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Statistica D-L
Corso di Laurea in Economia AziendaleCorso di Laurea in Economia e Commercio
Università di Firenzea.a. 2017-
Bruno BertacciniEmanuela Dreassi
Capitolo 6
Distribuzioni di Probabilità eVariabili Aleatorie Continue
1
2
Distribuzioni di probabilità continue ^ Una variabile aleatoria continua è una variabile che puòassumere qualunque valore in un intervallo^ ^ spessore di un oggetto^ ^ tempo necessario per completare un lavoro^ ^ temperatura di una soluzione^ ^ altezza di una persona ^ Queste variabili possono potenzialmente assumerequalunque valore ^ Strumento di misura di precisione finita
^ l’insieme dei
possibili valori è finito^ ^ Es. X= lunghezza di un cilindro^ ^ Se il metro misura fino ai centimetri
^ (…, 19 cm, 20 cm, …)
^ Se il metro misura fino ai millimetri
^ (…, 19.8 cm, 19.9 cm,
20.0 cm, 20.1 cm, 20.2 cm,…)
3
Funzione di densità di probabilità ^ Supponiamo di assegnare una probabilità piccola quanto sivuole, ma non nulla, ad ognuno dei punti di un insieme conla cardinalità del continuo (es. l’intervallo [0,1] dei numerireali)^ ^ la somma delle probabilità sarebbe infinita e quindi non potrebbesoddisfare il requisito di essere pari a 1 per l’evento certo ^ Soluzione: assegnare la probabilità agli intervalli ^ Come? Con una
funzione di densità di probabilità
f^ ( )
(^
)^
b ( ) a
P a^
X^ b^
f^ x dx
^
^
4
La probabilità come area
a^ b^
x
L’area ombreggiata sottesa alla curva è laprobabilità che X assuma valori fra f(x)
a^ e^ b
La probabilità di un singolo valore è zero:
(^
(^
(^
(^
)
P^
X
P
b b b
Xa a a X P Xa b P ^
^
^
^
^
^ ^ (^
)^0 P X^
x
5
Proprietà della funzione di densità^ La^ funzione di densità di probabilità
,^ f ( x ), di una
variabile aleatoria X ha le seguenti proprietà:1. f ( x )^ ^
0 per qualunque numero reale
x
2.^ L’area sottesa alla funzione di densità di probabilità
f ( x )
su tutto l’asse dei reali vale 1:
( )^
f^ x dx
Si chiama
supporto della v.a. X
il sottoinsieme dei reali
per cui la densità è positiva
(^ gli integrali possono essere
calcolati sul solo supporto senza alterare il risultato)
Funzione di densità: esempi^ Distribuzionenormale^ Supporto: (
,^ )
Distribuzioneuniforme Supporto:
[ a , b ]
Distribuzioneesponenziale Supporto: (
,^ )
7
La funzione di ripartizione ^ La^ Funzione di ripartizione
(o^ Cumulata
), F(x^0
), di una
variabile aleatoria continua X esprime la probabilità che Xnon superi il valore x
0
0
0
0
(^ )^
(^
)^ x ( )
F x^
P X^
x^
f^ x dx
^
^
^ area sottesa allafunzione di densità f ( x ) fino al valore
x^0
x^ o^
Funzione di ripartizione e probabilità La probabilità corrispondente ad unqualunque intervallo può esseresempre espressa in termini dellafunzione cumulata
F ( ) ^ P( a < X
b ) =^ F (
b ) F ( a ) ^ P( X b
) =^ F ( b ) ^ P( X>a
) = 1^ P(
X a ) = 1
F ( a )
[ricordiamo che in una v.a. continua <equivale a
^ per cui con
F ( ) si calcolano le probabilità per tutti i tipi di intervallo]
F ( b )= area da
^ a^ b F ( a )= area da
^ a^ a
13
La distribuzione Uniforme /1 ^ La^ distribuzione continua Uniforme
è la distribuzione di
probabilità che assegna la
stessa probabilità
a tutti gli
intervalli di stessa ampiezza
a^
x b
f(x)^
L’area totale sottesaalla funzione di densitàdella distribuzioneuniforme è uguale a 1
se a 0 x^ b b^ a f^ x
altrove ^
^
^
La distribuzione Uniforme /2 Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione^0
se ( )^
se^ [ ,
]
x^ a se x^ a F x^
x^ a b b^ a
x b ^
^ ^
Distribuzione Uniforme nell’intervallo [
a , b ]
2 (^2
) 12 b^ a ^
a^ b^2
^
Media^
Varianza
15
La distribuzione Uniforme /
Esempio: Distribuzione di probabilitàuniforme nell’intervallo [2, 6]:^2
x
f(x)
(^642) (^2) b 2 aμ
2)-^ 1.333 12 ( a)-(bσ 12
2 2 2
1 ( )^
0.^
per 2^
f^ x^
x
^
^
^
DistribuzioneNormale
17
La distribuzione Normale /1 ^ E’ la distribuzione più usata perché^ ^ descrive bene molti fenomeni^ ^ ha proprietà matematiche convenienti^ ^ il
teorema limite centrale
afferma che asintoticamente (= al
crescere del numero di osservazioni) la distribuzione della mediacampionaria tende ad una Normale, qualunque sia la distribuzionedi probabilità delle osservazioni
È stata proposta da F.Gauss (1809), che lautilizzò per primo nellostudio degli errori dimisurazione relativi allatraiettoria dei corpi celesti(per questo è chiamataanche^ gaussiana
)^
La distribuzione Normale /2 ^ ‘Forma campanulare’ ^ Simmetrica ^ Media, Mediana e Moda
coincidono La^ tendenza centrale
è determinata dal parametro μ (media)La^ variabilità
è determinata dal parametro σ (deviazione std)La variabile aleatoria ha un campo divariazione teoricamente infinito:da^ ^ a +^
Media= Mediana= Moda
x
f(x)
σ μ
19
La distribuzione Normale /3 Famiglia parametrica di distribuzioni continue su supporto(^ ,^
^ La famiglia Normale è caratterizzata dai due parametri
(^2) e ad es.
N (-8.1, 2.3) e
N (-8.1, 2.4) sono membri
distinti, ma
N (-8.1, -2.3) non è un membro ^ Per ogni coppia (
(^2) , ) la funzione di densità della
Normale è
(^22) 1 (^
) (^22) 1 ( )^
2
x
f^ x^
e
^
^ ^
^
^
2
(^ ,^
)^
[0,^
^
2
~^ (
,^
X^
N^
e^ ^ 2.71828 π^ ^ 3.
La forma della distribuzione Normale
x
f(x)
Cambiando
^ la distribuzione si spostaverso sinistra o destra
Cambiando
^ aumenta o diminuisce la dispersione
Nella distribuzione Normale la media e la varianza sono due parametridistinti^
la varianza non dipende dalla media, come invece accade per molte distribuzioni (es. la binomiale)
Come calcolare le probabilità? /2 ^ Dato che non esiste una formula per la funzione diripartizione è necessario ricorrere ad una^ approssimazione numerica ^ Prima vediamo il calcolo tramite approssimazionenumerica per la Normale Standard (ovvero il membro dellafamiglia con media 0 e dev.std. 1)
^ uso delle tavole
^ Poi affrontiamo il problema per una Normale generica(ovvero con media e dev.std. qualunque)
^ la soluzione si
basa sulla
standardizzazione
(si tratta di riformulare il
problema in termini di Normale Standard)
25
La Normale Standard ^ La^ Normale standard
Z, il membro con media 0 e
varianza 1, funge da “rappresentante” della famiglia funzione di densità: funzione di ripartizione:
(^22)
( )^
x 2
x^
e
^
2 0
2 0
(^ )^
x^ x^2 x^
e dx
^
^
~^ (0,1) Z N
z
f(z)
Approssimazione numerica dell’area^ L’area sottesa alla curva in (
,^ a ] è approssimata dall’area totale dei rettangoli
(con rettangoli più stretti si ottiene un’approssimazione migliore)
27
La tavola della Normale Standard /1 ^ La tavola della Normale standard data nel libro (Tavola1 dell’Appendice) fornisce i valori della funzione diripartizione della distribuzione normale ottenuti tramiteapprossimazione numerica ^ Per un dato valore
a^ di Z, la tavola fornisce F(
a )
(l’area sottesa alla curva da meno infinito al valore
a ) z a 0
( )^
(^ )
F a^
P Z^
a ^
29
La tavola della Normale Standard
/2^ Z
^ La tavola 1 dell’Appendice^ Esempio:P(Z < 2.00) =.
fornisce la probabilità F(
a ) per
qualunque valore
a^ tra^^0
e^ 3.
P(Z < 3.99) è quasi 1
^ la tavola riporta 1. Per un valore più grande di 3.99 la probabilità è ancora più vicinaa 1^ ^ la tavola non riporta il valoreEs. P(Z < 5.22) si approssima con il valore 1
31
La tavola della Normale Standard /3 ^ Per
valori negativi di Z
, usiamo il fatto che la distribuzione
è simmetrica per trovare la probabilità desiderata:
z 0 -2.
Esempio:P(Z < -2.00) = 1 – 0.
z 0 2. .
.0228.
.
In simboli
( z )=
( z )
Standardizzazione ^ Data una qualunque v.a. X con media
e deviazioneX^
standard
, si definisce standardizzata la v.a. ZX^ ^ Per costruzione, si ha
= 0 eZ^
= 1 (si dimostra usandoZ^
le proprietà delle trasformazioni lineari di v.a.) La trasformazione inversa è Caso speciale: Se X
^ N(
(^2) ,), allora ZXX
^ N(0,1)
X X X^ Z ^ ^ X^
X
X^
Z
^
^
37 Z 0.
Esempio coda sinistra: P(X < 8.6)
F(0.12) = 0.
Tavola della distribuzioneNormale standard
= P(Z < 0.12) 0.
P(X < 8.6)
0.^ 0.^ 0.^
…
0.^
0. 0.20.3…
Esempio coda destra: P(X > 8.6) ^ Adesso calcoliamo P(X > 8.6)…
Z 0 0. Z 0.
0
1.^
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1 - P(Z ≤ 0.12)
39
Problemi diretti e inversi ^ Problema diretto: dato un valore di
z^ determinare la
probabilità cumulata
( z ) [in termini geometrici: dato un
punto^
z^ sulle ascisse determinare l’area sottesa alla densità
^ alla sinistra di
z ]
^ Problema inverso: dato un valore
p^ della probabilità
cumulata, determinare il valore
z^ corrispondente, cioè p^
zp
tale che
( z^ ) = p
p^ [in termini geometrici: determinare il punto^
z^ per il quale alla sua sinistra l’area sottesa alla p^ densità
^ è pari ad un certo valore specificato] ^ Finora abbiamo visto solo problemi diretti, adessoconsideriamo alcuni problemi inversi
Problema inverso Passi per trovare il valore di x corrispondente ad una dataprobabilità:1.^ Trovare il valore di Z corrispondente alla probabilità data2.^ Convertire nelle unità di X usando l’inversa dellastandardizzazione, cioè:
X^
Z
^
^
41
Problema inverso: esempio /1 Esempio: ^ Assumiamo che in un certa località la temperatura minimaX abbia una distribuzione Normale con media 8 C° edeviazione std 5 C°. ^ Adesso troviamo il valore di X tale che l’80% dei valorisiano al di sottoL’80% delletemperature èinferiore a ___ C°
?^
X ?8.
Z ? 0
Problema inverso: esempio /
^ 80% di area a sinistracorrisponde al valore Z di0.
Tavola della Funzione diRipartizione Normale
1. Trova il valore di Z corrispondente alla probabilità data
.20^ X
?8.
Z 0.84 0
…^ 0.
… … 0.^
0. …
43
Problema inverso: esempio /
8 5( 0.84)
x^
z ^ ^
^
^
Perciò 80% dei valori di una distribuzione Normale con media 8 edeviazione std 5 sono inferiori a 12.
L’80% delletemperature èinferiore a 12.2 C°
2. Converti in unità di X:
Scala e unità di misura ^ Quando il problema è di tipo inverso si parte dalla Normalestandard per ottenere il valore z desiderato^ ^ z è in scala standard
^ non ha unità di misura
^ Poi si applica la trasformazione inversa dellastandardizzazione,che reintroduce la media
e la deviazione standard X^
X
originali^ ^ x è nella scala originale (kg, cm, secondi, C°,…)
X^
X x^
z
^
^
49
Valutazione dell’ipotesi di normalità /2 ^ Alcuni modi per confrontare la distribuzione osservata conla Normale sono:^ ^ Costruzione di
grafici
per analizzare la forma della
distribuzione (boxplot, istogramma) Calcolo delle
misure di sintesi
e confronto fra le
caratteristiche dei dati e le proprietà teoriche delladistribuzione Normale (la verifica principale consiste nelcalcolare media, mediana e moda dei dati e valutare se sonoapprossimativamente uguali) Verifica della
regola empirica
, calcolando la proporzione di
osservazioni che si discostano dalla media per più di 1 volta,2 volte, 3 volte la deviazione std e confrontando taliproporzioni con le corrispondenti probabilità normali, cioè68%, 95%, 99%
Valutazione dell’ipotesi di normalità /3^ ^ Asimmetria^ ^
I dati possono avere una natura fortemente asimmetrica: in talcaso la distribuzione osservata ha media e mediana moltodiverse Code pesanti I dati possono presentare valori estremi (= lontani dalla media)molto più frequentemente di quanto previsto dalla Normale: in talcaso la proporzione di valori al di fuori degli intervalli del tipo
^ +
La distribuzione Normale può essere inadeguata per varimotivi. Due motivi frequenti sono:^ k^ ^ è sostanzialmente più elevata delle corrispondenti probabilitànormali
51
Valutazione dell’ipotesi di normalità /4 Due avvertenze finali: ^ La distribuzione Normale ha come supporto l’intero assedei numeri reali e quindi assegna probabilità non nulleanche a intervalli di valori negativi, es. [-3.2, 0]^ ^ Molti fenomeni analizzati ammettono solo valori positivi, es. tempo,lunghezza, costo. In tali situazioni la Normale può essere adeguatase l’intervallo
^ + 3^
(che dovrebbe contenere quasi tutte le osservazioni) è tutto su valori positivi, es. [2.3, 8.2] In generale, quando le osservazioni a disposizione sonopoche (diciamo meno di 20) è molto difficile stabile se unacerta distribuzione di probabilità è adeguata o menoperché eventuali forti discrepanze tra ciò che si osserva eciò che prescrive il modello potrebbero esseresemplicemente frutto del caso
Approssimare laBinomiale con la
Normale
53
Approssimare la Binomiale con la Normale /1 ^ Ricorda la distribuzione binomiale:^ ^ n
prove indipendenti probabilità di successo in ogni prova =
p
^ Valore atteso e varianza: ^ Quando
n^ è grande il calcolo delle probabilità cumulate è complesso: es.XB( n =50,
p )^ ^
P(X25) = P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=25)
(^ ) E X^
np
^
2
(^ )^
(^
Var X
np^
p
54
Approssimare la Binomiale con la Normale /2^ ^ Quando
np (1 –^
p ) > 9 la Normale è una buonaapprossimazione per labinomiale
(^
)^ (
)^
(^
) a^ np
P^
a^ P
a
Z^
n^
p
Y^
P^
p
X^
^
^
^
^
^
In tal caso la f. di ripartizione della v.a.
X^ B (
n ,^ p )^ è
molto simile a quella della v.a.
Y^ N (
np ,^ np
(1- p ))
55
Approssimare la Binomiale con la Normale /3 ^ 40% dei cittadini sono favorevoli all’operato del sindaco.Qual è la probabilità che, in un campione di n = 200, ilnumero di favorevoli sia compreso tra 76 e 80 (ovvero lapercentuale di favorevoli sia compresa tra 38% e 40%)?^ ^ E(
X ) =^ μ^ =
np^ = 200(0.40) = 80 ^ Var( X
(^2) ) = σ = np (1 –^
p ) = 200(0.40)(1 – 0.40) = 48 ( notare:
np (1 –^
p ) = 48 > 9 )^76
(^
80)^
( 0.^
(0)^
P^
X^
P^
Z
P^
Z
F^
^ F
^
^ ^
^
^
^
^
^ ^
^
^
^
^
^
Combinazionelineare di
k^ variabili
aleatorie (discrete o
continue)
56
61
Esempio /1 ^ Due mansioni devono essere eseguite dallo stessolavoratore.^ ^ X = minuti per completare mansione 1; μ
= 20, σX
= 5X
^ Y = minuti per completare mansione 2; μ
= 30, σY
= 8Y
^ X e Y sono distribuite normalmente e sono indipendenti Quali sono la media e la deviazione std del temponecessario per completare entrambe le mansioni? Qual èla distribuzione?
Esempio /2^ ^
X = minuti per completare mansione 1; μ
= 20, σX^
= 5X^
^ Y = minuti per completare mansione 2; μ
= 30, σY^
= 8Y^
^ Calcolare media e deviazione std del tempo
W=X+Y
necessario per
completare entrambe le mansioni Siccome X e Y sono indipendenti, Cov(X,Y) = 0, perciò La deviazione std è La distribuzione di
W^ è
20 30
50
W^
X^ Y ^ ^ ^
^
2
2 2
2
2
2 (
,^ )^
(5)^
(8)^
89
W^
X^ Y
Cov X Y
^
^ ^
^
^
^
89 9. ^ ^ W
~^ (50,89) W N
63
Combinazioni lineari di variabili aleatorie
(in GENERALE)
^ Una combinazione lineare di n variabili aleatorieX, X,.. .,X^12
con medie n
μ,^ μ,...^12
μ e varianze n^
(^2) σ,^ σ 12 2 ,.. .,^ σn
2
^ La media di W è ^ La varianza di W è ^ Se le variabili sono distribuite normalmente allora anche lacombinazione lineare W è distribuita normalmente
1 1
...^
n^ n
W^
a^ b X
b X
^
^ ^1
1 [^ ]^
...
W^
n^ n
E W^
a^ b
b
^
^
^
1 2
2 2
2 2
2 2 1
2 2 (^ )^
...^
2
(^ ,^
)
W^
n^ n^
i^ j^
i^ j
Var W^
b^
b^
b^
b b Cov X
X
^
^
^
^
^ ^
^
Combinazioni lineari di variabili aleatorie
(in GENERALE)
^ Quindi particolarizzandoE considerando se le variabili, a coppie, sono indipendenti omeno (quindi la covarianza si annulla) si riottengono tutte leformule viste primaIn particolare da questa formula generale, potrei trovareanche le formule di media e varianza non per unacombinazione lineare di variabili ma per la trasformata di unavariabile
,^ ,...,^1
n a^ b^
b
