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Elementi di Teoria degli Insiemi,
Alessandro Berarducci
Versione del 20 Maggio 2011. Ancora in corso d’opera
Queste note sono imperfette ed ancora in corso d’opera. Possono essere lette come complemento al testo di K. Hrbackek e T. Jech, Introduction to Set Theory, Macell Dekker, Inc. 1999. Il contenuto del corso corrisponde grosso modo ai primi 10 capitoli dello Hrbacek-Jech pi`u i capitoli 14 e 15. Per la forma normale di Cantor degli ordinali e per le somme infinite di cardinali si veda lo Hrbacek-Jech.
Indice
1 I numeri naturali 2 1.1 Il principio di induzione....................... 2 1.2 Definizioni ricorsive.......................... 4
2 Teoria degli insiemi di Cantor 5 2.1 Equipotenza tra insiemi....................... 5 2.2 Insiemi numerabili.......................... 5 2.3 Non numerabilita dei reali...................... 7 2.4 Relazione d’ordine tra cardinali................... 7 2.5 Somma di numeri cardinali..................... 8 2.6 Prodotto di numeri cardinali.................... 9 2.7 L’insieme delle parti......................... 9 2.8 Esponenziazione di cardinali..................... 9 2.9 Il teorema di Cantor - Bernstein.................. 10 2.10 Il continuoe equipotente alle parti degli interi........... 11 2.11 Paradossi............................... 12
3 Assiomi di Zermelo-Fraenkel 13 3.1 Primi assiomi............................. 13 3.2 Rimpiazzamento........................... 17 3.3 Prodotto cartesiano, relazioni, funzioni............... 17 3.4 Assioma della scelta......................... 18 3.5 Prime conseguenze dell’assioma della scelta............ 20 3.6 Insiemi e classi proprie........................ 21
4 Buoni ordini 21 4.1 Relazioni d’ordine.......................... 21 4.2 Insiemi bene ordinati......................... 22 4.3 Somma e prodotto di buoni ordini................. 22 4.4 Isomorfismi di buoni ordini..................... 23 4.5 Confrontabilit`a dei buoni ordini................... 25 4.6 Tipi d’ordine............................. 26 4.7 Unione di buoni ordini........................ 26 4.8 Lemma di Zorn............................ 27 4.9 Teorema di Zermelo......................... 29 4.10 Teorema di ricursione........................ 29
5 Ordinali 31 5.1 Ordinali di von Neumann...................... 31 5.2 L’ordinale associato ad un buon ordine............... 32 5.3 Induzione e ricursione sugli ordinali................. 33 5.4 Operazioni sui numeri ordinali................... 34 5.5 Cardinali come ordinali iniziali................... 36 5.6 La funzione aleph........................... 36 5.7 ℵα · ℵβ = max{ℵα, ℵβ }........................ 37 5.8 Teorema di K¨onig........................... 38 5.9 Cofinalit`a............................... 39 5.10 Gerarchia di von Neumann..................... 40
1 I numeri naturali
1.1 Il principio di induzione
Le propriet`a fondamentali dell’insieme N dei numeri naturali sono le seguenti.
1.1 Definizione (Assiomi di Peano). N `e dotato di un elemento 0 ∈ N (zero) e di una funzione S : N → N (successore) tali che:
- Due numeri diversi non possono avere lo stesso successore. In altre parole la funzione successore S : N → N
e iniettiva. Questo puo essere espresso in simboli nel modo seguente: ∀x, y(S(x) = S(y) → x = y),
dove x, y variano su elementi di N.
- 0 non `e il successore di alcun numero. In simboli:
∀x(S(x) 6 = 0);
- Vale il seguente principio di induzione. Sia P
e una proprieta sui numeri naturali. Supponiamo che valga P (0) (base dell’induzione), e supponiamo che per ogni x ∈ N se vale P (x) vale anche P (S(x)) (passo induttivo). Allora P vale per tutti i numeri naturali.
principio-del-minimo 1.6 Lemma. Vale il principio del minimo: ogni insieme non vuoto di nu- meri naturali ha un minimo elemento (rispetto all’ordine ≤ sopra definito).
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un insieme non vuoto P di numeri naturali senza un minimo elemento. Consideriamo un tale ipotetico insieme P , e sia Q l’insieme di quei numeri naturali che sono strettamente minori di ogni elemento di P. Chiaramente Q contiene lo 0. Inoltre se Q contiene un numero n deve contenere anche il suo successore S(n), altrimenti per il Lemma ??(iii)]successore S(n) sarebbe il minimo di P. Dunque in base al principio di induzione Q coincide con N. Ma visto che P e disgiunto da Q, ne segue che Pe vuoto, contro le nostre ipotesi.
1.2 Definizioni ricorsive
Assumer`o nel seguito il seguente principio.
1.7. Definizioni per induzione. E possibile definire una funzionef sui nu- meri naturali dando il valore di f (0) e dando una regola H che permette di de- terminare f (n + 1) conoscendo n ed f (n). Piu formalmente, data una funzione H : N ×A → A ed un elemento a ∈ A, esiste una ed una sola funzione f : N → A tale che f (0) = a ed f (n + 1) = H(n, f (n)). Piu in generale si puo ammettere che f (n + 1) dipenda dall’intera successione (f (i) : i ≤ n) dei valori precedenti. In questo caso la definizione prende la forma f (n) = H(n, (f (i) : i < n)) dove H e una funzione data (in questo caso il secondo argomento di He una successione di elementi di A).
La giustificazione (e generalizzazione) di questo principio nel quadro della teoria di Zermelo-Fraenkel `e dato dal teorema di ricursione (Teorema 4.37) che si applica non solo ai numeri naturali ma a qualsiasi insieme “bene ordinato”, ossia un insieme per cui valga il “principio del minimo”.
1.8 Esempio. Possiamo definire per induzione sul secondo argomento la som- ma di numeri naturali nel modo seguente x+0 = x, x+S(y) = S(x+y). Avendo definito la somma possiamo definire il prodotto per induzione sul secondo argo- mento nel modo seguente x · 0 = 0, x · S(y) = x · y + x. Analogamente avendo il prodotto possiamo definire per induzione l’esponenziale: x^0 = 1, xn+1^ = xn^ · x.
1.9 Esempio. La funzione fattoriale `e definita per ricursione da !0 = 1, !(n +
- = (n + 1)!n.
1.10 Esercizio. La successione di Fibonacci e definita da F (0) = F (1) = 1, F (n + 2) = F (n + 1) + F (n). Si mostri che la definizione di F si puo far rientrare nello schema F (n) = H(n, (F (i) : i < n)) scegliendo opportunamente H.
2 Teoria degli insiemi di Cantor
2.1 Equipotenza tra insiemi
2.1 Definizione. Diciamo che due insiemi X ed Y sono equipotenti se esiste una corrispondenza biunivoca tra di essi.
pari 2.2 Esempio. L’insieme dei numeri naturali N `e equipotente al sottoinsieme dei numeri pari.
Dimostrazione. Una corrispondenza biunivoca `e data dalla funzione che ad ogni numero naturale associa il suo doppio.
Tramite un processo di astrazione associamo ad ogni insieme X un’entita |X| chiamata la cardinalita di X in modo tale che X e equipotente ad Y se e solo se |X| = |Y |, ovvero se e solo se X ed Y hanno la stessa cardinalita. Queste entita sono chiamate numeri cardinali. Ad esempio, supponendo che a, b, c siano oggetti distinti, possiamo considerare il numero 3 come la cardinalita dell’insieme {a, b, c}. Chi abbia familiarita con le classi di equivalenza puo pensare ad |X| come la classe di equivalenza di tutti gli insiemi equipotenti ad X. Un’altra possibilia, dovuta a von Neumann,e quella di definire X come un particolare rappre- sentante, scelto in modo opportuno, della classe di equivalenza di X. Questa seconda possibilia ha il vantaggio di poter essere sviluppata all’interno della teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo Fraenkel. Per il momento none importante approfondire l’argomento in quanto per i primi risultati parlare di cardinalita sara solo un modo indiretto di parlare di corrispondenze biunivoche.
2.2 Insiemi numerabili
2.3 Definizione. Un insieme e numerabile se puo essere messo in corrispon- denza biunivoca con l’insieme N dei numeri naturali. La cardinalit`a degli insiemi numerabili viene indicata con il simbolo ℵ 0 (aleph-zero).
Contrariamente a quanto accade per gli insiemi finiti, un insieme infinito pu`o essere messo in corrispondenza con una parte propria di se stesso. Ad esempio abbiamo:
2.4 Proposizione. 1. L’insieme N ha la stessa cardinalit`a di N { 0 }.
- Se aggiungiamo un elemento a ad un insieme numerabile X otteniamo ancora un insieme numerabile. In simboli: ℵ 0 + 1 = ℵ 0.
Dimostrazione. (1) Mandiamo n in n + 1. (2) Mettiamo in corrispondenza biunivoca l’insieme numerabile X con N { 0 }, e al nuovo elemento a associamo il numero 0.
Questi esempi possono essere illustrati nel modo seguente. L’albergo di Hilbert ha infinite stanze, una per ogni numero naturale. L’albergo `e pieno
Dimostrazione. Dato un elemento x di X, sia nx ∈ N il minimo numero nat- urale tale che f (nx) = x. La funzione x 7 → nx manda iniettivamente X in un sottoinsieme di N. Quindi X `e finito o numerabile.
2.12 Teorema. L’insieme Q dei numeri razionali `e numerabile.
Dimostrazione. (Prima dimostrazione) Dato un razionale x ∈ Q scegliamo (m, n) ∈ Z × Z tale che x = m/n. In tale modo abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca tra Q e un sottoinsieme infinito di Z × Z. Ora usiamo il fatto che un sottoinsieme infinito di un insieme numerabile e numerabile. (Seconda dimostrazione) Sappiamo che Z × Ze numerabile. Ora basta con- siderare la funzione surgettiva g : Z × Z → Q che manda (n, m) in n/m se m 6 = 0 e manda (n, m) in un arbitrario elemento di Q se m = 0.
2.3 Non numerabilit`a dei reali.
Indichiamo con R l’insieme dei numeri reali. Per il seguente risultato pre- supponiamo la conoscenza del fatto che ogni numero reale si pu`o scrivere in notazione decimale usando infinite cifre dopo la virgola.
2.13 Teorema. R non `e numerabile.
Dimostrazione. Sia (an : n ∈ N) una successione numerabile di numeri reali an ∈ R. Basta far vedere che, comunque si sia scelta la successione, l’insieme degli an non puo esaurire tutto R, ovvero che esiste almeno un numero reale b ∈ R che non compare tra gli an. A tal fine basta scegliere un b tale che, per ogni n, la n-esima cifra decimale di b differisce da quella di an (ad esempio scelgo un b nell’intervallo (0, 1) tale che la n-esima cifra di be 4 se quella di an e diversa da 4, ede 5 se quella di an `e 4). Tale b differisce da ciascun an per almeno una cifra, e quindi non compare nella successione.
2.4 Relazione d’ordine tra cardinali
2.14 Definizione. Definiamo |X| ≤ |Y | se X e equipotente ad un sottoinsieme di Y , o equivalentemente se esiste una funzione iniettiva da X ad Y. Definiamo |X| < |Y | se sono verificate simultaneamente due condizioni: innanzitutto Xe equipotente ad un sottoinsieme di Y , e in secondo luogo X non `e equipotente ad Y.
Dunque sapendo solamente che X e in corrispondenza biunivoca con un sot- toinsieme di Y , anche se il sottoinsieme fosse proprio potremmo solo concluderne che vale la disuguaglianza debole |X| ≤ |Y | (ad esempio i numeri pari sono un sottoinsieme proprio dei numeri naturali ma hanno la stessa cardinalita. Per ottenere la disuguaglianza stretta |X| < |Y | abbiamo bisogno dell’ulteriore in- formazione che, anche cambiando la corrispondenza, non potremmo in ogni caso ottenerne una biunivoca.
2.15 Proposizione. | N | < | R |.
Dimostrazione. Ovviamente | N | ≤ | R | in quanto N e incluso in R, e avendo dimostrato che R none numerabile deve valere la disuguaglianza stretta.
2.16 Definizione. Indichiamo con c la cardinalita di R. Diciamo che un insieme X ha la cardinalita del continuo se |X| = c, ovvero se esiste una corrispondenza biunivoca tra X e R.
2.5 Somma di numeri cardinali
2.17 Osservazione. Dati due insiemi A e B, esistono due insiemi disgiunti A′, B′^ tali che |A′| = |A| e |B′| = |B|.
Dimostrazione. Basta prendere A′^ = A × { 0 } (l’insieme delle coppie ordinate della forma (a, 0) al variare di a in A) e B′^ = B × { 1 } (l’insieme delle coppie (b, 1) con b in B).
2.18 Definizione. Dati due numeri cardinali κ e λ, definiamo il cardinale κ + λ nel modo seguente. Prendiamo un insieme A di cardinalia κ e un insieme B di cardinalita λ e disgiunto da A. Allora per definizione κ + λ = |A ∪ B|.
Si puo dimostrare che la definizionee ben posta, ovvero che il risultato κ + λ non dipende da come si scelgono gli insiemi disgiunti A, B. Lasciamo la facile verifica al lettore e facciamo invece vedere che non e in generale possibile definire la sottrazione tra cardinali. Supponendo κ ≥ λ, come potremmo definire κ − λ? Saremmo tentati di dire: prendiamo un insieme X di cardinalita κ, e un sottoisieme Y ⊆ X di cardinalita λ, e definiamo κ − λ come la cardinalita della differenza insiemistica X \Y (l’insieme degli elementi di X che non stanno in Y ). Pero se tentiamo di calcolare ℵ 0 − ℵ 0 otteniamo il risultato 0 se prendiamo X = Y = N, e il risultato ℵ 0 se prendiamo X = N e Y = l’insieme dei numeri pari. Quindi la sottrazione none in generale ben definita (sebbene, come vedremo, questi problemi non sorgono se vale la disuguaglianza stretta κ > λ).
2.19 Osservazione. κ ≤ λ se e solo per qualche cardinale μ, λ = κ + μ.
2.20 Teorema. Indichiamo con 0 la cardinalita dell’insieme vuoto, e con 1 la cardinalita di un insieme con un solo elemento. Per numeri cardinali valgono le seguenti leggi.
- κ + λ = λ + κ.
- κ + (λ + μ) = (κ + λ) + μ.
- κ + 0 = κ.
- Se κ 6 = 0, allora per qualche λ, κ = λ + 1.
- Se κ + 1 = λ + 1, allora κ = λ.
Dimostrazione. Per definizione 2κ^ e la cardinalita dell’insieme delle funzioni f da A a { 0 , 1 }. Tale insieme `e in corrispondenza biunivoca con P(A). Basta associare ad ogni f il sottoinsieme degli x in A tali che f (x) = 1.
2.29 Teorema. Per qualsiasi cardinale κ si ha κ < 2 κ.
Dimostrazione. κ < |P (κ)| = 2κ.
In particolare non esiste un cardinale pi`u grande di tutti.
2.9 Il teorema di Cantor - Bernstein
Il seguente esempio presuppone la conoscenza di R.
2.30 Esempio. Dati due numeri reali a < b, esiste una corrispondenza biuni- voca tra l’intervallo aperto (a, b) e l’intervallo chiuso [a, b].
Dimostrazione. Supponiamo per semplicita a = − 1 , b = 1. Ovviamente esiste una funzione iniettiva da (− 1 , 1) verso [− 1 , 1] (l’inclusione) e una funzione ini- ettiva nel verso opposto, ad esempio quella che manda x in x/2. Per trovare una funzione biunivoca f : [− 1 , 1] → (− 1 , 1) definiamo f (x) = x/2 se xe della forma ± 1 / 2 n^ per qualche n ∈ N, e f (x) = x altrimenti.
2.31 Teorema. Se due insiemi sono ognuno in corrispondenza biunivoca con una parte dell’altro, allora si pu`o trovare una corrispondenza biunivoca tra i due. In altre parole se |A| ≤ |B| e |B| ≤ |A|, allora |A| = |B|.
Dimostrazione. Siano f : A → B e g : B → A funzioni iniettive. Vogliamo dimostrare che |A| = |B|. Sia B′^ ⊆ A l’immagine della funzione g. Chiaramente |B| = |B′|. Basta quindi dimostrare |A| = |B′|. Questo e chiaro se A = B′. Nel caso contrario troveremo una corrispondenza biunivoca tra A e B′ facendo scorrere certi punti lungo certe successioni. A tal fine sia h : A → B′^ la composizione g ◦ f. Consideriamo un punto qualsiasi x ∈ A \ B′^ e sia O(x) l’orbita di x tramite h, ovvero l’insieme degli elementi della successione x, h(x), h(h(x)), h(h(h(x)))),... il cui n+1-esimo termine hn+1(x) si ottiene per ricursione applicando h all’n-esimo termine hn(x). Equivalentemente possiamo definire O(x) come l’intersezione di tutti i sottoinsiemi di A che contengono x e sono chiusi per h. Osserviamo che tutti i punti di O(x) tranne x stesso appartengono ad B′. In base alle definizioni se z ∈ O(x) anche h(z) ∈ O(x). Viceversa dall’iniettivita di h otteniamo facilmente che se h(z) ∈ O(x), allora z ∈ O(x). (Dimostrazione: h(z) non puo essere x in quanto x ∈ A \ B′^ e l’immagine di he contenuta in B′. Quindi h(z) = hn+1(x) per qualche n e dall’iniettivita di h segue che z = hn(x).) Ne segue che se parto da un altro punto y ∈ A \ B′, gli insiemi O(y) e O(x) sono disgiunti. Possiamo allora definire una funzione biunivoca T : A → B′^ ponendo T (a) = h(a) se a ∈ O(x) per qualche x ∈ A \ B′^ (necessariamente unico), e T (a) = a negli altri casi. Tale Te la bigezione richiesta (verificare!).
Usando il teorema di Cantor-Bernstein si dimostra:
2.32 Esercizio. Se in una successione finita di disuguaglianze |A 1 | ≤ |A 2 | ≤
... ≤ |An| abbiamo |An| = |A 1 |, allora tutti gli Ai hanno la stessa cardinalit`a.
2.33 Esercizio. Se in una successione finita di disuguaglianze |A 1 | ≤ |A 2 | ≤
... ≤ |An| c’`e almeno una disuguaglianza stretta, allora |A 1 | < |An|.
Dimostrazione. Chiaramente |A 1 | ≤ |An| e se avessimo |A 1 | = |An| per l’eser- cizio precedente tutti gli Ai avrebbero la stessa cardinalit`a.
2.34 Esercizio. Qualunque intervallo aperto (a, b) non vuoto di R ha la stessa cardinalit`a di R (proiezione stereografica).
2.10 Il continuo `e equipotente alle parti degli interi
2.35 Fatto. Il campo R dei numeri reali verifica, oltre agli assiomi dei campi ordinati, le seguenti propriet`a.
- (Assioma di Archimede) Il sottoinsieme Q dei numeri razionali
e denso in R, ovvero tra due elementi di R c’e sempre un elemento di Q. - (Assioma di continuit
a) Ogni insieme X ⊆ R limitato superiormente ha un estremo superiore (ovvero tra gli elementi maggiori di ogni elemento di X ve nee uno minore di tutti gli altri).
Dall’assioma di Archimede otteniamo:
2.36 Lemma. c ≤ 2 ℵ^0.
Dimostrazione. Consideriamo la funzione f : R → P(Q) che associa ad ogni r ∈ R l’insieme {x ∈ Q | x < r}. La funzione f `e iniettiva perch´e i razionali sono densi in R. Ne segue che | R | ≤ |P(Q)| = 2ℵ^0.
Dall’assioma di continuit`a otteniamo:
2.37 Lemma. 2 ℵ^0 ≤ c.
Dimostrazione. Data una successione binaria a = (ai|i ∈ N) (con ai ∈ { 0 , 1 } per ogni i) associamo ad a il numero reale xa = Σi∈Nai 10 i^ (definito come il sup su n delle somme parziali finite Σi≤nai 10 −i). La funzione che manda a in xa e iniettiva. Siccome la cardinalita dell’insieme delle successioni binarie e 2ℵ^0 , otteniamo la disuguaglianza cercata (attenzione: in generale un numero reale puo avere due sviluppi decimali diversi, ma questo pu`o capitare solo se uno degli sviluppi finisce con un 9 periodico, mentre noi ci siamo limitati a sviluppi in cui compaiono solo le cifre 0 ed 1).
Mettendo insieme le due disuguaglianze otteniamo:
2.38 Teorema. c = 2ℵ^0.
2.45 Teorema (Paradosso di Russell). Non esiste un insieme R tale che R = {x | x 6 ∈ x}.
Dimostrazione. Se R = {x | x 6 ∈ x}, allora R ∈ R se e solo se R 6 ∈ R. Assurdo.
3 Assiomi di Zermelo-Fraenkel
I paradossi della teoria intuitiva degli insiemi possono essere evitati rifondan- do la teoria su basi assiomatiche. Nello scrivere gli assiomi useremo i simboli logici ∀, ∃, ∧, ∨, ¬, →, ↔, =, le variabili, e il simbolo di appartenenza ∈ (l’unico simbolo “non logico” della teoria). Per quanto riguarda il significato e l’uso di questi simboli, assumeremo una certa familiarita con le regole per manipolare i connettivi, l’uguaglianza, e i quantificatori ∀, ∃. In particolare diamo per note le tavole di verita dei connettivi booleani ∧, ∨, ¬, →, ↔. Per il simbolo ∈ va invece fatto un discorso a parte. Il simbolo ∈ rappresenta una relazione bina- ria tra oggetti che chiamiamo insiemi. Se vale x ∈ y diciamo che l’elemento x appartiene all’insieme y. Tutte le variabili variano su “insiemi”, e gli ele- menti di un insieme sono essi stessi insiemi. Non assumiamo alcuna propriea dell’appartenenza ∈ se non quelle che verranno esplicitate dagli assiomi. Nello scrivere alcuni degli assiomi (comprensione e rimpiazzamento) faremo uso della nozione semi-formale di “proprieta”. Le proprieta che ci interessano sono quelle che possono essere espresse da formule ben formate che usano esclusivamente i simboli ∀, ∃, ∧, ∨, ¬, →, ↔, =, ∈ e le variabili. Possiamo quindi sostanzialmente identificare le proprieta con le formule di questo linguaggio.
3.1 Primi assiomi
3.1. Assioma di estensionalit`a.
∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y
L’assioma dice che se due insiemi x, y contengono gli stessi elementi allora sono uguali.
3.2 Esempio. L’assioma di estensionalita ci dice in particolare che un numero di telefono non puo essere considerato un insieme di cifre. Ad esempio 223 e 323 sono due numeri di telefono distinti sebbene in essi compaiano le stesse cifre.
Le variabili libere presenti negli assiomi vanno considerate implicitamente quantificate universalemente. Formalmente l’assioma di estensionalit`a dovrebbe quindi essere formulato premettendo davanti alla formula i quantificatori ∀x∀y.
3.3 Definizione. Assumiamo il principio di Leibniz: se x = y allora ogni proprieta P verificata da xe anche verificata da y.
Fissando z e prendendo come P (u) la proprieta z ∈ u, dal principio di Leibniz deduciamo che se x = y allora z ∈ x ↔ z ∈ y. Poich´e ze arbitrario otteniamo
x = y → ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y). Ne segue che nell’assioma di estensionalit`a vale in effetti la doppia implicazione
∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y) ↔ x = y.
3.4 Definizione. Definiamo l’inclusione x ⊆ y tra due insiemi x, y nel modo seguente: x ⊆ y ⇐⇒ ∀z(z ∈ x → z ∈ y).
Se x ⊆ y diremo che x e un sottoinsieme di y. L’assioma di estensionalia equivale a: x ⊆ y ∧ y ⊆ x ↔ x = y.
3.5. Schema di assiomi di separazione Data una formula ϕ(t) abbiamo il seguente assioma:
∀a∃y∀t(t ∈ y ↔ t ∈ a ∧ ϕ(t))
Lo schema di separazione consiste di infiniti assiomi, uno per ogni scelta della formula ϕ(t). Fissata ϕ(t), l’assioma dice che, dato un insieme A, esiste un insieme y i cui elementi sono gli elementi t di A che verificano la proprieta ϕ(t). Tale ye unico per l’assioma di estensionalita e viene indicato con la notazione y = {t ∈ A | ϕ(t)}. . Osserviamo che lo schema di separazione ci permette di creare solamente sottoinsiemi di un insieme A gia dato.
3.6. Assioma dell’insieme vuoto.
∃x∀y(y 6 ∈ x)
Se x verifica ∀y(y 6 ∈ x) diciamo che x e vuoto. L’assioma dice che esiste un insieme vuoto. Per l’assioma di estensionalita ci puo essere un solo insieme vuoto, che denoteremo con ∅. (Per dimostrare l’unicita osserviamo che se u, v fossero entrambi vuoti, allora per ogni t gli enunciati t ∈ u e t ∈ v sarebbero entrambi falsi, e poich´e un enunciato falso implica qualsiasi altro enunciato, la doppia implicazione t ∈ u ⇐⇒ t ∈ v sarebbe sempre vera, da cui per l’estensionalit`a u = v.)
1.4^ 3.7^ Teorema.^ (Inesistenza dell’insieme di tutti gli insiemi) Non esiste un insieme V tale che ∀x(x ∈ V ).
Dimostrazione. Dato un insieme A, definiamo R = {t ∈ A | t 6 ∈ t}. In base alle defizioni R ∈ R se e solo se R ∈ A e R 6 ∈ R. Ne segue che R 6 ∈ A (altrimenti avremmo l’assurdo R ∈ R ↔ R 6 ∈ R). Quindi A non `e un insieme universale. Visto che A era arbitrario ne concludiamo che non esiste un insieme universale.
3.15 Definizione. (Intersezione binaria) Dati due insiemi A, B definiamo la loro intersezione: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} Il fatto che {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} sia un insieme segue dall’assioma di separazione e dal fatto che possiamo riscriverlo nella forma {x ∈ A | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Analogamente possiamo definire l’intersezione di una famiglia non vuota di insiemi:
intersezione 3.16 Definizione. (Intersezione di una famiglia non vuota di insiemi) Dato un insieme non vuoto F (che pensiamo come famiglia di insiemi) la classe {t | ∀X ∈ F (t ∈ X)} e un insieme per l’assioma di separazione (Dimostrazione: preso un qualsiasi A ∈ F tale classee inclusa nell’insieme A e pertanto `e un insieme). Per indicarla introduciamo la notazione ⋂
X∈F
X = {t | ∀X ∈ F (t ∈ X)}
Analizzando la dimostrazione si vede facilmente che non c’e bisogno che F sia un insieme, puo anche essere una classe (l’intersezione sar`a in ogni caso un insieme).
3.17. Assioma dell’insieme potenza.
∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ x)
Fissato x l’insieme y di cui si asserisce l’esistenza e unico per l’assioma di estensionalita e viene chiamato l’insieme delle parti di x. Per denotarlo usiamo la notazione y = P(x) = {z | z ⊆ x}.
3.18. Assioma dell’infinito.
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → y ∪ {y} ∈ x))
Se definiamo 0 = ∅ e definiamo il successore di y come y ∪ {y} vediamo che l’assioma dell’infinito asserisce l’esistenza di un insieme x che contiene 0 ed `e chiuso per successore. x deve dunque contenere gli insiemi definiti come segue:
0 = ∅ 1 = 0 ∪ { 0 } = { 0 } 2 = 1 ∪ { 1 } = { 0 , 1 } 3 = 2 ∪ { 2 } = { 0 , 1 , 2 } etc.
Si noti che l’assioma dell’infinito non dice che esistono infiniti insiemi (l’assioma dell’insieme vuoto, della coppia e dell’unione gi`a ci permette di definire ciascuno degli insiemi 0, 1 , 2 , 3.. .), ma che esiste un singolo insieme x che contiene infiniti elementi.
3.19 Definizione. L’insieme N dei numeri naturali `e definito come l’inter- sezione della classe di tutti gli insiemi che contengono 0 e sono chiusi per successore: N =
X∈F
X
dove F = {x | ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → y ∪ {y} ∈ x)}.
La classe F `e non vuota per l’assioma dell’infinito, e quindi ha senso farne l’intersezione (vedi Definizione 3.16).
Con questa definizione dei numeri naturali in termini insiemistici `e immedi- ato verificare il:
3.20. Principio di induzione: se un insieme x contiene 0 ed e chiuso per successore, allora x contiene tutti i numeri naturali (cioe tutti gli elementi di N).
3.2 Rimpiazzamento
3.21. Schema di assiomi di rimpiazzamento. Data una formula φ(x, y) abbiamo il seguente assioma: se per ogni x esiste un unico y tale che φ(x, y), allora, indicando con F (x) tale y, si ha che per ogni insieme A esiste un insieme B i cui elementi sono tutti e soli gli F (a) al variare di a in A. L’ insieme B viene indicato con la notazione {F (x) | x ∈ A}, o equivalentemente con la notazione {y | ∃x ∈ Aφ(x, y)}, e la proprieta che lo caratterizzae espressa dall’equivalenza
x ∈ {F (a) | a ∈ A} ↔ ∃a ∈ A(x = F (a))
o equivalentemente: x ∈ B ↔ (∃a ∈ A)φ(a, x)
Analogamente al caso degli assiomi di separazione, anche nello schema di rimpiaz- zamento la formula φ pu`o dipendere da altre variabili che svolgono il ruolo di parametri.
3.3 Prodotto cartesiano, relazioni, funzioni
La proprieta fondamentale delle coppie ordinatee la seguente.
(x, y) = (z, w) se e solo se x = z e y = w.
3.22 Teorema. (Coppia di Kuratowski) Definendo (x, y) = {{x}, {x, y}} risul- ta verificata la propriet`a fondamentale delle coppie ordinate. (Sono possibili altre definizioni.)
Dimostrazione. Esercizio.
indiciata 3.31 Osservazione. Ogni insieme A pu`o essere scritto nella forma {ai | i ∈ I}.
Dimostrazione. A = {i | i ∈ A}, quindi basta prendere I = A e ai = i.
3.32. Assioma di scelta. Data una famiglia F = {Ai | i ∈ I} di insiemi non vuoti Ai (per i ∈ I), esiste una funzione f , detta funzione di scelta, che associa ad ogni i ∈ I un elemento f (i) di Ai.
3.33. Assioma di scelta (forma equivalente). Sia F un insieme di insie- mi non vuoti. Esiste allora una funzione f con dominio F e tale che ∀A ∈ dom(f ), f (A) ∈ A.
Indichiamo con la sigla AC l’assioma della scelta. L’equivalenza tra le due formulazioni di AC dipende dall’Osservazione 3.31. La forza dell’assioma della scelta sta nel garantire l’esistenza di funzioni che potrebbero non essere definibili tramite una regola esplicita.
3.34 Esempio. In base all’assioma della scelta esiste una funzione f che dato un insieme non vuoto X ⊆ R di numeri reali restituisce un elemento f (X) dell’insieme X. Sapreste trovare esplicitamente una tale f? (Se pensate di esserci riusciti penso proprio che vi siate sbagliati.) Osserviamo che se invece di sottoinsiemi di R consideriamo sottoinsiemi di N l’esistenza di una tale f `e dimostrabile senza assioma della scelta: dato X ⊆ N non vuoto, basta prendere la funzione definita da f (X) = min X.
3.35 Definizione (Prodotto cartesiano infinito). Data una famiglia indiciata (Ai | i ∈ I) di insiemi Ai, definiamo Πi∈I Ai = {a : I →
i∈I Ai^ |^ (∀i^ ∈^ I)a(i)^ ∈ Ai}.
In altre parole l’insieme Πi∈I Ai ha come elementi le funzioni a = (ai | i ∈ I) con ai = a(i) ∈ I.
3.36 Osservazione. L’assioma della scelta equivale all’affermazione che il prodot- to cartesiano Πi∈I Ai di una famiglia (Ai | i ∈ I) di insieme non vuoti `e non vuoto.
3.37 Osservazione. In base alle regole della logica se nel corso di una di- mostrazione assumiamo la verita di una formula della forma ∃xP (x),e lecito continuare la dimostrazione supponendo di poter “scegliere” un a tale che P (a). Questa forma di ragionamento non presuppone l’assioma della scelta, ma fa parte delle regole della logica sottostante.
3.38 Esempio. Supponendo che A e B siano insiemi non vuoti, possiamo dimostrare che A × B e non vuoto nel modo seguente. Poich´e A, B non sono vuoti abbiamo per definizione ∃x(x ∈ A) e ∃y(y ∈ B). Scegliamo un a tale che a ∈ A e un b tale che b ∈ B (non si richiede l’assioma di scelta!). Allora (a, b) ∈ A × B. Dunque A × Be non vuoto.
3.5 Prime conseguenze dell’assioma della scelta
Il seguente teorema richiede l’assioma della scelta (AC), ed `e in effetti equiva- lente ad esso.
surgettiva^ 3.39 Teorema.^ (AC) Se esiste una funzione surgettiva^ f^ :^ B^ →^ A, allora esiste una iniettiva g : A → B.
Dimostrazione. Per definire g si “sceglie” (usando AC) per ogni a ∈ A un b ∈ B tale che f (b) = a (b esiste per la surgettivit`a di f ) e si pone g(a) = b.
In base al teorema per dimostrare |A| ≤ |B| basta trovare una funzione surgettiva da B ad A.
3.40 Esercizio. Senza AC si dimostri che se esiste una funzione iniettiva g : A → B, allora ne esiste una surgettiva g : B → A.
Nella sua piena generalit`a il seguente risultato richiede AC.
3.41 Teorema. L’unione di una famiglia numerabile {An | n ∈ N} di insiemi numerabili An `e numerabile.
Dimostrazione. Per ipotesi per ogni n esiste una corrispondenza biunivoca g da N ad An. In base ad AC esiste una funzione (gn | n ∈ N) che sceglie una tale g = gn in funzione di n. Definiamo f : N × N →
n An^ ponendo f (n, m) = gn(m). Allora f e surgettiva (e biunivoca se gli An sono disgiunti). Siccome | N × N | = ℵ 0 ne segue che
n An^ `e numerabile. 3.42 Esercizio. Analogamente si dimostra che se |J| ≤ ℵ 0 e |Aj | ≤ ℵ 0 per ogni j ∈ J, allora |
j∈J Aj^ | ≤ ℵ^0. In casi concreti AC non `e necessario, come ad esempio nel seguente esercizio:
3.43 Esercizio. L’insieme Q[x] dei polinomi a coefficienti razionali `e numer- abile.
Siccome ogni polinomio non zero ha un numero finito di radici, ne segue che l’insieme dei numeri algebrici `e numerabile.
scelte-finite 3.44 Esercizio. Se F = {Ai | i < n} ha un numero finito n ∈ N di elementi (dove ammettiamo che gli Ai possano essere infiniti), l’esistenza di una funzione f tale che f (Ai) ∈ Ai (per ogni i ∈ I) pu`o essere dimostrata senza l’assioma della scelta.
Dimostrazione. Dimostriamo il teorema per induzione su n. Per n = 0 non c’e nulla da dimostrare (Fe vuoto, e per f prendiamo la funzione vuota). Per n = 1 la famiglia F ha come unico elemento un insieme non vuoto A. Abbiamo quindi ∃x(x ∈ A). Sia a un tale x (non `e necessario l’assioma di scelta per “scegliere” un tale x). Come f prendiamo allora la funzione che manda A in a.
