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19.10.’
GLI INDICI DI DISPERSIONE
Nella lezione precedente, abbiamo studiato gli indici di tendenza centrale , i valori attraverso i quali è possibile “descrivere”, in forma sintetica, i risultati delle osservazioni effettuate su un campione. Gli indici di tendenza centrale, quindi, descrivono con un solo valore la tendenza dell’intero campione. Quando si descrive un campione solo con l’indice di tendenza centrale, vi è un problema: si perde una caratteristica importante, chiamata variabilità o fenomeno di dispersione. Gli indici di dispersioni più sono piccoli, meno il campione è disperso e più sono grandi, più il campione è disperso. La dispersione più piccola possibile è 0 e significa che i dati sono tutti uguali (se i dati sono tutti uguali, la dispersione è nulla, 0). La dispersione non può essere negativa.
Esempi: 1) 0 10 20 30 40 2) 10 15 20 25 30 3) 16 18 20 22 24 4) 18 19 20 21 22 5) 20 20 20 20 20 Tra queste cinque sequenze di numeri, la più dispersa è la prima sequenza e la meno dispersa è l’ultima. Le cinque sequenze sono in ordine di dispersione, dalla più dispersa all’assenza di dispersione.
Gli indici di dispersione sono quelli che misurano questa cosa, vale a dire quelli che descrivono il grado di variabilità, di dispersione del campione.
Intervalli di variazione Il primo indice di dispersione che, storicamente, è stato individuato è l’ intervallo di variazione o range. Tale indice è un indice molto rozzo.
(x di rango n) il valore più grande di x; (x di rango 1) il valore più piccolo l’ennesimo valore nella serie di dati.
Quindi, occorre fare la differenza tra il valore più grande e il valore più piccolo (= xmax – xmin).
Esempio: Calcolare gli indici di dispersione delle sequenze di numeri dell’esempio precedente. 1) IV=40–0= 2) IV=30–10= 3) IV=24–16= 4) IV=22–18= 5) IV=20–20=
L’Intervallo di variazione ha, però, lo stesso difetto della mediana, vale a dire che non è sufficiente, non tiene conto di tutti i dati a disposizione. Tale indice tiene conto solamente di due dati, i più estremi che sono, tra l’altro, più a rischio di essere frutto di errori grossolani. Quindi, esso si disinteressa di tutti i dati e non tiene minimamente conto di come sono distribuiti e disposti gli altri valori. Si ha bisogno di un indice, invece, che dipenda dell’acquisizione dei dati e che sia una statistica sufficiente, che tenga conto di tutti i dati a disposizione.
IV x ( n ) x ( 1 )
Scarto medio Questo indice terrebbe conto di tutti i dati a disposizione e sarebbe, dunque, sufficiente, ma tale indice è sbagliato poiché per una proprietà della media aritmetica, il numeratore è sempre uguale a
zero; di conseguenza, 0 fratto un numero ( 0
𝑛)^ fa sempre 0. Questo indice tiene conto di tutti i dati a
disposizione ma gli scarti in negativo bilanciano gli scarti in positivo e esso indicherebbe sempre 0.
sommatoria per i che va da 1 a n Ricorda:
A tale formula, chiamata scostamento semplice valore assoluto della media aritmetica , andiamo ad aggiungere il valore assoluto. Gli scarti in positivo rimangono positivi, mentre gli scarti in negativo diventano positivi. Tale indice non farebbe più sempre 0 e terrebbe conto di tutti i dati a disposizione, ma non si utilizza perché il valore assoluto è scomodo, vale a dire che sono scomode da studiare le proprietà matematiche. Le proprietà matematiche studiano l’indice come una funzione con massimi e minimi e le funzioni con il valore assoluto sono scomode.
La varianza Come si fa a rendere gli scarti positivi senza utilizzare il valore assoluto? Ci si può avvalere dell’elevamento al quadrato. La varianza è la somma degli scarti al quadrato diviso il numero totale dei dati. è fuori dalla ∑
è identica alla precedente ma, alle volte, è più comoda da utilizzare per quanto riguarda i tempi di applicazione e gli errori di propagazione (gli errori si propagano, aumentano più rapidamente con la sottrazione e la divisione e la somma e la moltiplicazione propagano poco gli errori). In questa formula si hanno solamente una divisione e una sottrazione, mentre in quella precedente si hanno una divisione e n sottrazioni.
Il numeratore della varianza prende il nome di devianza (DEV). La varianza, se riferita all’intera popolazione, viene indicata con σ^2 (sigma minuscola al quadrato); se riferita a un campione, si indica con s^2 (esse minuscola al quadrato). In lingua inglese, è indicata con SS (sum of squares – somma di quadrati). La varianza si utilizza ma non come indice descrittivo per una questione dimensionale; essa è, infatti, dimensionalmente disomogenea con la variabile. L’unità di misura della varianza è il quadrato dell’unità di misura della variabile e, per questo, la varianza è poco efficace, poco immediata comunicativamente.
Deviazione standard o scarto quadratico medio Per ottenere l’unità di misura della varianza uguale a quella della variabile, essendo l’unità di misura della varianza uguale al quadrato dell’unità di misura della variabile, occorre fare la radice quadrata della varianza.
(^) 1 ( )^0
n
i xi^ x
n
x x VAR
n i (^) i 1
2
n
x nx VAR
n i i
2 1
2
(^)
