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Matematica
Primo capitolo
Simboli
- ∈ (appartiene) / ∉ (non appartiene) - ⊆ (…è contenuto in…) / ⊂ (… è contenuto propriamente in …)
Insiemi
- = se hanno gli stessi elementi
- ∅ insieme vuoto
- U è l’insieme di ambiente o universo nel quale si prende l’insieme (l’insieme delle vocali si ha come U l’alfabeto)
- Le Tra due insiemi ci può essere una corrispondenza (detta anche relazione):
- Univoca: ad un elemento di A è associato UNO E UN SOLO elemento di B
- Biunivoca (chiamata anche della trasformazione): quando un elemento di un insieme corrisponde UNO E UNO SOLO dell’altro e viceversa
- INTERSEZIONE: gli elementi appartengono contemporaneamente a 2 o + insiemi A ∩ B ={. ..}
- UNIONE: è l’insieme di entrambi gli elementi degli insiemi A ∪ B ={. .. }
- Operazioni: Priorità: 1. Parentesi 2. potenze e radici 3. Moltiplicazioni e divisioni 4. Addizioni e sottrazioni Divisioni:
- Possono essere con resto o senza resto
- a:b a = divisibile/multiplo e b= divisore/fattore
- Esistono dei criteri di divisibilità
- Un numero è sempre divisibile (se è senza resto) per se stesso e per l’unità (1)
Numeri primi
Sono numeri ¿ di 1 che hanno come divisori solo se stessi e 1 0 e 1 non sono numeri primi
Scomposizione in fattori primi
Si utilizza il metodo delle divisioni successive
M.C.D iv (massimo comun divisore)
Procedimento:
- si scompongono in fattori primi i numeri
- si calcola la moltiplicazione dei numeri primi in comune ottenuti dalla scomposizione (ciascuno preso una volta con il più PICCOLO esponente)
m.c.m
Procedimento:
- si scompongono in fattori primi i numeri
- si prendono tutti i numeri a fattori primi e non una sola volta (ciascuno preso una volta con l’esponente MAGGIORE) e si fa la moltiplicazione tra questi
Numeri
- Interi Relativi: Sono i numeri interi positivi e negativi e lo zero - Valore Assoluto (I I) : | a |={ − a , ∧ x < 0 a , ∧ x ≥ 0 1. Opposti: Due numeri relativi con lo stesso valore assoluto ma con segni opposti 2. Concordi: Due numeri relativi con lo stesso segno 3. Discordi: Due numeri relativi con segno opposto 4. Uguali: Due numeri relativi che hanno lo stesso segno e lo stesso valore assoluto - Razionali: Sono le frazioni
Frazione: irriducibile o ridotta ai minimi termini quando i termini della frazione sono numeri
primi
- Problemi con lo sconto: sconto= costo * tasso di sconto - problemi con interesse: interesse= capitale * tempo * tasso interesse - problemi con variazione %: variazione^ di^ %=^ nuovo ammontare − ammontare originale ammontare originale
questo tipo di problema mi darà come risultato una % se è positiva ci sarà un incremento altrimenti un decremento
Potenze di numeri razionali
- a n = a, base n, esponente Base positiva: valore potenza positivo Base negativa: potenza positiva se l’esponente è pari, poteva negativa se l’esponente è dispari - potenze base: 1. (^) a^1 = a 2. 0 n^ = 0 con n ≠ 0 3. 1 n^ = 1 4. (^) am ∗ an^ = (^) a ( m +^ n ) 5. (^) a^0 = 1 6. a − n =
a n
a m a n = a ( m − n )
- (^) ( a ∗ b ∗ c ) n = an ∗ bn ∗ cn
- (^) a^1 = a (^) ( a b ) n = a n b n con b^ ≠^0
10. ( am^ )
n = a mn
Secondo capitolo
Algebra Classica
Monomi
- è un’espressione algebrica dove non ci sono addizioni o sottrazioni - Monomio intero: dove le lettere non sono al DENOMINATORE, Grado monomio intero: complessivo (somma esponenti lettere) o relativo alla lettera (esponente con cui la lettera compare) - Monomi simili= hanno stessa parte letterale, tra questi si può fare la somma e come risultato si avrà la stessa parte letterale (questa essendo uguale non va sommata ma riscritta com’è) ma con i coefficienti sommati - Prodotto tra monomi: si moltiplicano i coefficienti e le lettere - Quando si eleva a potenza un monomio si eleva tutto il monomio (coefficienti e parte letterale compresi) - Monomio divisibile per un altro quando ce n’è un terzo che moltiplicato per il secondo da il primo
A : B = Q A = B ⋅Q
- M.C.D = faccio la scomposizione in fattori primi prendo i numeri in comune con il più piccolo esponente ma prendo anche le lettere in comune con il più basso esponente - m.c.m = faccio la scomposizione dei numeri prendo tutti i numeri comuni e non con esponenti più altri e faccio la stessa cosa per le lettere Polinomi - sono formati dalla somma di più monomi non simili tra di loro - Binomi: polinomi da due termini Trinomi: polinomi con tre termini - Grado polinomio: prendo il monomio con grado più altro, in base al grado di questo monomio determino il grado del polinomio - Polinomio omogeneo: costituito da monomi con stesso grado - Somma: si può fare se all’interno del polinomio ci sono MONOMI SIMILI, vanno addizionati quelli il resto non si può addizionare - Moltiplicazione: si fa la moltiplicazione tra tutti i membri del primo polinomio con il secondo - Divisione: si può fare quando tutti i termini (monomi) del polinomio sono divisibili per il monomio dato - Prodotti notevoli ( ( a + b ) 0 = 1 ) - Esistono diversi tipi di raccoglimento per i polinomi:
- scomposizione in fattori di un polinomio, procedimento: Calcolo il M.C.D. tra i monomi dei polinomi Moltiplico il M.C.D per il polinomio diviso per il M.C.D, esempio: 15 x 6 − 25 x 4
- 5 x 3 = 5 x 3 ( 3 x 3 − 5 x − 1 )
- La frazioni con la denominatore un radicale possono essere RAZIONALIZZARE (eliminare dal denominatore i numeri irrazionali)
Quarto capitolo
- Un’ espressione algebrica letterale: è un’espressione che contiene lettere e ha valori diversi in base ai valori delle lettere.
- IDENTITà: è un’uguaglianza di espressioni algebriche letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere
- EQUAZIONE: si die equazione quando, invece, è verificata solamente per certi valori delle lettere
Equazioni
- le lettere prendono il nome di incognite - risolverla, significa trovare dei valori delle incognite per far si che diventi un’identità - soluzione dell’equazione = rappresentata da tutti i valori che soddisfano l’uguaglianza - può essere: impossibile: non ammette soluzioni reali: (^) x^2 =− 4 indeterminata: ha infine soluzioni Determinata: ammette un numero finito di soluzioni: (^) x^2 = 16 - Classificazione equazioni: numerica: oltre l’incognita non contiene altre lettere: 2 x + 1 = 0 letterale: oltre l’incognita contiene altre lettere (che si considerano costanti): x + a = 2 intera: l’incognita non compare al denominatore: x 2
frazionaria: incognita compare al denominatore:
x 2 +^ x =^1 irrazionale: l’incognita compare nell’argomento di un radicale: (^) x +√ 3 x + 1 = 0
- Grado equazione: dipende dall’incognita con MAX esponente - Nelle domande a risposta multipla dove chiede la soluzione nelle risposte ci sono varie soluzioni, le prendo e le sostituisco, vedendo qual è quella corretta. - Nelle espressioni algebriche frazionarie, la prima cosa che bisogna fare sono le condizioni di esistenza (C.E.) - Equazioni equivalenti: sono quelle che ammettono la stessa soluzione, si parla di equazioni equivalenti quando si moltiplica, aggiunge, sottrae o divide per entrambi i membri - Equazioni intere di primo grado: sono quelle LINEARI ax^ + b =^0 : a≠0 = l’equazione avrà sempre UNA E UNA SOLA soluzione
nome b ≠ 0 = l’equazione è IMPOSSIBILE b = 0: l’equazione è INDETERMINATA
- Nelle equazioni frazionarie di primo grado bisogna stare attenti al C.E. - Equazioni incomplete di secondo grado, a x 2 + bx + c = 0 : esistono tre casi:
- Sistemi di equazioni: formati da diverse equazioni, la SOLUZIONE del sistema è l’insieme delle coppie di valori numerici che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni costituenti il sistema. Grado di un sistema: è il prodotto dei gradi delle equazioni che lo costituiscono Metodo di risoluzione: sostituzione, confronto, riduzione Non esiste un sistema lineare con due o tre soluzioni!
Quinto capitolo
Disequazioni
- È una disuguaglianza tra due espressioni algebriche letterali verificata solo per i valori assegnati alle lettere - Risolverla = trovare tutti i valori che la soddisfano - Disequazioni equivalenti = hanno la stessa soluzione anche aggiunge, sottraendo, dividendo o moltiplicando per una stessa quantità entrambi i membri - Di primo grado: ax^ + b >^0 oppure^ del^ tipo^ ax +^ b <^0 - Segno: A * B > 0, A e B sono concordi A * B < 0, A e B sono discordi - Disequazione frazionaria: l’incognita compare al denominatore, esistono anche frazionarie, dove si studia prima il N e poi il D e successivamente si trovano le soluzioni in comune - Segno di un trinomio di secondo grado e disequazioni
Sesto capitolo
Logaritmi ed Esponenziali
- Equazione esponenziale: equazione dove l’incognita compare all’esponente, quella elementare è della forma: (^) ax = b - Logaritmo: si chiama logaritmo in base a del numero b l’esponente da attribuire alla base a per ottenere il numero b x =log a b se e solo se a x = b il logaritmo in base a dell’argomento b esiste SE E SOLO SE sono verificate le tre condizioni: a >0, a≠0 e b>0. Il logaritmo di un numero negativo non esiste nell’insieme dei numeri reali
- L’insieme dei logaritmi di tutti i numeri reali e positivi prende il nome di sistema dei logaritmi in base a - Logaritmi decimali: hanno come base 10: log^ x corrisponde^ a^ log 10 x - Logaritmi naturali o (neperiani): ln^ x =log e x , dove e=2,
