiamo in mente quando pensiamo ad una ”coppia ordinata”, e solo tanto.

La collezione di tutte le coppie ordinate la cui prima componente appartiene all’insie- me A e la seconda componente appartiene all’insieme B è un insieme, che si denota con A × B, e si chiama prodotto cartesiano di A per B. Quindi:

A × B = { (a, b) | a ∈ A , b ∈ B }.

Ad esempio, se A = { 1 , 2 } e B = { 0 , 1 , π}; allora

A × B = {(1, 0), (1, 1), (1, π), (2, 0), (2, 1), (2, π)}.

R × R , che si denota anche con R^2 è l’insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali.

Osservazioni. Siano A , B insiemi.

• A × ∅ = ∅ = ∅ × A;
• se A 6 = ∅ 6 = B , allora A × B = B × A se e solo se A = B;
• se A′^ ⊆ A e B′^ ⊆ B , allora A′^ × B′^ ⊆ A × B;

Facciamo anche una semplice ma basilare osservazione riguardo al numero di elementi di un prodotto cartesiano, nel caso di insiemi finiti. Supponiamo quindi che A e B siano insiemi finiti, con |A| = n e |B| = m (ricordo che ciò significa che A contiene n elementi e B ne contiene m). Possiamo elencare gli elementi di A e quelli di B, ovvero scrivere

A = {a 1 , a 2 ,... , an} e B = {b 1 , b 2 ,... , bn}.

Allora il prodotto cartesiano A × B avrà come elementi tutte le coppie del tipo (ai, bj ), con l’indice i che va da 1 a n, e l’indice j che va da 1 a m. Possiamo quindi mentalmente ”costruire” gli elementi del prodotto A×B figurandoci di fissare di volta in volta la prima componente ai della coppia (per la quale quindi abbiamo n scelte diverse), e quindi sistemare come seconda componente tutte le possibili scelte per bj (che sono n). È chiaro dunque che in totale otterremo n × m = nm coppie distinte,

1.4. APPLICAZIONI 17

le quali costituiscono la totalità degli elementi di A × B Pertanto |A × B| = nm, ed abbiamo dunque provato che

se A e B sono insiemi finiti, allora |A × B| = |A||B|.

La definizione di prodotto cartesiano può essere estesa da due ad un numero finito arbitrario n di insiemi. Siano A 1 , A 2 ,... , An insiemi. L’insieme

A 1 × A 2 × · · · × An = { (a 1 , a 2 ,... , an) | ai ∈ Ai per ogni i = 1, 2 ,... , n }

è l’insieme delle n-uple ordinate la cui i-esima componente (per ogni i = 1,... , n) appartiene all’insieme Ai. Se tutti gli insiemi Ai coincidono con l’insieme A, allora si parla di insieme delle n-uple ordinate di A, e si denota tale insieme con An. Ad esempio, Rn^ è l’insieme di tutte le n-uple ordinate di numeri reali. Chiaramente due n-uple sono uguali se e solo se tutte le componenti sono corrispondentemente uguali; inoltre valgono osservazioni simili a quelle fatte sopra per le coppie, la cui esplicita formulazione lasciamo per esercizio^1.

1.4. Applicazioni

Molti dei concetti che abbiamo trattato fino a qui sono di fatto intimamente legati agli assiomi della teoria degli insiemi rigorosa; per esempio, la definizione di uguaglianza tra insiemi, l’esistenza di un insieme vuoto, l’unione di insiemi, l’insieme delle parti, la definizione di coppia ordinata. In questa sezione ne vediamo un altro, fondamentale, che è il concetto di applicazione tra insiemi. Anche in questo caso dovrebbe trattarsi di qualcosa di familiare; per cui - penso - si apprezzerà la nitidezza che un approccio rigoroso conferisce anche alle idee per le quali non ritenevamo ci fosse nulla da chiarire.

Anche in questo caso, diamo prima una definizione non completamente rigorosa. Siano A e B insiemi. Una applicazione (o funzione) è costituita da una coppia ordinata A, B di insiemi e da una una legge che ad ogni elemento di A associa, o fa corrispondere, uno ed un solo elemento dell’insieme B. Si scrive

f : A −→ B.

e, se all’elemento a ∈ A, f fa corrispondere l’elemento b ∈ B, si scrive b = f (a); l’elemento b si chiama immagine di a tramite f.

Questa notazione si riferisce ad una generica applicazione di A in B. Volendo descrive- re invece una specifica applicazione occorre anche enunciare la legge che agli elementi di A associa elementi di B. È conveniente illustrare questa modalità mediante un esempio. Supponiamo di volere introdurre l’applicazione (che vogliamo chiamare f ) dall’insieme dei numeri interi nell’insieme dei numeri naturali che ad ogni numero intero associa il suo quadrato. Si usa allora uno dei due schemi seguenti:

f : Z −→ N z 7 −→ z^2 (^1) Notiamo che, da un punto di vista strettamente formale, se A, B e C sono insiemi, allora (A × B) × C 6 = A × (B × C).

1.4. APPLICAZIONI 19

Si tenga sempre ben presente che, per ogni sottoinsime non vuoto S di A, f (S) è un sottoinsieme non vuoto di B; così, se a ∈ A e S = {a}, allora f (S) = {f (a)}.

Esempio. Sia f : Z −→ N l’applicazione definita da, per ogni x ∈ Z : f (x) = x^2 + 1; e sia S = { 0 , 1 , − 1 }. Allora

f (S) = {f (0), f (1), f (−1)} = { 1 , 2 , 2 } = { 1 , 2 } , Im(f ) = { x^2 + 1 | x ∈ Z } = { 1 , 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , 37 , 50 ,... }.

Definizione. Sia f : A −→ B un’applicazione, e sia Y ⊆ B. Si chiama immagine inversa di Y (o controimmagine, o retroimmagine di Y ) tramite f , e si denota con f −^1 (Y ), il sottoinsieme di A costituito dagli elementi di A la cui immagine tramite f appartiene a Y ; quindi

f −^1 (Y ) = { a | a ∈ A , f (a) ∈ Y }.

Chiaramente: f −^1 (B) = A; o meglio, se Im(f ) ⊆ Y ⊆ B, allora f −^1 (Y ) = A.

Esempio. Sia f : Z −→ N l’applicazione definita da, per ogni x ∈ Z : f (x) = x^2 ;

• sia Y = { 4 }; allora f −^1 (Y ) = { 2 , − 2 } ;
• sia Y = { 3 , 5 , 8 }; allora f −^1 (Y ) = ∅ ;
• sia Y = { 0 , 1 , 2 , 3 }; allora f −^1 (Y ) = { 0 , 1 , − 1 } ;
• sia Y l’insieme dei numeri primi; allora f −^1 (Y ) = ∅.

Si tenga ben presente che, per ogni sottoinsieme Y di B, f −^1 (Y ) è sempre un sot- toinsieme di A che, come si vede anche da alcuni degli esempi forniti, può essere vuoto. Osserviamo anche, lasciandone la facile verifica come esercizio, che data una applicazione f : A −→ B e S ⊆ A, Y ⊆ B, allora:

S ⊆ f −^1 (f (S)) e f (f −^1 (Y )) ⊆ Y.

Definizione. Un’applicazione f : A −→ B si dice suriettiva se

per ogni b ∈ B esiste un a ∈ A tale che f (a) = b.

Quindi, f : A −→ B è suriettiva se e solo se Im(f ) = B (ovvero se e solo se f −^1 ({b}) 6 = ∅ per ogni b ∈ B).

Esempi. 1) L’applicazione dell’esempio di sopra non è suriettiva: infatti 2 6 ∈ Im(f ) (natu- ralmente, in questo caso, molti altri elementi del codominio N non sono immagine di alcun elemento del dominio tramite f ( 3 , 5 , 6 , etc.); per provare che f non è suriettiva basta evidenziarne uno).

2. L’applicazione f : Z −→ N definita da, per ogni x ∈ Z : f (x) = |x|, è suriettiva.

3. Sia X un insieme non vuoto e sia Y un sottoinsieme fissato di X. Definiamo un’ap- plicazione δ : P(X) −→ P(X), ponendo, per ogni A ∈ P(X) : δ(A) = A∆Y. Allora δ è suriettiva (lo si dimostri per esercizio).

Osserviamo che, data un’applicazione f : A −→ B, è sempre possibile definire in modo naturale, a partire da f , un’applicazione suriettiva f : A −→ f (A), ponendo, per ogni x ∈ A, f (x) = f (x).

20 CAPITOLO 1. INSIEMI

Definizione. Un’applicazione f : A −→ B si dice iniettiva se soddisfa:

per ogni x, y ∈ A : se x 6 = y allora f (x) 6 = f (y).

Equivalentemente (ed è questo ciò che usualmente si adotta in pratica), un’applica- zione f : A −→ B è iniettiva se e solo se

per ogni x, y ∈ A : se f (x) = f (y) allora x = y.

Esempi. 1) L’applicazione f : Z −→ N, definita da, per ogni x ∈ Z, f (x) = x^2 , non è iniettiva: infatti, ad esempio, f (−1) = 1 = f (1).

2. L’applicazione g : N −→ Z, definita da, per ogni x ∈ Z : f (x) = x^2 , è iniettiva: infatti, se x, y sono numeri naturali tali che x^2 = y^2 , allora x = y.

3. L’applicazione δ : P(X) −→ P(X) definita di sopra è iniettiva.

Definizione. Un’applicazione f : A −→ B si dice biettiva se è iniettiva e suriettiva.

Ad esempio, è biettiva l’applicazione g : Z −→ Z, definita da, per ogni x ∈ Z, f (x) = x+2; ed è biettiva l’applicazione δ : P(X) −→ P(X) considerata in precedenti esempi.

Esercizio 1.2. Siano X, Y insiemi (non vuoti), e f : X −→ Y un’applicazione. Si dimostri che f è iniettiva se e solo se per ogni T ⊆ X, f (X \ T ) ⊆ Y \ f (T ).

Soluzione. Supponiamo che f soddisfi le ipotesi dell’esercizio, e siano a, b ∈ X con a 6 = b. Posto T = {b} si ha allora a ∈ X \ T e quindi, per ipotesi, f (a) ∈ f (X \ T ) ⊆ Y \ f (T ). Dunque f (a) 6 ∈ f (T ) = f ({b}) = {f (b)} e quindi f (a) 6 = f (b) provando che f è iniettiva. Viceversa, sia f iniettiva. Sia T ⊆ X; e, ragionando per assurdo, supponiamo f (X \ T ) 6 ⊆ Y \ f (T ). Allora. f (X \ T ) ∩ f (T ) 6 = ∅; quindi esiste b ∈ f (X \ T ) ∩ f (T ). Ma allora esistono x ∈ X \ T , e t ∈ T , tali che f (x) = b = f (t), il che contraddice l’iniettività di f , dato che, certamente, x 6 = t.

Il concetto di applicazione biettiva è fondamentale; le applicazioni biettive sono quelle che, nel senso che specificheremo più avanti, si possono ‘invertire’.

1.5. Composizione di applicazioni.

La composizione di applicazioni è un’altra di quelle tecniche di base, che si usano regolarmente e sono già familiari dalla pratica nelle scuole superiori. Costituisce poi uno dei riferimenti esemplari per l’idea di operazione.

Definizione. Siano f : A −→ B e g : B −→ C, due applicazioni (si osservi che si assume che il dominio di g coincida col codominio di f ). L’applicazione composta g ◦ f (si legge "g composta a f " ) è l’applicazione

g ◦ f : A −→ C

definita da, per ogni a ∈ A:

(g ◦ f )(a) = g(f (a)).

Siano, ad esempio,