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INSIEMISTICA
DEFINIZIONE
Un insieme (famiglia, collezione, classe) è un concetto primitivo. Esso è un agglomerato di oggetti, detti elementi. UGUAGLIANZA DI DUE INSIEMI Due insiemi A e B sono uguali (A=B) se contengono gli stessi elementi. Un sottoinsieme di un insieme A è un insieme B tale che ogni suo elemento appartiene ad A (insieme vuoto e insieme A sono sottoinsiemi impropri di A, tutti gli alti sono sottoinsieme propri) PROPR. Un insieme A coincide con un insieme B (A=B) se e solo se A contiene B e B contiene A. OPERAZIONI SU INSIEMI DEF. Dati due insiemi A e B si dice UNIONE (SOMMA LOGICA) di A e B l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad A oppure a B DEF. Dati due insiemi A e B si dice INTERSEZIONE (PRODOTTO LOGICO) di A e B l’insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B. (Se l’intersezione è l’insieme vuoto A e B si dicono disgiunti) DEF. Dati due insiemi A e B si dice DIFFERENZA tra A e B (A\B) l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad A ma non a B DEF. Dati due insiemi A e B si dice PRODOTTO CARTESIANO di A per B (AxB) l’insieme formato dalle coppie ordinate (a,b) dove il primo elemento appartiene ad A ed il secondo elemento appartiene a B. Il prodotto cartesiano di due insiemi non gode della proprietà commutativa, cioè AxB≠BxA Il prodotto cartesiano di AxA si dice QUADRATO CARTESIANO di A (A 2 )
∆(A)=Diagonale di A = sottoinsieme di AxA le cui coppie hanno lo stesso elemento al primo e secondo posto (a,a) DEF. L’insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A si chiama insieme delle parti di A PROPR. DELLE OPERAZ.:
- Commutativa dell’unione e dell’intersezione
- Associativa dell’unione e dell’intersezione
- Distributiva dell’unione rispetto all’intersezione e dell’intersezione rispetto all’unione
- Leggi di De Morgan FUNZIONI DEF. Dati due insiemi non vuoti A e B, una funzione (applicazione/mappa) da A in B è una legge (corrispondenza) che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. (Funzione=terna formata da 2 insiemi e 1 legge) DEF. Data una funzione definita da A in B, l’insieme A è detto DOMINIO della funzione (domf). Il CODOMINIO della funzione (codomf) è il sottoinsieme dell’insieme B formato da tutti gli elementi di B che sono corrispondenti di qualche elemento di A. Il GRAFICO (DIAGRAMMA) della funzione (Gf) è l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (a,b) appartenenti al prodotto cartesiano di AxB tale che l’elemento b è immagine dell’elemento a in B. (Il grafico della funzione definita da A in B è sottoinsieme del prodotto cartesiano di AxB). DEF. Una funzione definita da A in B si dice INIETTIVA se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B Una funzione definita da A in B si dice SURIETTIVA se ogni elemento di B è corrispondente di qualche elemento di A (codomf=B) Una funzione definita da A in B si dice BIUNIVOCA (BIIETTIVA) se è sia iniettiva che suriettiva
PROPRIETA’
Una relazione binaria su A può godere di certe proprietà. Essa è:
- RIFLESSIVA (unaria) se ogni elemento di A è in relazione con sé stesso
- SIMMETRICA (binaria) se per ogni coppia di elementi a e b di A se a è in relazione con b allora b è in relazione con a (o se a non è in relazione con b allora b non è in relazione con a)
- ANTISIMMETRICA (binaria) se per ogni coppia di elementi a e b di A se a è in relazione con b e b è in relazione con a allora a=b. (Non esistono elementi distinti di A tali che a sia in relazione con b e b sia in relazione con a)
- TRANSITIVA (ternaria) se per ogni tre elementi a, b, c (non necessariamente distinti) di A se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora a è in relazione con c
- COMPLETA (TOTALE) se per ogni coppia di elementi distinti a, b esiste almeno una relazione tra loro, cioè a è in relazione con b o b è in relazione con a. DEF. Una relazione binaria R su A è detta RELAZIONE DI EQUIVALENZA (BIVALENZA) SU A se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva (RST). DEF. Dato un insieme non vuoto A, un sottoinsieme F dell’insieme delle parti di A si dice PARTIZIONE DI A se: -per ogni insieme F appartenente a F tale insieme F non è vuoto (ogni insiemi F contiene almeno un elemento) -ogni elemento a di A appartiene ad uno e un solo insieme F di F (tutti gli elementi di A sono contenuti in insiemi F e questi sono disgiunti, ovvero non hanno elementi di A in comune) I sottoinsiemi F della partizione di A sono detti CLASSI DELLA PARTIZIONE TEOREMA Esiste una corrispondenza biunivoca tra una partizione di un insieme A e le relazioni binarie su A associate a tale partizione
TEOREMA
Dato un insieme non vuoto A -se F è una partizione di A allora esiste una relazione di equivalenza RF indotta da F -se R è una relazione di equivalenza su A, allora esiste una partizione FR di A indotta da R Dato un insieme A non vuoto -ad ogni relazione d’equivalenza su A corrisponde una ed una sola partizione di A -ad ogni partizione di A corrisponde una e una sola relazione d’equivalenza su A DEF. Sia R una relazione d’equivalenza su A. L’insieme che ha per elementi le classi della partizione dell’insieme A è l’INSIEME QUOZIENTE di A rispetto a R (A/R) RELAZIONI D’ORDINAMENTO Una relazione binaria R su A si dice RELAZIONE D’ORDINAMENTO PARZIALE se gode di proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Se essa gode anche di proprietà di completezza è una RELAZIONE D’ORDINAMENTO TOTALE. Un insieme A su cui è definita una relazione d’ordinamento parziale si chiama INSIEME PARZIALMENTE ORDINATO. Se su esso è definita una relazione d’ordinamento totale è detto INSIEME TOTALMENTE ORDINATO
CALCOLO COMBINATORIO
Scopo: Dato un insieme finito A, trarre e contare altri insiemi da A secondo una certa regola (secondo qualità, ordine e ripetizione degli elementi selezionati) DISTRIBUZIONI SEMPLICI DISPOSIZIONI SEMPLICI DEF. Dato un insieme A finito con n elementi, fissato un numero naturale k maggiore o uguale a 1 e minore o uguale a n, si chiamano DISPOSIZIONI SEMPLICI degli n
Dato un insieme A finito con n elementi, fissato un numero naturale k maggiore o uguale a 1 e minore o uguale a n, si chiamano COMBINAZIONI SEMPLICI degli n elementi di A DI CLASSE k (Cn,k) tutti i raggruppamenti non ordinati formati da k elementi distinti di A. TEOREMA Il numero delle combinazioni semplici di n elementi di A di classe k è dato dal numero di disposizioni semplici di n elementi di classe k diviso il numero di permutazioni semplici di k elementi. Cn,k = Dn ,k Pk = n! k! ( n − k )! NOTAZ. Ogni combinazione semplice di n elementi di classe k tali che k è minore o uguale a n, è uguale al COEFFICIENTE BINOMIALE “n sopra k”, che è uguale a n! ( n − k )! k! PRPOPRIETA’ SIMMETRIA DEI COEFFICIENTI BINOMIALI: “n sopra k” è uguale a “n sopra n-k” FORMULA DI STIFEL: “n sopra k” è uguale a “n-1 sopra k-1” più “n-1 sopra k” DISTRIBUZIONI CON RIPETIZIONE DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE Dato un insieme finito A di n elementi e fissato un numero naturale k diverso da 0 e non necessariamente minore o uguale a n, si dicono DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE degli n elementi di A DI CLASSE k (Dn,k (r) ) tutti i raggruppamenti ordinati formati da k elementi, uguali o distinti, tra gli n elementi di A TEOREMA Il numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k è dato da n elevato a k (n k ) PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE DEF. Dato un insieme finito A di n elementi, si dicono PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE (Pr1,r2,…rn (r) ) degli elementi di A presi, rispettivamente r 1 volte, r 2
volte, …, rn volte, tutti i raggruppamenti ordinati formati con tali r 1 + r 2 + …+ rn elementi di A TEOREMA Il numero di permutazioni con ripetizione di n elementi in cui il primo è ripetuto r 1 volte, il secondo r 2 volte, …, l’n-imo rn volte, è dato dal fattoriale della somma delle volte che ogni elemento è ripetuto, diviso il prodotto dei fattoriali delle volte che ogni elemento è ripetuto. Pr1,r2,…rn (r) = ( r 1 + r 2 + … + r n )! r 1_! r_ 2_! … r n!_ COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE Dato un insieme finito A di n elementi e fissato un numero naturale k diverso da 0 e non necessariamente minore o uguale a n, le COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE degli n elementi DI CLASSE k (Cn,k (r) ) sono tutti i raggruppamenti non ordinati formati da k elementi, uguali o distinti, tra gli n elementi di A TEOREMA Il numero di combinazioni con ripetizione di n elementi di classe k è uguale al numero di combinazioni semplici di (n+k-1) elementi di classe k, cioè il prodotto di n per tutti i numeri naturali successivi fino a (n+k-1), diviso k! BINOMIO DI NEWTON (a+b) n Dati due numeri reali a e b e un numero naturale n diverso da 0, (a+b) n =
k = 0 n
n
k )
a n − k b k
INSIEMI NUMERICI
DEF.
Gli INSIEMI NUMERICI sono insiemi che hanno per elementi numeri reali. Quindi sono sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali. Un insieme numerico X si dice LIMITATO SUPERIORMENTE se esiste un numero reale k maggiore o uguale ad ogni elemento x di X Un insieme numerico X si dice LIMITATO INFERIORMENTE se esiste un numero reale k minore o uguale ad ogni elemento x di X
In qualunque insieme numerico X l’estremo inferiore è minore o uguale all’estremo superiore Se un insieme numerico Y è incluso nell’insieme numerico X incluso nell’insieme dei numeri reali allora l’estremo inferiore di X è minore o uguale all’estremo inferiore di Y che è minore o uguale all’estremo superiore di Y che è minore o uguale all’estremo superiore di X DEF. In un insieme numerico X limitato, la differenza tra l’estremo superiore e l’estremo inferiore è detta AMPIEZZA DI X Due insiemi numerici X e Y si dicono SEPARATI se ogni elemento x di X è minore o uguale ad ogni elemento y di Y. X è l’INSIEME INFERIORE, Y è l’INSIEME SUPERIORE Due insiemi numerici separati X e Y, con X insieme inferiore e Y insieme superiore sono CONTIGUI se l’estremo superiore di X è uguale all’estremo inferiore di Y DEF. Gli INTERVALLI sono sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali contenenti tutti gli elementi tra il loro estremo inferiore ed il loro estremo superiore L’INTORNO CIRCOLARE DI CENTRO x 0 E RAGGIO ẟ (Iẟ(x 0 )) l’intervallo aperto che ha x 0 - ẟ per estremo inferiore e x 0 + ẟper estremo superiore (che ha per punto medio il numero reale x 0 ) PUNTI PARTICOLARI DEF. Dato un insieme numerico X contenuto nell’insieme dei numeri reali, un numero reale x 0 non necessariamente appartenente a X si dice:
- PUNTO INTERNO A X se esiste un intorno di x 0 interamente contenuto in X
- PUNTO ESTERNO A X se esiste un intorno di x 0 interamente contenuto nell’insieme dei numeri reali meno l’insieme X (complemento di X)
- PUNTO DI FRONTIERA PER X se non è né interno né esterno ad X, cioè ogni intorno di x 0 contiene sia punti di X che punti non di X
- PUNTO DI ACCUMULAZIONE PER X se ogni intorno di x 0 contiene punti di X diversi da x 0
- PUNTO ISOLATO DI X se sta in X e non è di accumulazione per X DEF. Il DERIVATO DI X (DX) è l’insieme di tutti i punti di accumulazione per X La FRONTIERA DI X (FX) è l’insieme di tutti i punti di frontiera per X L’INTERNO DI X (X°) è l’insieme di tutti i punti interni a X La CHIUSURA DI X () è l’insieme X unito alla frontiera di X che è uguale all’insieme X unito al derivato di X DEF. Un insieme numerico X è APERTO se tutti i suoi punti sono interni (X è uguale all’interno di X) Un insieme numerico X è CHIUSO se la frontiera di X è sottoinsieme di X oppure il derivato di X è sottoinsieme di X (quindi se X è uguale alla chiusura di X) TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS Un insieme numerico infinito e limitato ha almeno un punto di accumulazione DEF. Un insieme numerico X è CONVESSO se e solo se per ogni coppia di elementi x 1 e x 2 appartenenti a X il segmento che li unisce è interamente contenuto in X (l’intervallo chiuso con estremi x 1 e x 2 è sottoinsieme di X)
MATRICI
Dato un insieme X (incluso in R) ed mxn suoi elementi uguali o distinti, dicesi MATRICE di tipo mxn il simbolo che si ottiene disponendo gli mxn elementi in una tabella formata da m linee orizzontali dette righe e da n linee verticali dette colonne, racchiusa da due parentesi tonde o quadre Una matrice si dice QUADRATA se il numero di righe è uguale al numero di colonne Una matrice si dice RETTANGOLARE se il numero di righe è diverso dal numero di colonne
Date due matrici A e B della stessa dimensione mxn si dice SOMMA di A e B (A+B) la matrice i cui elementi sono la somma dei corrispondenti elementi di A e B SOTTRAZIONE Date due matrici A e B della stessa dimensione mxn si dice DIFFERENZA di A e B (A-B) la matrice i cui elementi sono la differenza dei corrispondenti elementi di A e B (la matrice somma di A+(-B)) PRODOTTO Date due matrici Amxp e Bpxn tali che il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B si dice PRODOTTO di AxB la matrice di tipo mxn i cui elementi cij si ottengono sommando il prodotto di ogni elemento della riga i-esima della matrice A per il corrispondente elemento della colonna j-esima di B PROPRIETA’ Tutte le matrice con uguale dimensione godono delle seguenti proprietà: COMMUTATIVA A+B=B+A ASSOCIATIVA A+(B+C)=(A+B)+C ESISTENZA DELL’OPPOSTO A+(-A)=-A+A=Ω A+Ω=Ω+A=A (A+B) T =A T +B T DEF. Data una matrice A di tipo mxn e un numero reale λ il PRODOTTO SCALARE di λxA è una matrice di tipo mxn i cui elementi sono dati dal prodotto di λ per i rispettivi elementi di A La MATRICE PERMUTAZIONE Pn (i,j) è la matrice quadrata di ordine n che si ottiene dalla matrice identica di ordine n scambiando le righe o le colonne i- esima e j-esima tra loro. Essa scambia le righe o le colonne della matrice per cui è moltiplicata. Def. Data una matrice quadrata A di ordine n si dice MATRICE INVERSA di A (A
- ) la matrice quadrata di ordine n per cui AA
=A
A=In
Se una matrice A ammette la matrice inversa si dice INVERTIBILE TEOREMA Se esiste la matrice inversa di una matrice allora essa è UNICA TEOREMA Se il prodotto di due matrici quadrate non nulle A e B di ordine n è la matrice nulla allora A e B non sono invertibili TEOREMA Se due matrici quadrate di ordine n A e B sono invertibili allora anche il prodotto di AxB è invertibile e la sua matrice inversa è data dal prodotto dell’inversa di B per l’inversa di A. (AB)
- =B - A - TEOREMA Se la matrice A è invertibile allora anche la sua trasposta è invertibile e l sua matrice inversa è la trasposta dell’inversa di A. (A T )
=(A
) T TEOREMA Se la matrice A è invertibile allora anche l’inversa di A è invertibile e la sua inversa è la matrice A DETERMINANTI La PERMUTAZIONE FONDAMENTALE di un insieme con n elementi appartenenti all’insieme dei numeri naturali escluso 0 è la permutazione in cui tali elementi n sono posti in ordine crescente Data una permutazione di un insieme con n elementi appartenenti all’insieme dei numeri naturali escluso 0, due suoi elementi formano un’INVERSIONE se si presentano in ordine inverso rispetto a quello in cui si presentano nella permutazione fondamentale Una permutazione si dice DI CLASSE PARI se presenta un numero pari di inversioni rispetto alla permutazione fondamentale Una permutazione si dice DI CLASSE DISPARI se presenta un numero dispari di inversioni rispetto alla permutazione fondamentale TEOREMA
DEF.
Data una matrice quadrata A si definisce MATRICE AGGIUNTA di A (A (a) ) la matrice trasposta di quella ottenuta sostituendo ogni elemento di A con il proprio complemento algebrico. TEOREMA(dim) Per ogni matrice A quadrata di ordine n si ha AA (a) =A (a) A=|A|In TEOREMA Per ogni matrice quadrata A esiste la sua inversa se e solo se il determinante di A è diverso da 0 Inoltre si ha che |A
- |=|A| - e A - = A ( a ) ¿ A ∨¿ ¿ DEF. Data una matrice A mxn il RANGO (CARATTERISTICA) di A è l’ordine massimo dei minore quadrati a determinante diverso da 0 che si possono estrarre da A PROPRIETA’ Il rango di una matrice non cambia se:
- Aggiungo o sopprimo una linea di elementi nulli
- Si moltiplicano tutti gli elementi di una linea per una costante diversa da 0
- Si sommano agli elementi di una linea gli elementi corrispondenti di una o più linee ad essa parallele, moltiplicate per costanti arbitrarie
- Si aggiunge o si sopprime una o più linee i cui elementi sono combinazioni lineari degli elementi corrispondenti di altre linee ad essa parallele DEF. Data una matrice A mxn ed un suo minore M rxs (r<m, s<n) si dice ORLATO di M in A una nuova matrice di tipo (r+1)x(s+1) ottenuta aggiungendo ad M una delle m-r righe di A non in M e una delle n-s colonne di A non in M TEOREMA DI PASCAL Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice abbia rango r è che :
- Esiste M minore di A di ordine r tale che il determinante di M è diverso da 0
- Il determinante di P è 0 per ogni P orlato di M SISTEMI LINEARI Si dice EQUAZIONE LINEARE ALGEBRICA NELLE n INCOGNITE x 1 ,x 2 ,…xn l’equazione a 1 x 1 +a 2 x 2 +…anxn=b dove a 1 , a 2 ,…an (coefficienti delle incognite) e b (termine noto) sono numeri reali Una SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE è una n-upla (s 1 , s 2 ,…sn) di numeri reali s 1 per cui risulti a 1 s 1 +a 2 s 2 +…+ansn=b Risolvere le equazioni significa determinare l’insieme delle sue soluzioni Date m equazioni lineari nelle n incognite x 1 ,x 2 ,…xn dicesi SISTEMA LINEARE DI m EQUAZIONI (LINEARI ALGEBRICHE) IN n INCOGNITE il simbolo ottenuto raggruppando con una parentesi graffa le m equazioni date, scritte in sequenza L’insieme S delle soluzioni del sistema è dato da tutte le n-uple di numeri reali (s1, s2,…sn) che soddisfano tutte le equazioni del sisitema Un sistema lineare si dice: POSSIBILE se ammette soluzioni IMPOSSIBILE se non ammette soluzioni OMOGENEO se tutti i termini noti sono nulli (tutte equazioni omogenee)(è sempre possibile perché ammette la soluzione nulla o banale) NON OMOGENEO se almeno un termine noto è diverso da 0 Un sistema lineare possibile si dice: DETERMINATO se ammette una sola soluzione INDETERMINATO se ammette infinite soluzioni MATRICE INCOMPLETA (mxn) (A)= matrice con i coefficienti delle incognite del sistema come elementi VETTORE DELLE INCOGNITE (nx1) (x)= vettore colonna con le incognite del sistema come elementi VETTORE DEI TERMINI NOTI (mx1) (b)= vettore colonna con i termini noti del sistema come elementi
sistema impossibile. Se il rango è uguale al numero n delle incognite il sistema è determinato, se il rango r è minore di n il sistema è indeterminato con infinito elevato alla n-r (gradi di libertà) soluzioni. Un SISTEMA LINEARE PARAMETRICO è un sistema lineare in cui, oltre alle variabili incognite, compaiono anche uno o più variabili-parametri da cui dipendono le eventuali soluzioni del sistema Studiare un sistema lineare parametrico vuol dire determinarne le soluzioni al variare dei parametri in R, dunque determinare per quali valori reali dei parametri il sistema è possibile determinato, possibile indeterminato, impossibile
METRICA
Un SISTEMA DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA r è dato da:
- Un verso positivo di percorrenza su r
- Un punto fissato detto origine O
- Un’unità di misura u Dato un punto qualsiasi P di r dicesi ASCISSA DI P SU r quel numero reale x tale che il suo modulo (valore assoluto) è dato dalla lunghezza del segmento OP diviso l’unità di misura u ed il suo segno è positivo se P segue O, negativo se P precede O Esiste una corrispondenza biunivoca tra punti di r ed elementi di R, quindi si parla di RETTA REALE Si dice MISURA DI AB il numero reale x tale che il suo valore assoluto è uguale alla lunghezza del segmento AB diviso l’unità di misura u ed il suo segno è positivo se AB ha lo stesso verso di r, negativo se ha verso opposto Le unità di misura degli angoli orientati sono:
- GRADO: 1/90 dell’angolo retto
- RADIANTE: angolo al centro di una circonferenza che intercetta un arco uguale al raggio L’ANGOLO TRA 2 RETTE r ed s è il più piccolo angolo di cui deve ruotare in senso antiorario (verso positivo) la retta r intorno al punto di intersezione tra r e s per sovrapporsi ad s in modo che coincidano i due versi. Se tale angolo è 0 oppure π le rette sono parallele, se l’angolo è 90° (π/2) le rette sono perpendicolari Dato un piano un SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO ORTOGONALE nel piano è dato da: -due rette orientate (assi coordinati) x (asse delle ascisse) e y (asse delle ordinate) tali che x e y siano perpendicolari con il punto di intersezione O (origine) -un’unità di misura per x e un’unità di misura per y (in genere una sola u per entrambi) Esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e gli elementi di R 2 , dunque si parla di PIANO REALE EUCLIDEO Dato un punto P nel piano nascono due numeri reali:
- xP (ascissa del punto P) che è la coordinata cartesiana ortogonale del punto Px sull’asse x
- yP (ordinata del punto P) che è la coordinata cartesiana ortogonale del punto Py sull’asse y Esiste una corrispondenza biunivoca tra punti dello spazio ed elementi dell’insieme R 3 Un SISTEMA SI RIFERIMENTO CARTESIANO ORTOGONALE NELLO SPAZIO è dato da:
- un punto fissato O (origine)
- tre rette orientate x, y, z (assi coordinati) tali che:
- x è perpendicolare a y, x è perpendicolare a z, y è perpendicolare a z
- si intersecano in O
