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Precorso di Matematica

- 8 settembre Alberto Peretti

• 1 Tipi di numeri Indice
• 2 Espressioni algebriche: uso delle lettere
  • 2.1 Uso delle parentesi
  • 2.2 Esempi
• 3 Trasformazione di un’espressione algebrica
  • 3.1 denominatore comune
  • 3.2 raccogliere a fattore comune
  • 3.3 moltiplicazione con frazioni
  • 3.4 portare a numeratore/denominatore
  • 3.5 frazioni di frazioni
  • 3.6 moltiplicare/dividere numeratore e denominatore
• 4 Potenze
  • 4.1 Proprietà delle potenze
• 5 Polinomi
  • 5.1 Prodotti e potenze notevoli
  • 5.2 Scomposizione di polinomi
• 6 Risoluzione di qualche tipologia di equazioni
  • 6.1 Equazioni (polinomiali) di - grado →
  • 6.2 Equazioni (polinomiali) di - grado →
    • 6.2.1 Un breve richiamo sulla radice di un numero reale
• 7 Risoluzione di qualche tipologia di disequazioni
  • 7.1 Disequazioni di - grado →
  • 7.2 Disequazioni di - grado →
• 8 Un pizzico di. logaritmi
• 9 Rappresentazione nel piano cartesiano
  • 9.1 Equazioni e piano cartesiano
  • 9.2 Rette
  • 9.3 Rette passanti per un punto assegnato
  • 9.4 Rette passanti per due punti assegnati
  • 9.5 Rette parallele e rette perpendicolari
  • 9.6 Disequazioni nel piano
• 10 Un po’ di terminologia

2 Espressioni algebriche: uso delle lettere

Scritture (espressioni) che coinvolgono “quantità” e le 4 operazioni fondamentali

esempio:

a · b + c

d → e

Le varie parti di un’espressione vengono anche dette i “termini” dell’espressione stessa Attenzione alla scrittura!

a · b + c

d

(“a per b + c fratto d”) e a · b +

c

d

(“a per b + c fratto d”)

Il simbolo di uguaglianza (=)

a · b + c

d

ab + c

d

= (ab + c) ÷ d = (ab + c)/d

quindi a · b + c

d → e

= (ab + c) ÷ (d → e) = (ab + c)/(d → e)

2.1 Uso delle parentesi

• a + (b + c) = a + b + c le parentesi non servono
• consideriamo a + b · c

non è lo stesso: 1 + 2 · 3 = 3 · 3 = 9 e 1 + 2 · 3 = 1 + 6 = 7

le moltiplicazioni (e le divisioni) hanno la precedenza: a + b · c = a + (b · c)

se voglio “fare prima la +” devo scrivere (a + b) · c

la scrittura di una divisione con la frazione a volte può evitare l’uso delle parentesi, ma attenzione

• quindi

a + b ÷ c → d = a +

b

c

→ d e

a + b

c → d

= (a + b) ÷ (c → d)

2.2 Esempi

(a + b) · c = ac + bc

(a + b) · (c + d) = a · (c + d) + b · (c + d) = ac + ad + bc + bd

• Scrivere con ÷ e con le parentesi

a + bc

(a + b)c

Attenzione, (a + bc) ÷ (a + b)c NON va bene. Perché?

Riflettere sul caso x ÷ y · z. “·” e “÷” sono “paritarie”: se voglio fare prima il prodotto devo scrivere x ÷ (y · z). La scrittura con la linea di frazione evita questa di!coltà: con la frazione vediamo subito “chi è sopra e chi è sotto”.

3 Trasformazione di un’espressione algebrica

Significa scrivere un’espressione in un modo diverso ma equivalente. Di solito è importante semplificare l’espressione, perché, così facendo, posso risolvere un problema associato, che altrimenti non riuscirei a risolvere. Vediamo alcune classiche trasformazioni basilari e fondamentali.

· (^) (a + b). c =^ ac^ +^ DC^ e^ proprietà^ distributiva

· (a + b). (c + d) =^ a(c + c) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

a + bC ~ (^) = (a + (^) bc)/[(a+ b)e] (a +b)C

3.1 denominatore comune

• Facciamo un passo indietro... 7

6

Fare il denominatore comune è l’inverso:

1

2

Quindi serve per scrivere la somma/di"erenza di due o più frazioni come un’unica frazione.

Non è molto diverso dal caso precedente. A volte il denominatore non è il prodotto dei denominatori.

Con le lettere:

a +

b

c

ac + b

c

La spiegazione è a +

b

c

ac

c

b

c

ac + b

c

a

b

c

d

ad

bd

bc

bd

ad + bc

bd

Naturalmente x

y

z

yt

xt

yt

z

yt

xt + z

yt

Attenzione!! “classico” errore: semplificare t sopra con t sotto.

3.2 raccogliere a fattore comune

In matematica fattore vuol dire termine che moltiplica altri termini. È una quantità moltiplicativa.

Ci sono anche le quantità additive. Si dicono anche addendi.

A volte, in un’espressione con somme/di"erenze, c’è un temine che è un fattore comune a più termini.

Può essere scritto (di solito davanti) a moltiplicare tutto il resto.

Esempio

xy + xz = x(y + z) oppure y + xy = y(1 + x)

Esempio

abc + bcde = bc(a + de) (“dentro” divido per ciò che ho raccolto)

3.3 moltiplicazione con frazioni

Quando dobbiamo moltiplicare due frazioni si fa

a

b

c

d

ac

bd

(Quindi), se abbiamo

a ·

b

c

ab

c

. Perché dico “quindi”?

Altri esempi:

x ·

1 x +^ x 1 + x

x

1 + x

1 + 1 x

• 1

x

· y ·

z

y

xz

x

y

z

y

x

· z

x

· (y + z) = 1 ÷ x · (y + z) =

1 · (y + z)

x

y + z

x

Viene (^) raccolta ↑

I x + 1 + (x + o 1 + x ↑ · = =^1 +^ x = 1 -x+ 1

4 Potenze

Significato della scrittura x n (“x elevato alla n” o semplicemente “x alla n”). Se x è un numero reale fissato, si dice potenza di base x ed esponente naturale n (n = 1, 2 , 3 ,.. .), il numero x n def = x · x · x ·... · x ︸ ︷︷ ︸ n volte

, se n > 1

o il numero x stesso, se n = 1.

Nel corso vedremo vari casi di potenze, a seconda di che tipo di numero c’è ad esponente. Solo un accenno: dopo aver visto le potenze con esponente naturale, il primo passo sono le potenze con esponente intero. Dato che gli interi sono i naturali, lo zero e i “naturali negativi”, basta definire il significato di

x 0 = 1 e x ↑n =

xn^

(però bisogna dire con x ↓= 0)

4.1 Proprietà delle potenze

Le potenze hanno alcune classiche proprietà. Come comportarsi quando abbiamo qualcosa del tipo:

x m

• x n , x m · x n ,

xm

xn^

, (x m ) n

Qualunque sia il numero x e qualunque siano i naturali m, n, si ha:

1. xm^ · xn^ = xm+n
2. (x m ) n = (x n ) m = x m·n

Con a ↓= 0 e n > m, si ha ancora:

xn

xm^

= x n↑m

Qualunque siano i numeri x e y e il naturale n:

1. (x · y)

n = xn^ · yn

Qualunque siano x e y ↓= 0, qualunque sia n, si ha infine:

x

y

)n

=

xn

yn^

Fondamentale: abituatevi a saper utilizzare queste regole “nei due versi”: tutte le identità qui sopra possono essere utilizzate da sinistra a destra o da destra a sinistra.

Esempio curioso. 10 100 (googol) = 10 · 10 ·... · 10 ︸ ︷︷ ︸ 100 volte cioè 1 seguito da 100 zeri... 1 metro per scriverlo

Consideriamo ora 10 googol = 10 10100 (googolplex) = 10 · 10 ·... · 10 ︸ ︷︷ ︸

10 100 volte

cioè 1 seguito da 10 100 zeri... Esercizio: quanti metri ci vogliono per scriverlo?

Facile, 10 98 metri, cioè 10 95 Km, ma... quanti sono? 2

(^2) Quanti Km sono 1 anno luce? 3 · 105 · 3600 · 24 · 365 → 9 · 1012 Km. Il “diametro” dell’universo è stimato in 90 miliardi di a.l. Quindi circa

9 · 1012 · 9 · 1010 = 81 · 1021 Km.

Quindi per scrivere un googolplex non basta l’universo, e di parecchio!

(xEIR (^) , n^ -^ CN)

(2(4) +^ x n

! x^ +^0 , nm

1y +^0

5 Polinomi

Si chiama monomio (nella variabile x) un’espressione del tipo “un numero ↘ una potenza di x”.

Esempi di monomi

2 x 3 , → 3 x 2 , 5 x , → 2

Si dice grado del monomio l’esponente della potenza del monomio stesso.

Si chiama polinomio (nella variabile x) una somma/di"erenza di monomi in x.

Esempio di polinomio

2 x

3 → 3 x

2

• 5x → 2. Scriviamo anche P (x) = 2x

3 → 3 x

2

• 5x → 2.

Si dice grado del polimonomio il grado massimo dei suoi monomi.

Esercizio: (attenzione) che grado ha la somma di due polinomi? che grado ha il prodotto di due polinomi?

5.1 Prodotti e potenze notevoli

Si hanno i seguenti prodotti e potenze notevoli:

(A + B)(A → B) = A

2 → B

2

(A + B)

2 = A 2

• 2AB + B 2

(A → B)

2 = A 2 → 2 AB + B 2

(A + B + C)

2 = A 2

• 2AB + 2AC + B 2
• 2BC + C 2 .

Attenzione a saper leggere nei due versi.

Esercizi. Calcolare

(i) (1 + x)(2 → x + x 2 ) (ii) (2x → 3)(2x + 3) (iii) (1 → 2 z) 2

(iv)

x →

(v) (1 → x + x 2 ) 2 (vi) (1 → 2 t 2 )(1 + 2t 2 )

5.2 Scomposizione di polinomi

Significa scrivere il polinomio come prodotto di polinomi.

A volte è facile:

2 x 3 → 3 x 2

• 5x = x(2x 2 → 3 x + 5)

A volte non lo si fa fino in fondo:

x 4

• 2x 3 → 5 x 2 = x(x 3
• 2x 2 → 5 x). Meglio... = x 2 (x 2
• 2x → 5). (=... ??)

A volte è impossibile... Vedremo più avanti.

Esercizi.

Raccoglimento semplice.

(i) 6 x 2 y → 2 xy 2

• 4xyz (ii) a(3x → y) + 2b(3x → y)

Di"erenza di quadrati.

(i) x 2 → 25 (ii) 9 x 2 → 16 y 2

Scomposizioni in sequenza.

(i) 3 y^3 → 12 y (ii) a^4 → 16 b^4

linizio corso

esponente massimo^ -^ grado^ del^ polinomio

&

P(x) +^ Q(x) e (x3 (^) ... ) + (-x3 ...^ )^ e^ il^ grado del^ polinomio sarà^ il^20 grado più alto

= (^) somma (^) tra i due (^) gradi P(x). Q(x)3(x3...^ )^.^ k4...^ )^ =^ x^

• 4 ...^ =^ xt...^ grado^ del^ prodotto^ tra^ polinomi

=

= 2 - x (^) + x (^) + 2x - x2 (^) + x3 = = 4x2 - a M =^ +3^ +^ x^ +^2 T = 1 - 4z + 4z

= 1 -^474

• polinomio^ di (^30) grado in^3 variabili = (^) 2xy(3x - y +^ 2z) = (^) (3x - y)(a+ 2b)

= (^) (x + (^) 5)(x - 5) = (3x + (^) ny)(3x - 4y)

= (^) 3y(yz- 4) =^ =^ (a2 + 4b2)(a2- 4b2) =^ (az+ 4bz)(a +^ 2b)(a^ -^ 2b)

= (^) 3y(y +^ 2)(y -^ 2)

6.2 Equazioni (polinomiali) di 2

↑

grado

L’equazione di 2→^ grado ha come forma generale

ax

2

• bx + c = 0, dove a, b, c sono numeri fissati e a ↓= 0.

Queste equazioni possono avere due, una o nessuna soluzione. C’è una formula generale per trovare le

(eventuali) soluzioni, la cosiddetta formula risolutiva delle equazoini di 2 → grado.

Consideriamo prima i seguenti casi particolari (ricordare che a ↓= 0):

(i) b = c = 0. L’equazione diventa ax 2 = 0,

e questa ha ovviamente per soluzione soltanto x = 0. 3

(ii) b ↓= 0, c = 0. L’equazione diventa: ax 2

• bx = 0.

Scomponendo in fattori il primo membro, si può scrivere

x(ax + b) = 0.

La legge dell’annullamento del prodotto dà le soluzioni x 1 = 0, x 2 = →b/a.

(iii) b = 0, c ↓= 0. L’equazione diventa ax 2

• c = 0.

Se i coe!cienti a, c sono concordi l’equazione risulta impossibile. Se invece a, c sono discordi, le soluzioni dell’equazione sono x 1 =

→c/a, x 2 = →

→c/a.

In pratica, in questo caso, il procedimento risolutivo, è semplicemente il seguente: da ax 2

• c = 0 si ricava x 2 = →c/a e, successivamente, se →c/a > 0 , x 1 , 2 = ±

→c/a.

(iv) Esaminiamo infine il caso b ↓= 0, c ↓= 0, cioè quella che viene detta equazione completa

ax 2

• bx + c = 0.

La formula risolutiva è

x 1 , 2 =

→b ≃

b^2 → 4 ac

2 a

però occorre anche qui considerare alcuni casi.

• se b^2 → 4 ac < 0 , non si ha nessuna soluzione. Perché?
• se b 2 → 4 ac = 0, si ha una sola soluzione x = → b 2 a ;
• se b 2 → 4 ac > 0 , si hanno le due soluzioni che la formula fornisce.

6.2.1 Un breve richiamo sulla radice di un numero reale

Significato della scrittura

2 (radice quadrata di 2).

È quel numero positivo che elevato al quadrato mi dà 2. Quindi

Con la stessa logica si definisce la radice n-esima di un numero reale a

n

a = quel numero positivo che elevato alla n mi dà a. Pertanto

n

a

)n = a.

A volte la radice è un numero “semplice”, a volte è un numero “di!cile”.

3

(^3) Il motivo è la cosiddetta legge dell’annullamento del prodotto. È una proprietà valida nei numeri reali. Dice che se il

prodotto di due numeri è zero allora deve necessariamente essere zero uno dei due numeri. La cosa può sembrare banale

e siamo abituati a darla per scontata. Ci sono però strutture algebriche in cui questa legge non vale e ne vedremo una durante il corso.

• > (^) non sarebbe un'equazione di^2 o grado, ma di^ +o

ax2 = (^0) - > x^ =^0 casi (^) particolari ax + (^) bx = 0 ex(ax + b) =

ax2 + c = 0y2x

• 8 = (^0) ; x= (^4) ; x = 12 2x 2 + 8 =^0 ; x= - (^4) ; s = (^0)
• > (b2-4ac) =^ 1/discriminante dell'equazione

& (^) formula ridotta se b è un numero intero pari :

x

= (^) (E)2-^ a a Y (^) esempio : 4x2 - 6x (^) + 1 = (^0)

X (^) , 2 = & (E-

.

• > (^2) = unico numero reale (^) positivo che elevato al quadrato restituisce 4

= (^2) 3 7 =^ numero^ non^ razionale^ , come^2 ,^ I, e,..

Esempi

2 → 3 x = 3 → 2 x ,

x + 1 =

x → 1

Se si pensa che per tutte le equazioni ci sia modo di risolverle si sbaglia. Con le equazioni polinomiali,

che sono le più semplici, basta considerare quelle di 3 → grado e la di!coltà aumenta parecchio. Con

quelle di 4 → grado ancora di più e poi si può dimostrare che dal 5 → grado in su non esiste alcun metodo

di risoluzione.

Esempio (piccola anticipazione) Consideriamo l’equazione

x

• x = 1.

Attenzione,

(i) non è un’equazione polinomiale

(ii) poi dobbiamo dire che x (la soluzione) non può essere zero

(iii) con questa condizione, possiamo fare un denominatore comune

x

• x → 1 = 0 ,

1 + x^2 → x

x

e ora (regola generale), se vogliamo che una frazione sia zero, la condizione equivalente è che il numeratore sia zero.

Pertanto, con la condizione x ↓= 0, l’equazione data equivale alla

1 + x 2 → x = 0 (equazione di 2 → grado), cioè x 2 → x + 1 = 0,

che sappiamo come a"frontare.

L’esempio mostra come si a"rontano di solito le equazioni “nuove” (che vedremo nel corso): si cerca di

ricondurle a quelle che sappiamo risolvere, cioè quelle di 1 → o 2 → grado.

Come semplice ultimo esempio consideriamo l’equazione

x 3

• x 2 → x = 0 (equazione polinomiale di 3 → grado).

Questa, pur essendo una di quelle potenzialmente di!cili, in realtà è facile in quanto si può fare il

raccoglimento

x(x 2

• x → 1) = 0

e quindi, per la legge di annullamento del prodotto, equivale a

x = 0 oppure x 2

• x → 1 = 0.

Quindi, oltre alla soluzione nulla (che qui è accettabile), abbiamo le possibili soluzioni della seconda

equazione, di 2→^ grado:

x =

Abbiamo quindi trovato tre soluzioni:

x = 0 oppure

oppure

• > X^ #O C. E^.

perché (^) questa equazione ha^ una^ C^. E^.^ e^ le^ equazioni^ polinomiali^ non^ le^ hanno

• > X , z = 17
  • 4 -s =^0
• > (^) numero non razionale
• -^1 , 62 = (^0). 62

punto medio

↓ tra e

Se

8 Un pizzico di... logaritmi

Problema. Sostituire ai puntini:

Quello che abbiamo trovato si chiama logaritmo.

Significato di

logb a , che si legge “logaritmo in base b di a”.

Indica l’esponente che devo dare alla base b per ottenere l’argomento a. Quindi

b logb a = a

Chi è il

logb(b a )? Ovvio, è a.

I logaritmi, con le loro proprietà, hanno varie applicazioni. Un proprietà (ne vedremo altre) è questa:

logb(x · y) = logb x + logb y.

Trasformano quindi relazioni moltiplicative in relazioni additive. Per questo motivo, ad esempio, servono

per le cosiddette “scale logaritmiche”: dati legati tra loro da relazioni moltiplicative, se rappresentati in

scala logaritmica, diventano dati legati da relazioni additive.

Per vedere i logaritmi in tutta la loro estensione servono le potenze in tutti i casi possibili, cioè con

esponenti di qualunque natura, non solo esponenti naturali o interi.

log 2 8 = 3, in quanto 2

3 = 8, ma chi è il log 2 3?? È un numero “di!cile”.

Qualche altro esercizio.

log 10 100 , log 2 128 , log 1 / 3 9 , log 1 / 2

9 Rappresentazione nel piano cartesiano

Parliamo ora di rappresentazione geometrica dei numeri.

I numeri reali (e quindi anche i naturali, gli interi, i razionali) si possono rappresentare su di una retta.

Per convenzione si disegna questa retta in orizzontale, con orientamento da sinistra a destra.

3 2

log 2 3

Reali positivi, reali negativi,...

Spesso è importante rappresentare coppie di numeri reali. Le indichiamo con (x, y), dove x e y sono

appunto numeri reali.

Per rappresentare le coppie di numeri reali usiamo il piano (piano cartesiano, come retta cartesiana è

quella di prima).

x

y

a

A

b

B

(a, b)

R

2

x

y

A

B

C

D

Abbiamo ora due assi cartesiani, uno orizzontale (asse delle ascisse, o delle x) e l’altro verticale (asse

delle ordinate, o delle y), facendo riferimento alla coppia (x, y). Quindi attenzione al significato di

questo (prima e seconda componente della coppia)! Per convenzione (e convenienza) le due rette sono

perpendicolari e fissiamo la stessa unità di misura sui due assi.

Nella figura a destra sono rappresentati i punti

A = (2, 2) , B = (→ 1 ,

3 2 )^ ,^ C^ = (→^2 ,^ →^

7 4 )^ ,^ D^ = (1,^ →^

3 4 )

L’origine e i quattro quadranti.

9.1 Equazioni e piano cartesiano

Ora, se abbiamo ad esempio una retta nel piano cartesiano, vogliamo trovare un modo per scriverla in

forma algebrica, non geometrica.

Facile esempio:

x

y

Le due rette possono essere scritte attraverso le due equazioni

x = → 1 (quella verticale) e y = 1 (quella orizzontale).

Quindi l’idea è che ci sia una relazione tra le curve nel piano (oggetti geometrici) e le equazioni (oggetti

algebrici). Detto in termini più precisi, l’idea è che i punti della curva siano le soluzioni dell’equazione.

Si tratta della geometria analitica.

ω q (più facile e meno importante) è legato alla posizione del punto di intersezione della retta con l’asse y (si dice l’ordinata o altezza all’origine della retta): se q = 0 la retta incontra l’asse y nell’origine, se q > 0 tale punto di intersezione sta al di sopra dell’origine, se q < 0 tale punto sta al di sotto dell’origine. Tanto più grande è il valore di q, tanto più lontano dall’origine la retta incontra l’asse y.

ω m (fondamentale) è detto coe!ciente angolare della retta ed è legato all’angolo (da cui l’aggettivo “angolare”) che la retta forma con l’asse x, ossia alla pendenza della retta: se m > 0 la retta è “bassa a sinistra e alta a destra”, mentre se m < 0 accade il contrario (non può essere in questo caso m = 0 perché a ↓= 0).

Inoltre tanto più è grande il valore di m, tanto più pendente (ripida) è la retta.

Si osservi anche che la forma esplicita (y = mx + q) non si può ottenere se b = 0. Abbiamo visto prima

che si tratta in questo caso di una retta verticale: e infatti c’è qualche problema nel definire la pendenza

di tali rette.

Cerchiamo di capire perché m ha il significato che è stato detto. Possiamo

anzitutto osservare che dall’equazione y = mx + q possiamo ricavare, se

x ↓= 0, che m = y↑q x.^ Aiutandoci con la figura qui a fianco, vediamo allora che questo quoziente altro non è che il rapporto tra la variazione

delle ordinate sulla retta e la variazione delle ascisse corrispondenti nel

passare dal punto di ascissa zero al punto di ascissa x. x

y

q

x

y → q

x

y

x 1

P

y 1

x 2

Q

y 2

x 2 → x 1

y 2 → y 1

Più in generale (figura a sinistra), è il rapporto tra la variazione delle ordinate e la variazione delle ascisse nel passaggio da un qualunque punto P sulla retta ad un altro punto Q sulla retta. Detto in termini più immediati: è questo rapporto:

di quanto mi alzo lungo la retta

di quanto mi sposto sulle x

Si capisce facilmente che il risultato è quello che intendiamo con pendenza della retta.

9.3 Rette passanti per un punto assegnato

Per un punto assegnato (x 0 , y 0 ) passano ovviamente infinite rette. Ora

che sappiamo il significato del parametro m, possiamo facilmente scrivere

l’equazione di queste rette. Non è di!cile capire che l’equazione è

y → y 0 = m(x → x 0 ). 4 x

y

x 0

y 0

Osservazione In realtà l’equazione scritta dà tutte le rette passanti per (x 0 , y 0 ), ad eccezione di quella

verticale, che ha equazione x = x 0.

Dovrebbe ora essere chiaro che possiamo determinare anche il parametro m se abbiamo un’informazione

in più, che potrebbe essere o la conoscenza diretta della pendenza oppure il passaggio per un altro punto

del piano.

Esempio Scrivere l’equazione delle rette passanti per il punto (→ 1 , 2).

Senza molti commenti, si tratta dell’equazione y → 2 = m(x + 1).

(^4) Ci si arriva o pensando che è m = y→y 0 x→x 0 , oppure pensando che il punto^ (x^0 , y^0 )^ è soluzione dell’equazione (entrambi i membri sono nulli) e si tratta certamente dell’equazione di una retta di pendenza m. Tutte le condizioni sono dunque rispettate.

9.4 Rette passanti per due punti assegnati

Supponiamo che i due punti siano (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ). La condizione di

passaggio per il primo punto porta a scrivere l’equazione

y → y 1 = m(x → x 1 ),

ma sappiamo anche che m = y 2 ↑y 1 x 2 ↑x 1

. Quindi si trova

y → y 1 =

y 2 → y 1

x 2 → x 1

(x → x 1 ). x

y

x 2

y 2

y 1

x 1

P

Q

x 2 → x 1

y 2 → y 1

Osservazione Anche qui l’equazione scritta esclude un caso possibile: infatti vale solo se x 1 ↓= x 2. Nel

caso si abbia x 1 = x 2 , cioè punti con la stessa ascissa, la retta è ovviamente verticale e la sua equazione

è x = x 1 (o x = x 2 ).

9.5 Rette parallele e rette perpendicolari

Vediamo ora due semplici questioni, legate sempre ai coe!cienti angolari delle rette: in particolare

parliamo di rette parallele e rette perpendicolari.

• Rette parallele in forma esplicita hanno lo stesso coe!ciente angolare.

Vediamo un’applicazione di questo fatto in un semplice esercizio: scrivere l’equazione della retta parallela alla retta di equazione 2 x → y + 1 = 0 e passante per il punto (3, 2). Scriviamo la retta in forma esplicita: y = 2x + 1. La retta parallela avrà allora equazione esplicita del tipo y = 2x + q. Imponendo il passaggio per il punto (3, 2) si deve avere 2 = 2 · 3 + q, da cui q = → 4. L’equazione cercata è quindi y = 2x → 4. Si poteva anche osservare direttamente che si tratta della retta di pendenza 2 passante per il punto (3, 2) e quindi è la retta di equazione y → 2 = 2(x → 3).

• Rette perpendicolari in forma esplicita hanno coe!cienti angolari m e m ↓ legati dalla relazione mm ↓ = → 1 (da cui m ↓ = → 1 /m).

Vediamo anche qui un’applicazione in un esercizio: scrivere l’equazione della retta perpendicolare alla retta di equazione 2 x → y + 1 = 0 e passante per il punto (3, 2). La retta in forma esplicita è y = 2x + 1. La retta perpendicolare avrà equazione esplicita del tipo y = → 1 2 x^ +^ q.^ Imponendo il passaggio per il punto (3, 2) si deve avere 2 = → 1 2 ·^ 3 +^ q, da cui^ q^ =^

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1. L’equazione cercata è quindi y = → 1 2 x^ +^

7

Osservazione Se è abbastanza naturale capire che rette parallele hanno la stessa pendenza, non è forse

altrettanto naturale capire la relazione che lega le pendenze di due rette perpendicolari, a parte forse il

fatto che se uno dei coe!cienti angolari è positivo, l’altro deve essere negativo.

Esempi Per il momento abbiamo visto che le equazioni di primo grado individuano nel piano delle

rette. Ci si chiede a questo punto se vale anche il viceversa, se cioè ogni retta del piano sia l’insieme delle

soluzioni di un’equazione di primo grado. La risposta è a"ermativa, ma la corrispondenza tra equazioni

di primo grado e rette non è biunivoca, come si potrebbe inizialmente pensare: un’equazione individua

una sola retta, ma la stessa retta è soluzione di molte (infinite) equazioni. Questo è naturale, dato che

una certa equazione ne ha infinite altre equivalenti ad essa. Ad esempio le due equazioni

x → 2 y + 3 = 0 e → 2 x + 4y → 6 = 0

sono equivalenti, cioè hanno lo stesso insieme di soluzioni e cioè individuano la stessa retta. 5

Sono utili due tipi di esercizi: data un’equazione, disegnare la retta che rappresenta le sue soluzioni e,

data una retta nel piano, trovare un’equazione che la individui.

Vediamo il tutto su di un esempio. Consideriamo l’equazione di prima, x → 2 y + 3 = 0. Vogliamo

disegnare la retta corrispondente.

(^5) La seconda si ottiene dalla prima moltiplicando ambo i membri per ↓ 2.

Esempi

Consideriamo la disequazione

x + y → 1 ⇒ 0.

Esplicitiamo la y, scrivendo

y ⇒ →x + 1.

L’equazione corrispondente (y = →x + 1) individua la retta di pendenza m = → 1 , passante per il punto

(0, 1). La disequazione ha quindi come soluzioni tutti i punti del piano che stanno al di sotto della retta,

compresa la retta stessa. L’insieme è rappresentato nella figura qui sotto a sinistra in grigio. Di solito,

per indicare che i punti della retta fanno parte dell’insieme, si usa per la retta un tratto continuo.

Se la disequazione fossa stata x + y → 1 < 0 , avremmo avuto ovviamente solo i punti strettamante al di

sotto della retta e in questo caso si usa per la retta un tratteggio, come nella figura qui sotto a destra.

x

y

→ 1 0 1 2

→ 1

0

1

2

x

y

→ 1 0 1 2

→ 1

0

1

2

Consideriamo la disequazione

x → 2 y → 2 < 0.

Esplicitando la y otteniamo

2 y > x → 2 cioè y >

x → 1.

L’equazione corrispondente (y = 1 2 x^ →^1 ) individua la retta di pendenza^ m^ =^

1 2 , passante per il punto (0, →1). La disequazione ha quindi come soluzioni tutti i punti del piano che stanno al di sopra della

retta, esclusa la retta stessa. L’insieme è rappresentato nella figura qui sotto a sinistra in grigio. La retta

è tratteggiata.

Se la disequazione fossa stata x → 2 y → 2 ⇒ 0 , avremmo avuto come soluzioni anche i punti sulla retta e

quindi avremmo usato un tratto continuo per disegnare la retta, come nella figura qui sotto a destra.

x

y

→ 1 0 1 2

→ 2

→ 1

0

1

x

y

→ 1 0 1 2

→ 2

→ 1

0

1

Resta solo da considerare il caso in cui sia impossibile ricavare la y dalla disequazione. Questo si ha

quando b = 0, cioè la disequazione è del tipo

ax + c > 0 , ax + c < 0 , ax + c ⇐ 0 , ax + c ⇒ 0.

Ma allora la nostra disequazione si può scrivere come

x ↭ →

c

a

e pertanto la regione in questi casi è sempre un semipiano, ma con “bordo” verticale. Ad esempio, con le

disequazioni

2 x + 1 > 0 oppure 4 x → 3 ⇒ 0

si ha rispettivamente

x > →

oppure x ⇒

e quindi i due insiemi rispettivamente a sinistra e a destra in grigio qui sotto.

x

y

→ 2 → 1 0 1 2

→ 1

0

1

2

↓ 1 / (^2) x

y

→ 2 → 1 0 1 2

→ 1

0

1

2

3 / 4

10 Un po’ di terminologia

espressione significa una scrittura di carattere matematico, che di solito coinvolge lettere, ma non

necessariamente

quantità, termine vengono usati, indi"erentemente, per indicare una certa parte di un’espressione

fattore anche fattore moltiplicativo, è, in un’espressione, una quantità che ne moltiplica altre

addendo addendo è invece una quantità additiva, cioè che si somma (o si sottrae) ad altre

reciproco il reciproco di una certa quantità x è 1 x ; esiste solo se^ x^ ↓= 0; a volte si confonde con “inverso”, che ha però un significato molto più ampio

primo e secondo membro in una equazione (disequazione) 1 → membro è quello che c’è a sinistra dell’=

(↭); 2 → membro è quello che c’è a destra dell’= (↭)

raccogliere in una espressione significa prendere una certa quantità e fare in modo che questa moltiplichi

il resto, ma senza cambiare il valore dell’espressione

argomento termine usato in presenza di particolari scritture, per indicare una parte dell’espressione

stessa alla quale viene applicata una certa “funzione”. Ad esempio

in

x, x è l’argomento della radice ; in logb x, x è l’argomento del logaritmo

quindi una quantità sulla quale opera una certa funzione 6

portare a numeratore/denominatore in una frazione, significa far comparire a numeratore/deno-

minatore una certa quantità che inizialmente compare a denominatore/numeratore, ma senza cambiare il valore della frazione

(^6) Studieremo a fondo durante il corso il significato del termine funzione.