Lezione 13: Distribuzioni di Probabilità di Variabili Aleatorie Continue: Normale, Dispense di Statistica

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Lezione 13

Corso di Statistica

Francesco Lagona

Università Roma Tre

Outline

1 variabili aleatorie continue

2 variabile aleatoria normale

variabili aleatorie continue dalla densità alla probabilità

redditi (migliaia di euro)

densità

0.00 5 10 15 20

0.12^ 0.106 0.

redditi (migliaia di euro)

densità

0.00 5 10 15 20

0.12^ 0.106 0.

P( 5 < X < 7 ) =

∫ (^7)

5

f (x )dx = 0_._ 106 × ( 7 − 5 ) = 0_._ 212

P( 7 < X < 14 ) =

∫ (^14)

7

f (x )dx = 0_._ 106 × ( 10 − 7 ) + 0_._ 092 × ( 14 − 10 ) = 0_._ 68

variabili aleatorie continue

dalla funzione di ripartizione alla probabilità

0 5 10 15 20 25

0.^ 0.^ 0.^ 0.^ 0.^

x

F(x)

F (x ) =

∫ (^) x −∞

f (x )dx = P(X ≤ x )

variabile aleatoria normale dall’istogramma alla densità normale

4 classi

x

densità

0.00 0 5 10 15 20

10 classi

x

densità

0.00 0 5 10 15 20

20 classi

x

densità

0.00 0 5 10 15 20

20 classi

x

densità

0.00 0 5 10 15 20

variabile aleatoria normale variabile aleatoria normale

diciamo che una variabile aleatoria continua X a valori sulla retta reale (−∞ , +∞) si distribuisce come una normale di parametri μ e σ^2 , e scriviamo X ∼ N( μ, σ^2 )

se, comunque preso un intervallo della retta (a , b) la probabilitaà di osservare l’evento (a < X < b) è data da

P(a < X < b) =

∫ (^) b

a

f (x ; μ, σ^2 )dx

dove f (x ; μ, σ^2 ) = √^1 2 πσ^2

e−^

1 2 σ^2 ( x^ − μ )

2

è una funzione di densità normale di parametri μ e σ^2

variabile aleatoria normale la densità normale

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

al variare della varianza

densità di probabilità

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

al variare della media

densità di probabilità

variabile aleatoria normale la normale standardizzata

ponendo μ = 0 e σ^2 = 1 si ottiene la densità normale standardizzata N( 0 , 1 ):

f (z) = √^1 2 π

e−^

z 22

la funzione di ripartizione della normale standardizzata è data da

Φ(z) = P(Z < z) =

∫ (^) z

−∞

√^1

2 π

e−^

(^12) z 2 dz

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

0 z

N(0,1)

0.^ 0.^ 0.^ 0.^ 0.^

Φ(z)

0 z

variabile aleatoria normale uso della normale standardizzata

se X ∼ N( μ, σ^2 ) allora

Z =

X − μ σ ∼^ N(^0 ,^^1 )

utilizziamo questo risultato per trasformare le aree sotto una qualunque normale in aree equivalenti sotto la normale standardizzata:

X ∼N( μ, σ^2 ) Z ∼N( 0 , 1 )

P(a < X < b) =P( a^ −^ μ σ

< X^ −^ μ σ

< b^ −^ μ σ

=P(

a − μ σ <^ Z^ <^

b − μ σ ) = Φ

( (^) b − μ σ

) − Φ

( (^) a − μ σ

)

variabile aleatoria normale esempio

sia X ∼ N( 10 , 4 ) la probabilità

P( 8 < X < 12 ) =P( 8 −^10 2

< Z <^12 −^10

) = P(− 1 < Z < 1 )

−10 −5 0 5 10 15 20

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

x

densità

N(0,1) N(10,4)