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*LNUMERI: ente astratto atto a indicare la qualità degli elementi di un insieme, il posto di un elemento in una successione, o comunque utilizzato come contrassegno per individuare con precisione un elemento tra molti o una specifica classe di elementi. » L'uomo come ha cominciato a contare? inizialmente l’uomo primitivo utilizzava mucchio di pietre per contare, ma in seguito, per rendere permanenti le informazioni relative al contare l'uomo preistorico abbandonò tale metodo e utilizzò le incisioni sui bastoni o sulle ossa per la rappresentazione dei numeri. » Vi sono diverse tipologie di numeri: - numeri naturali (N) => indicati con il simbolo N, sono tutti e solo i numeri { 0,1,2,3,4,5....} e vengono ottenuti aggiungendo di volta in volta un’unità partendo da zero. Sono infiniti e vengono anche detti numeri interni non negative. — lo 0 è un numero particolare. Origine dello zero: è entrato relativamente tardi a far parte del linguaggio matematico perché non serviva per contare. Non c’era bisogno di tener conto di zero animali o di far l’appello di zero figli. Non serviva un numero per esprimere l’assenza di qualche cosa e quindi non si avvertiva la necessità di introdurre un simbolo che sarebbe stato poi collegato alla mancanza di oggetti. La sua nascita risale all'epoca dei sumeri, circa Smil anni fa. Le sue caratteristiche sono: «Qualsiasi numero moltiplicato per 0, da come risultato 0 «qualsiasi numero sommato allo 0, resta invariato - numeri razionali (Q) => sono tutti e solo i numeri che possano essere espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore dati da numeri interi. | numeri razionali includono i numeri interi come sottoinsieme, e sono infiniti - numeri reali (R) => sono numeri descritti mediante una rappresentazione decimale limitata o illimitata, periodica o non periodica, e sono tutti e solo numeri razionali e numeri irrazionale. - numeri irrazionali (I) => sono tutti e solo i numeri decimali illimitati non periodici, che quindi non possono essere espressi sotto forma di frazione. esempio: V2,vY3e n(pi greco) - numeri complessi => costituiscono un insieme che estende l’insieme dei numeri reali in cui, a partire della definizione di unità immaginaria, è possibile estrarre le radici ad indice pari di numeri negativi e risolvere le equazioni di secondo grado con discriminante negativo. — > numeri pari => significa che il numero lo si può dividere a metà in parti uguali. Una volta diviso per due (metà ) avremo due numeri identici tra loro e nessun tipo di resto. —> numeri dispari=> significa che non si può dividere a metà senza avanzare qualcosa «esempi: > numero pari numero dispari d'ili'a 1|®)| | |a tri | | » /2=32343 —+1= 0,399393.... { 3 è un numero razionale perché nonostante gia un numero con la virgola è intero 0,3 ‘periodico — » numeri frazionari => dette anche rapporti, sono rappresentazioni che esprimono i numeri sotto forma di divisioni tra due quantità, rispettivamente numeratore e denominatore: la quantità rappresentata da una frazione si esprime contando quante volte il denominatore sta nel numeratore. ' 3° esempio 3-3] 5 i ti frazione più grande + 4° esempio M.C.Dj—= a i più grande comune divisore dai rurmeri | considerati esempi 40 e 32 p-$ dd risultato dovuto dalla loro divisione risultato dovuto dallo loro differenza passaggi: 40:32= 1 32+1= 32 40-32=8 187 e 77 4 187=77.:2+93 elNSIEMI => è un qualsiasi raggruppamento di elementi che soddisfa le seguenti caratteristiche: - se è possibile stabilire senza dubbio se un elemento appartiene all'insieme; - se gli elementi dell'insieme devono essere tutti distinti tra loro a —> elementi dell'insieme a e A[ segno di appartenenza ] A —> insieme stesso a e A[ segno di non appartenenza ] A = B-> INSIEMI UGUALI CHE HANNO ELEMENTI IN COMUNE A # B-> INSIEMI DIVERSI CHE NON HANNO ELEMENTI IN COMUNE SONO CHIAMATI DISGIUNTI AcB-> UNINSIEME "A" È CONTENUTO IN UN INSIEME "B" QUANDO TUTTI GLI ELEMENTI DI A SONO CONTENUTI IN "B', INFATTI ‘A' È UN SOTTOINSIEME DI "B" AcB-> UNINSIEME È CONTENUTO O E UGUALE A B QUANDO TUTO A COINCIDE CON B Au B-> CHIAMA UNIONE DI DUE INSIEMI, QUELL'INSIEME | CUI ELEMENTI o APPARTENGONO ADA o a B An B->S| CHIAMA INTERSEZIONE DI DUE INSIEMI, QUELL'INSIEME | CUI ELEMENTI APPARTENGONO SIA AD "A" CHE a “B" AuA=A-> UNINSIEME "A" UNITO a SE STESSO DA COME RISULTATO L'INSIEME STESSO . Aug=A->UN INSIEME AUNITO AD UN INSIEME VUOTO DA COME RISULTATO L'INSIEME ‘A° A- B-> (INSIEME DIFFERENZA), E UN INSIEME FORMATO DA ELEMENTI DI “A" CHE NON APPARTENGONO a "B" «A -> È ILCOMPLEMENTO DELL'INSIEME, OVVERO ELEMENTI CHE NON APPARTENGONO ADA ]1-2; 2[ -> INTERVALLO APERTO, COMPRENDE TUTI | NUMERI REALITRA - 2.0 2 ESCLUSO -2 e 2 [-2; 2]-> INTERVALO CHIUSO, COMPRENDE TUTI | NUMERI REAL COMPRESI TRA-2 e 2COMPRESI -2 e2 co -> NUMERO CHE NON SI POTRÀ MAI RAGGIUNGERE E QUEL NUMERO CHE INDICA UNA GRANDEZZA ILLIMITATAMENTE. GRANDE O PICCOLA (A SECONDO DEL SEGNO - 0+) CHE PUÒ ESSERE FATIA CRESCERE O DECRESCERE IN MODO ILLIMITATO. x>2 [2;+] %<3 ]-s6;:3] X<:3. }eo;- —> esercizio 3. Dividiamo il numero 35 in tre parti uguali tali che la prima sia doppia della seconda e la seconda sia la doppia della terza Dati: pi soppo dela 2- incognita pri = PI (be N il nome delle tre parti rappresenta l'equazione ISnognita Nioppio per ta 3* hiaognita dal momento che la seconda parte è il doppio della terza sarà -> 10(5x2=10) Soluzione: 2b+2c+c= 35 2x2c+2c+c= 35 4c+20+c= 35 fc= 35 C= 35 => 5—® èla terza parte 6 7 “o” — esercizio siccome la prima parte è il doppio della seconda sarà 20 (10x2) 4 riassumendo: a= 20 b= 10 c= 5 4, In un numero di due cifre, la cifra delle unità supera di 5 la cifra delle decine e il numero è il triplo della somma delle due cifre. Troviamo il numero lecine su= I) numero unità n=10a+b perché superano di 5 le decine b= a+ 10a+b= g(a+b) è il triplo delle due cifre migliaia —> 10k= 1.000 centinaia —>1h= 100 decine —> ‘1da=10 unità —> 1u= 1 —, esercizio 8. In una classe metà degli alunni preferisce la matematica, 1/4 preferisce l'italiano e 1/7 l'inglese. Tre alcuni preferiscono l’attività sportiva. Quanti sono gli alunni? 1=> matematica; 1=> italiano; 1=> inglese; 3=> attività motoria 2 4 Ì a=> variabile a+a+a+3= a = abbiamo fatto mom 247 PE alunni 14a+7a+4a+84= 28a, abbiamo sommato tutti i termini simili (tutte le 28 pmozg) °n') per poi portare tutta da una parte 25a+84= 28a => 28a-25a= -84 il numero degli alunni in totale —» esercizio 9. Maria ha 5 anni più di Luca fra 3 anni l'età di Luca sarà pari a 2/3 di quella di Maria. Qual è l'età,ora, di Maria e Luca ? Maria Luca lu=> 7 m=> [2 (7+5) m lu = lu +5 lu -2lu= -3+16 lu+3= 2 (lu+5+3) 3 3 3 Slu-2lu = -9+16 è lu+3= 2lu (+8) 3 3 3 lu+3= 2lu+16 3.3 —}) esercizio 6. Luca e Andrea posseggo rispettivamente 200€ e 180€. Luca spende al giorno 10€ al giorno, Andrea 8€ al giorno. Dopo quanti giorni avranno la stessa somma? incognita => numero giorni in cui Luca avranno la stessa somma Andrea 200€ t 180€ spesi [0€ al giorno spesi 8€ al giorno PS Men 200-10t = 180-8t perché dopo 1Og non saranno più gli stessi soldi 200-180= +10t -8t 20=2t => EN 20 10) — dopo Og avranno la somma uguale — esercizio 7. In una palestra ci sono 40 studenti divisi in tre gruppi. Determiniamo il numero degli allievi del primi gruppi sapendo che sono tre più del secondo e che nel terzo gruppo di sono cinque alunni in meno del secondo. a+b+c= mi Fire gruppi a=b+3—— albrimo gruppo) sono 3 più di b (secondo 9 C=b-5—-? e (terzo gruppo) sono 5 in meno di b (secondo gruppo. alunni primo gruppo => pe” 14+3= 17 ce b+3+b+b-5=40 a +9+D+ b= 44 b+b+b= -3+5+40 9 3b= 22-10) ES n Lil 10 numero allievi del secondo E ss gruppo alurini terzo gruppo => [4-5= 9 —. esercizio 10. Due treni viaggiano sulla stessa linea in verso opposto, dalla stazione A alla stazione B. Partono nello stesso momento e viaggiano alla velocità di 110km/h e 130km/h. Le due stazioni distano 180km. Dopo quanto tempo si incontreranno? | {lO km/h 130 prat na Lia A | è S=t-v=> 110-t 110t+130t= 180 240= 180 = 240 240 II negativo I positivo III negativo IV positivo Passaggi : «> Scegliamo un'unità di misura di riferimento , cioè ad 1, -> Decidiamo a questo punto di assegnare all'origine degli assi il valore x= 0 sull'asse delle ascisse, ey= 0 sull'asse delle ordinate; => avremo nel caso dell'asse delle x.a sinistra dello zero i numeri negativi e destra i numeri positivi. Nel caso delle y avremo i numeri negativi al di sotto dell'origine e al di sopra dell'origine quelli positivi (come da grafico); => avremo nel caso dell'asse delle x a sinistra dello zero i numeri negativi e destra i numeri positivi. Nel caso delle y avremo i numeri negativi al di sotto dell'origine e al di sopra dell'origine quelli positivi (come da grafico); -> Con queste premesse possiamo indurre un sistema di coordinate (x,y) nel piano, e possiamo rappresentare un qualsiasi punto del piano cartesiano mediante una coppia ordinaria di numeri reali => P(xp, yp) => Si avrà così una vera e propria rappresentazione di un sistema di coordinate che da una parte associa ad ogni punto del piano cartesiano una e sola coppia di numeri, dall'altra sappiamo che ad una qualsiasi coppia di numeri reali uno ed un solo punto del piano; -> realizzando così una “corrispondenza biunivoca" -> | numeri della coppia che individua il corrispondente punto nel piano cartesiano prende il nome di coordinate cartesiane del punto (o più brevemente coordinate del punto) *Distanza tra due punti: Consideriamo due punti nel piano cartesiano, individuati ciascuno da una coppia di coordinate cartesiane del tipo (ascissa,ordinata). > La formula per calcolate la distanza tra i due punti: RTITARAI esempio A(-2,1) B (3, -5) - passiamo dalla rappresentazione matematica a quella grafica - rappresentiamo il sistema di riferimento - inseriamo le unità di misura x e y - occorre calcolare la distanza tra il punto Ae il unto B - deduciamo di dover procedere in tale modo La dig GaSuntRAi 3 Gf VEL Va) Lf) —_esercizio A(1,1) B(4,5) - Fissiamo il sistema di riferimento; - poniamo le unità di misura; - individuiamo i punti sul sistema,riportando i valori delle coordinate - tracciamo il segmento e proseguiamo con i calcoli: )i d= (n - xa (Ye = YA d-la 1)? 6-1 CANE 6=l25 -0) esempio ( perimetro triangolo) 4) - Fissiamo il sistema di A(-1,1) B(2,3) C(1,-1) riferimento; - poniamo le unità di misura; - individuiamo i punti sul sistema,riportando i valori delle coordinate - tracciamo il segmento e proseguiamo con i calcoli: vi Te ]48 X AB=lxB-xAf+ (yB-yA) AB=2+1)%+ 6-1à=((3)?+ (2)? AB29+4= 13 esempio A=(1,3) B=(9,8) 'REREZEEREE i -_ On sw a Wo o «ts di - passiamo dalla rappresentazione matematica a quella grafica - rappresentiamo il sistema di riferimento - inseriamo le unità di misura xe y - occorre calcolare il punto medio tra il punto A e il punto B - deduciamo di dover procedere in tale modo -> lunghezza: Am = (xa - Xi) + (ya - y)Î * Equazione della retta L'equazione della retta nel piano cartesiano è della forma ax+by+c=0, e individua tutti e soli i punti appartenenti alla retta come soluzioni (x,y) di un'equazione di primo grado in due incognite. In altri termini l'equazione di una retta la individua come luogo geometrico. > Ci sono due tipi di equazioni della retta con cui si può descrivere una retta nel piano cartesiano, del tutto equivalenti tra loro: l'equazione di una retta si può scrivere in forma implicita o in forma esplicita. ax+by+c=0 e L'equazione della retta in forma esplicita è un'equazione della forma , ed è del tipo: ye MEF qNsono costanti sono variabili m -> coefficiente angolare -> per Luogo Geometrico: si intende un insieme di punti che godono di una stessa proprietà. | punti di una retta, come proprietà, possono avere quella di essere allineati q-> un qualsiasi numero esempio if Consideriamo i due triangoli: AHB e AK| abbiamo: - gli angoli di AHB in comune -i triangoli AKP e AHB sono retti - la retta PK E BH sono congruenti; come a fare AK e KH - simili per il 1° criterio di + Similitudine * Segue che: PK=AK BH AH * CIRCONFERENZA 4 Spostando la corda “I" è possibile individuare infiniti punti, unendo i vari punti otteniamo in una circonferenza è il luogo geometrico dei punti | del piano equidistanti da un punto c (centro della circonferenza) Equazione della circonferenza Se le coordinate di un punto soddisfano la seguente relazione allora il punto appartiene alla circonferenza PO=r PON xx (y-pe r I Si può semplificare togliendo la radice ==> 
