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Ripasso delle matematiche
- I Equazioni e disequazioni algebriche elementari: esercizi proposti
- 1 Esercizi sui polimoni
- 2 Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo
- 3 Esercizi sulle disequazioni razionali
- 4 Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali
- 5 Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto
- II Equazioni e disequazioni trascendenti
- 1 Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche
- 2 Esercizi su equazioni e disequazioni esponenziali
- 3 Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche
ii Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti
4 Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti
Esercizio 2. Determinare per quali valori di b ∈ R l’equazione
x^4 + bx^2 + 1 = 0
ammette:
(a) nessuna soluzione; [b > −2]
(b) una sola soluzione; [ 6 ∃b ∈ R]
(c) due soluzioni; [b = −2]
(d) quattro soluzioni. [b < −2]
Esercizio 3. Determinare per quali valori di b ∈ R l’equazione
x^4 + bx^2 − 1 = 0
ammette:
(a) nessuna soluzione; [ 6 ∃b ∈ R]
(b) una sola soluzione; [ 6 ∃b ∈ R]
(c) due soluzioni; [∀b ∈ R]
(d) quattro soluzioni. [ 6 ∃b ∈ R]
3 Esercizi sulle disequazioni razionali
Esercizio 1. Risolvere le seguenti disequazioni:
(a) 5 x^3 − 2 x^2 − 5 x + 2 < 0
[ x < − 1 , 2 5
< x < 1
]
(b)
x^2 − 5 x + 6 x^2 + 1 >^0 [x <^2 , x >^ 3]
(c) x^4 − 10 x^2 + 9 > 0 [x < − 3 , − 1 < x < 1 , x > 3]
Esercizi sulle disequazioni razionali: esercizi proposti 5
(d)
x^2 − 5 x + 6 x^2 − 3 x + 10 >^0 [x <^2 , x >^ 3]
(e) x
(^2) + 10x + 16 x − 1
10 [x > 1]
(f ) 2(x^2 − 5)(x^2 + 4) < 0
[ x < −
5 , x >
]
(g) (− 2 x^2 + 7x − 5)^3 (x + 1)(4 − x^2 )^4 ≤ 0
[ x = − 2 , − 1 ≤ x ≤ 1 , x = 2 , x ≥ 5 2
]
(h)
(1 + x^2 )^2 −^
(16 + x^2 )^2 <^ 0.
[ x < −
14 , x >
]
Esercizio 2. Sia P (x) un polinomio. Sapendo che la soluzione della disequazione
P (x) > 0 `e data da
x < − 1 , 0 < x < 1 , x > 9 ,
determinare le soluzioni delle seguenti disequazioni:
P (−x) > 0 , P
x
)
0 , P
( x^2
)
0 , P (3x) > 0 ,
P
x
)
0 , 1 P (x)
0 , P^ (x) P (−x)
P (−x) > 0 =⇒ x < − 9 , − 1 < x < 0 , x > 1 , P
x
)
0 =⇒ 0 < x < 1 , x > 81 , P
( x^2
)
0 =⇒ x < − 3 , − 1 < x < 0 , 0 < x < 1 , x > 3 ,
P (3x) > 0 =⇒ x < − 13 , 0 < x < 13 , x > 3 ,
P
x
)
0 =⇒ x < − 3 , 0 < x < 3 , x > 27 , 1 P (x) >^0 =⇒^ x <^ −^1 ,^0 < x <^1 ,^ x >^9 , P (x) P (−x)
0 =⇒ x < − 9 , x > 9 ,
- Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto 7
(h) x^2
2 − x^2 > 10 [ 6 ∃x ∈ R]
(i) 16 − 3 x − 8
4 − x ≥ 0
[ x ≤ 0 ,
9 ≤^ x^ ≤^4
]
(l) 4 x
x − 3 x − 1 4 x(x + 1)^2
x
≥ 0 [x ≥ 1]
(m)
x (4 − x^2 )
x^2 ≤^0
[ − 2 < x ≤
]
(n)
7 − 2 x ≥ x − 3
[ x ≤ 2 +
]
(o)
x + 1 < 2 − x
[ − 1 ≤ x <
]
(p)
√ (x − 1)(3 − x) > − 2 x + 3
[ 6
5 < x <^3
]
(q)
√ 3 − 2 x − x^2 > 0. [− 3 < x < 1]
5 Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore asso-
luto
Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni:
(a) |x − 1 | = | 1 − x| [∀x ∈ R]
(b) | 6 x − 5 | = | 3 − 2 x|
[ 1
2 ,^1
]
(c) |x^2 − 2 | = 3 − |x|.
[ ±
]
Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni:
(a) |x| + | − x| ≤ 2 [− 1 ≤ x ≤ 1]
8 Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti
(b)
∣∣ 3 x^2 − x − 2
∣∣ < 1
[ 1 −
6 < x <^
6 ,^
6 < x <^
]
(c)
∣∣ ∣∣^6 x^ + 1 2 x + 5 −^3
∣∣ ∣∣ < 1
[ x < − 192 , x > (^92)
]
(d) 3
x^3 − x ≥ |x|
[ −
≤ x ≤ 0
]
(e) 3
√ x^3 − |x| ≥ |x| [x = 0]
(f ) 3
√
|x|^3 + |x| ≥ |x| [∀x ∈ R]
(g)
−x + |x| ≥ 2 [− 1 ≤ x ≤ 0]
(h) 1 + |x − 1 | ≤ 1 + |x|
[ ∀x ≥ 1 2
]
(i)
x + 1 < −|x^2 − 3 x + 7| [ 6 ∃x ∈ R]
(l) 1 1 + x^2
≥ 0 [∀x ≥ −2]
(m) |x| x
(2|x| − 2) 23 ≥ (x + 1) 23.
[ x ≤ 9 −^4
, x ≤ 9 + 4
]
Esercizio 3. Determinare per quali valori di a ∈ R l’equazione
∣∣ ∣∣|x| − 1
∣∣ ∣∣ = a
ammette:
(a) nessuna soluzione; [a < 0]
(b) una sola soluzione; [ 6 ∃a ∈ R]
(c) due soluzioni; [a = 0 , a > 1]
(d) tre soluzioni; [a = 1]
(e) quattro soluzioni. [0 < a < 1]
10 Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti
Capitolo II
Equazioni e disequazioni
trascendenti
1 Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche
Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni:
(a) (log x − 1)
(^23) =^13
[ e^1 ±
√ 3 9
]
(b) log (2x + 3) − log (x + 2) = log (1 − x)
[ −3 +
]
(c) log x^ + 2 x − 2
− log x = 0.
[ 3 +
]
Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni:
(a) log 12 (x^2 + 3x + 2) < log 12 (x^2 + x − 2) [x > 2]
(b) log
( 2 x − 3
4 x + 1
) ≤ log (x^2 − 4 x + 3)
[ x > 9 + 6
]
(c) log x − 2 log
) < log (3x^2 − 1)
[ x > 2 3
]
(d) logx (2 − x^2 ) ≥ 0 [ 6 ∃x ∈ R]
- Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche 13
Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni:
(a) e
x (^) − e−x 2 >^1
[ x > log
( 1 +
)]
(b) (ex^ − 1)
( e^2 x^ − 5 ex^ + 6
) ≤ 0 [x ≤ 0 , log 2 ≤ x ≤ log 3]
(c) 2 − ex^ (ex^ − 1)
(^23) ≥ 0 [x ≤ log 2]
(d)
) 4 x (^2) − 1 <
) 3 x (^2) +2x+ [x < − 1 , x > 3]
(e)
) 2 x− 3
8 [x < 0]
(f ) 5 x^ + 5
x 2 < 2. [x < 0]
3 Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche
Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni:
(a) sin^3 x − 1 = 0
[ (^) π
2 + 2kπ ,^ ∀k^ ∈^ Z
]
(b) sin (3x − 2) = (^12)
[ (−1)k^ π 18
+^2
, ∀k ∈ Z
]
(c) sin x − cos 2x = 2.
[ (^) π 2
+ kπ , ∀k ∈ Z
]
Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni:
(a) cos π 2
x > − 1 2
[ − 4 3
+ 4k , ∀k ∈ Z
]
(b) cot
( (^3) x + π 2
)
− 1
[ (2k − 1)
π 3 < x <
π 2 + (2k^ −^ 1)^
π
3 ,^ ∀k^ ∈^ Z
]
14 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti
(c) cos x(1 − 2 sin x) > 0 [ (^) π 6
π + 2kπ < x < 5 6
π + 2kπ , ∀k ∈ Z
]
(d) 1 + 2 sin 2x ≥ 0 , −π ≤ x ≤ π [ −π ≤ x ≤ − 5 12
π , − π 12
≤ x ≤ − 7 12
π , 11 12
π ≤ x ≤ π
]
(e) √ cos^ x 2 cos x − 1
2 ,^ −π < x < π
[ −
π 3 < x <
π 3
]
(f ) 5 4
sin^2 x +^1 4
sin^2 2 x > cos 2x , −π < x < π
[ − 5 6
π < x < − π 6
, π 6
< x < 5 6
π
]
(g)
5 − 2 sin x ≥ 6 sin x − 1 , 0 ≤ x ≤ 2 π
[ 0 ≤ x ≤ π 6
π ≤ x ≤ 2 π
]
(h) (^) 1 + 2 cos^1 −^ 2 sin^ xx ≤ 0 , 0 ≤ x ≤ 2 π
[ (^) π 6 ≤^ x <^
3 π ,^
6 π^ ≤^ x <^
3 π
]
(i) tan
1 + x^2
) ≥ 1.
[ −
√ 4 − π π ≤^ x^ ≤
√ 4 − π π
]
