Scarica Appunti sulle coniche e quadriche: equazioni, forme canoniche e classificazione e più Appunti in PDF di Geometria I solo su Docsity!
Appunti su coniche e quadriche. 1
Equazione di una conica di R^2 : a 11 x^2 + 2a 12 xy + a 22 y^2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0.
Matrice dei coefficienti della conica:
A =
a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33
Matrice della parte di secondo grado:
A 33 =
a 11 a 12 a 12 a 22
Forme canoniche delle coniche: (1) x 2 a^2 +^
y^2 b^2 −^ 1 = 0^ ellisse reale (2) x 2 a^2 +^
y^2 b^2 + 1 = 0^ ellisse immaginaria (∅) (3) x 2 a^2 −^
y^2 b^2 −^ 1 = 0^ iperbole (4) x^2 − ay = 0 parabola (5) x
2 a^2 −^
y^2 b^2 = 0^ coppia di rette incidenti (6) x
2 a^2 +^
y^2 b^2 = 0^ coppia di rette complesse incidenti (punto) (7) x 2 a^2 −^ 1 = 0^ coppia di rette parallele (8) x
2 a^2 + 1 = 0^ coppia di rette complesse parallele (∅) (9) x^2 = 0 coppia di rette coincidenti
Classificazione delle coniche: (1) det A 6 = 0, det A 33 > 0, (det A) · (trA 33 ) < 0 (2) det A 6 = 0, det A 33 > 0, (det A) · (trA 33 ) > 0 (3) det A 6 = 0, det A 33 < 0 (4) det A 6 = 0, det A 33 = 0 (5) det A = 0, det A 33 < 0 (6) det A = 0, det A 33 > 0 (7) det A = 0, det A 33 = 0, rgA = 2, (∃ punti reali) (8) det A = 0, det A 33 = 0, rgA = 2, ( 6 ∃ punti reali) (9) det A = 0, det A 33 = 0, rgA = 1
(^1) Corso di Geometria per Ing. Civile e Ambientale, docente Alessandro Calamai 1
Schema della riduzione in forma canonica di una conica Consideriamo la conica di equazione:
a 11 x^2 + 2a 12 xy + a 22 y^2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0. Primo passo: ROTAZIONE Per il teorema spettrale possiamo diagonalizzare la matrice A 33 trovando gli autovalori λ 1 e λ 2 e una base ortonormale di autovettori B = {v 1 , v 2 }. Sia B = (v 1 v 2 ) la matrice di cambiamento di base dalla base canonica alla base B. Supponiamo che det(B) = 1. Allora la matrice B rappresenta una rotazione degli assi di un angolo ϑ, cioe { x = (cos ϑ)x′^ − (senϑ)y′ y = (senϑ)x′^ + (cos ϑ)y′ Applicando la rotazione, si ottiene un’equazione della forma: λ 1 (x′)^2 + λ 2 (y′)^2 + 2ax′^ + 2by′^ + a 33 = 0. Secondo passo: TRASLAZIONE Primo caso: entrambi gli autovalori sono diversi da 0. In questo caso se la conicae non degenere si dice a centro. Applichiamo la traslazione: { x′^ = x′′^ − (^) λa 1 y′^ = y′′^ − (^) λb 2
e otteniamo λ 1 (x′)^2 + λ 2 (y′)^2 + c = 0.
A seconda del valore dei coefficienti si trovano le forme canoniche (1), (2), (3), (5) o (6). Secondo caso: uno degli autovalori `e 0 (supponiamo che sia λ 2 = 0). Operiamo la traslazione: { x′^ = x′′^ − (^) λa 1 y′^ = y′′
Si ottiene l’equazione:
λ 1 (x′′)^2 + 2by′′^ + c = 0.
Se b = 0 si ottiene una delle forme (7), (8), (9) a seconda del segno di c. Se b 6 = 0 operiamo un’altra traslazione: { x′′^ = x′′′ y′′^ = y′′^ − 2 cb
e otteniamo λ 1 (x′′′)^2 + 2by′′′^ = 0,
e quindi la forma canonica della parabola (4).
Classificazione delle quadriche:
(1) det A 6 = 0 (a) det A 44 6 = 0 (i) det A < 0
- autovalori di A 44 concordi −→ ellissoide reale
- autovalori di A 44 discordi −→ iperboloide el- littico (ii) det A > 0
- autovalori di A 44 concordi −→ ellissoide im- maginario
- autovalori di A 44 discordi −→ iperboloide iper- bolico (b) det A 44 = 0 (i) det A < 0 −→ paraboloide ellittico (ii) det A > 0 −→ paraboloide iperbolico (2) rgA = 3 (a) det A 44 = 0 −→ cilindro (b) det A 44 6 = 0 −→ cono (3) rgA = 2 −→ piani distinti (4) rgA = 1 −→ piani coincidenti
