Scarica statistica- variabili aleatorie continue e più Appunti in PDF di Statistica solo su Docsity!
VARIABILI ALEATORIE CONTINUE
Se X e una variabile aleatoria continua, la probabilita che X assuma un certo valore x fissato e in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilita con lo stesso procedimento seguito per una variabile aleatoria discreta. Nel caso di una variabile aleatoria continua ha senso invece calcolare la probabilit`a che X sia compresa fra a e b , dove a e b sono costanti, con a ≤ b.
Esempio: Un nucleo emette un neutrone, il tempo necessario per l’emissione puo assumere qualunque valore reale posivo. La probabilita che questa avvenga esattamente dopo tre secondi e nulla, ha senso invece assegnare una probabilita per una emissione tra 2,9 e 3,1 secondi.
VARIABILI ALEATORIE CONTINUE
Le variabili aleatorie continue X assumono valori in un intervallo di numeri reali (es. [0, ∞), [0. 4 , ∞), (−∞, ∞), [0,1],...).
Una variabile aleatoria continua e descritta da una funzione ρ(x) detta densita di probabilit`a che assegna ad ogni numero reale x un valore
ρ(x) ≥ 0 ∀x ∈ R
e che soddisfa la condizione ∫ (^) ∞
−∞
ρ(x)dx = 1
Si definisce poi la probabilit`a che X sia compresa fra a e b come
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ (^) b
a
ρ(x)dx ≥ 0
Si puo dimostrare che questa definizione soddisfa gli assiomi della teoria della probabilita.
La condizione
−∞ ρ(x)dx^ =^1 significa che^ l’area^ della^ regione del piano contenuta tra l’asse delle x e il grafico di ρ sia uguale ad 1∫ ed `e coerente con il fatto che ∞ −∞ ρ(x)dx^ =^ P(−∞^ <^ X^ <^ +∞).
Esercizio Un punto viene collocato sul segmento [0,1] con probabilita uniforme. Siamo interessati a conoscere il valore X dell’ordinata corrispondente alla posizione del punto. Uniformita significa che questo numero assume tutti i valori reali in [0,1] con uguale densita di probabilita. Sia α una costante e sia data la funzione:
ρ(x) = α 0 ≤ x ≤ 1 ρ(x) = 0 altrimenti
Determinare il valore di α per il quale e una densita di probabilit`a.
La condizione ρ(x) ≥ 0 , ∀x ∈ R `e soddisfatta per α ≥ 0.
Mentre (^) ∫ ∞ −∞
ρ(x)dx = α
0
dx = α [x]^10 = α
`e uguale a 1 per α = 1.
Esercizio: Si consideri quindi α = 1 e si assuma che 0 ≤ a ≤ b ≤ 1, si calcoli P(a ≤ X ≤ b):
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ (^) b
a
ρ(x)dx =
∫ (^) b
a
dx = [x]ba = b − a.
Si assuma ora a ≤ 0 ≤ b ≤ 1, si calcoli P(a ≤ X ≤ b):
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ (^) b
a
ρ(x)dx =
∫ (^) b
0
dx = [x]b 0 = b.
Si assuma infine a ≤ 0 ≤ 1 ≤ b, si calcoli P(a ≤ X ≤ b):
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ (^) b
a
ρ(x)dx =
0
dx = [x]^10 = 1.
FUNZIONE DISTRIBUZIONE
Definizione. La funzione
F(x) = P(X ≤ x), x ∈ R
e detta funzione distribuzione (o di ripartizione) della v.a. X. Per variabili aleatorie continue si ha P(X ≤ x) = P(−∞ ≤ X ≤ x) quindi usando le nozioni gia acquisite
F(x) = P(X ≤ x) =
∫ (^) x
−∞
ρ(x′)dx′
La densita di probabilita e non negativa per cui la funzione distribuzionee una funzione non decrescente della x.
Esempio: Si consideri la densita di probabilita dell’esercizio (uniformemente uguale a 1 nell’intervallo [0, 1] e nulla al di fuori di esso)
Si consideri x ≤ 0, si calcoli F (x):
F(x) =
∫ (^) x
−∞
ρ(x′)dx′^ = 0.
Si assuma ora 0 ≤ x ≤ 1:
F(x) =
∫ (^) x
−∞
ρ(x′)dx′^ =
∫ (^) x
0
dx′^ =
[
x′
]x 0 =^ x.
Si assuma infine 1 ≤ x:
F(x) =
∫ (^) x
−∞
ρ(x′)dx′^ =
0
dx′^ =
[
x′
] 1
0 =^1.
-0.
0
1
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
funzione di distribuzione
La funzione distribuzione F(x) `e una funzione non decrescente che verifica limx→−∞ F(x) = 0 e limx→∞ F(x) =
−∞ ρ(x)dx^ =^1.
VALORE ATTESO DI UNA FUNZIONE DI X
Sia g una funzione, allora g (X ) e una variabile aleatoria ed il suo valore attesoe dato da:
E(g(X)) =
−∞
g(x)ρ(x)dx
Esempio: si consideri di nuovo la densita di probabilita dell’esercizio (uniformemente uguale a 1 nell’intervallo [0, 1] e nulla al di fuori di esso) e sia g (x) = x^2.
E(g(X)) = E(X^2 ) =
−∞
ρ(x)g(x)dx =
0
x^2 dx =
[
x^3 3
] 1
0
VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD
Definizione. Sia X una variabile aleatoria con valore atteso μ = E(X ), la varianza di X denotata con var(X ) `e
var(X) = E
(X − μ)^2
−∞
(x−μ)^2 ρ(x)dx
Notate che la varianza e sempre non negativa ede uguale a 0 solo se la variabile e certa (puo assumere un solo valore).
Lo scarto quadratico medio o deviazione standard `e invece:
σ =
var(X).
Notare che le tutte le definizioni sono le stesse delle variabile aleatorie discrete, con le somme sostituite dagli integrali.
Notare inoltre la seguente proprieta (chee la stesse della statistica descrittiva): var(aX + c) = a^2 var(X)
Una ulteriore proprieta molto importante (gia vista per le variabili discrete) `e la seguente: se X ed Y sono due variabile aleatorie allora,
Inoltre se se X ed Y sono due variabile aleatorie indipendenti allora,
- var(X+Y)= var (X)+var (Y).
Si tenga presente che per definizione due variabili aleatorie X ed Y si dicono indipendenti se gli eventi {X = x} e {Y = y } sono indipendenti per ogni x, valore di X ed y , valore di Y.
Esercizio: si consideri la densita di probabilita dell’esercizio (uniformemente uguale a 1 nell’intervallo [0, 1] e nulla al di fuori di esso) e sia g (x) = x^2. Calcolare varianza e deviazione standard. Abbiamo gi`a calcolato
μ = E(X) =
, E(X^2 ) =
La varianza, usando la ”formula utile” si ottiene nel seguente modo
var(X) = E(X^2 ) − μ^2 =
Infine lo scarto quadratico medio o deviazione standard `e :
σ =
var(X) =
Nelle scienze a volte si usa la notazione X = μ ± σ, nel nostro caso X = 0, 5 ± 0 , 3.
