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matematica

Teoria

degli

insiemi

insieme =

famiglia

di elementi con caratteristiche

in (^) comune

[

> indicati con lettere maiuscole

, (^) gli elementi con minuscole Insiemi numerici^ [^ A^ DB^ :( AIB ) u ( BIA) ] C =^ contenuto ¢ =^ non (^) contenuto

C- =^ appartenenza ¢ =^ non^ appartenenza

= (^) insieme vuoto / =^ differenza

U =^ unione n =^ intersezione

A'=

complementare =^

tutto (^) ciò (^) che (^) non è in A proprieta ' U (^) e n commutativa =^ AUB^ =^ BUA dissociativa = (^) (au (^) B) UC = AU (^) ( Buc) distributiva =^ AU^ ( Bn^ c) = @ U^ B) n^ (AUC) prodotto cartesiano A , B A^ ✗^ B = { &^ ,^ b) (^) a c- A (^) b C- B

il>

coppie ordinate^ di^ valori

Insiemi numerici

① numeri naturali N^ =^ { 91,2... . }

posso definire

• (^) somma
  • prodotto )^
    • operazioni chiuse il risultato (^) c- N posso

definire elemento neutro

della (^) somma a (^) -10 =^ a

prodotto

a. (^1) = (^) a valgono proprieta '

: associativa

, commutativa e

distributiva

④ numeri^ reali^

R =

contengono num. razionali 1 e irrazionali ✗ (^1) D= V

=/ num^.^ razionale

dimostrazione (^) × (^) per assurdo

✗ =^ V2 è razionale → assurdo

se ✗^ è^ razionale^ =^ Ma^ peq sono^ primi tra loro ✗ ' = (^) e '

-112 ed È,

• " pit . ( P/a) ' = (^2) PYQ ? (^) = (^2) PÌ zq '

• (^) > p ' è (^) pari

p

? (^) = pari →^ p = pari →^ p =^ 2N^ (2-^ numero^ naturale)

(2N)

'

• > GÌN '^ = (^) ✗

q

' 2N ' = (^92) q ' = (^) pari = q

pe q non^ possono^ essere^ entrambi^ pari

d assurdo

# =^ numero

R :{

raz -1^ # (^) irraz. }

rappresentazione geometrica ( topologia

qualunque numero può essere rappresentato sulla retta

P (^) (A)

so#insiemi di A

}

le > insieme delle^ parti / insieme dei sottoinsiemi

P (^) (A) = {

B :^ BEA

}

= >^ BE

PCA )

i

i

insieme dei B

tali che B (^) e- so #insieme dia

• > quindi

B

appartiene a

Pca)

B E^ a <^ =^ >^ BEPCA ) teorema se A^ ha (^) n ( EN^ ) elementi^ =^ >^ PIA) ne^ ha^2 " es. A =^ { 1, } Pia^ )^ = { A. (^0) , {^1 } , { 2

}

a c- A - >

ogni insieme sdt! è sotti^ insieme di (^) se stesso

= sottoinsieme di

ogni insieme PK)

• • {^0 } (^) [ i - - (^) i ]

A C- ✗ A

:{ ✗ EX^ : ✗ Ha }

la Acn a =D

ha proprieta

'

• (^) commutativa (^) E (^) +1 =^ 4- + (^) ±
  • associativa (^) ± + (^) (

y -1=2)^

±-11)^

E

prodotto di uno scalare con un vettore

scalare =^ elemento di R^ ' a C-^ R ' non è un^ vettore (^) ma (^) un numero ✗ (^) C- R "

E =^ (×,

, ✗^ z^.^

.. ✗ n )

a- c- R

a ± =

( a^ ×, ,^ a^ ✗^2.^.^.^ Axa)

• (^) > (^) risultato = (^) vettore dimensione di × moltiplica to (^) pera es. (^) E C- (^) R } I= ( 7 , 10 ,

t . Ooo )

a =^2 ER

AI

, (^20) , 2.000 (^) ) stesse (^) componenti di ✗ se KER^ a- E (^) R " KG =^ (Kai (^) ,^ ha>.^.^.^ Kan) nn scalare se K^ =^ -1 -^ >^ vettore opposto

• a = (-9, (^) , - a ].^.^. - an) proprieta '
• (^) associativa ✗^ B (^) (9) =^ ✗^ (BG)
• distributiva - > somma tra (^) vettori d (^) ( a- +^ b) =^ dq

DI somma tra scalari (^) (✗ + B) a- = dq

• (^) BE spazio vettoriale la (^) presenza dell' insieme di vettori R " con le operazioni di^ somma^ tra^ vettori^ e^ prodotto di scalare (^) per vettore^ costituiscono^ uno^ spazio

vettoriale

o è^ un^ insieme^ chiuso^ rispetto^ alle^ dello spazio combinazioni (^) lineari (^) dei suoi (^) e,@ men, a ④

• >^ dimensione vettoriale o (^) insiemi chiusi (^) rispetto alle (^) operazioni

prodotto scalare^ tra^ vettori risultato =^ scalare^

• >

operazione non^ chiusa

• prende due^ vettori^ della^ stessa^ dimensione e associa^ ad essi^ uno^ scalare Il

a. (^) , da^.^.^.^ an^ ) b- = (^) (bi , bi.^.^.^ bj)

• > ( (^) ai b) =^ <^ ai b^ >^ =^ a.^ b si moltiplicano le^ rispettive componenti e si (^) sommano i risultati n ( s 9 , be

+ azbz.^. .^ +^ anbn

= Fa ✗ ini es. E = (^) ( 3 € ,

, 1 € , 2 € (^) ) 9- =^ ( 10,7 (^) , 1 ,^ 3) < fig > =^ (3-10) + (^) (7.

• (^) (1.

• (^) (2-^ 3) =^86 € proprieta '

commutativa <^

gia > =^ <^

dia >

• distributiva < q÷b

; E^

> = (^) < a- (^) il>^

• <^ b- ;

E >

es. a- =^ ( 1 , 2)^ b-^ =L (^) -1,0) E = (2,2 (^) ) a- +^ b- =^ (0,2 (^) ) < (^) a- + ,

• E =^ (0-2)+(2-2)=

LA

; E^ > =^ ( 1 '

1. +^ (2-2)= < D; E^ > = (

1. +^ f.2)^ = (^) - < (^) Già +^ <^ b- ; E^ > (^) = (^) 6-2=

associativa ✗^ <^ a- i b- > =^ < dei b- > =^ <^

gita

>

combinazione lineare tra^ vettori

dati p vettori

91,

. (^).. a-p

= ai ER

"

dati

p scalari^ di , μ.^.^. Xp =^ di^ c-^

R

si (^) definisce combinazione lineare (^) di p vettori (^) ( (^9) , , az^

... ap (^) ) con (^) coef. 4,4 (^) ,.^.^.^ Xp

dia ,^ +^ dia,.^.^.^ ✗pop

es. 4 Veit. di R

} vettore riga a, = ( (^) 2,1 (^) , 3) →

di

§ dia^ i a , = (^) ( 0 , 1,1^ )^ dz^ = (^7) i :| a } = (^1 , 2,3 ) ✗^ 3=-

ah

= (^) ( 0,1 (^) , 2) da^

( 2,1, 3)^ +^ 7-^ (0,1 , 1) +^ C-^ 1)^ (^1 , 2,3) -12^ (0,1 ,2)

= (^) ( 10,5, (^15) ) -1^ ( (^) 0, , 7)^

(

• , - , - 3) +^ ( 0 , 2,4^ ) = (^) & , 12,23)^ C- (^) R

combinazione lineare di^ averti

con 4 scalari

se un vettore b^ è^ esprimibile come combinazione lineare di (^) a- , a- 2

. . . ap con

colf. Xi , ✗z...

Xp allora^ si^ dice^ che

b. è linearmente dipendente da

91,9,.^.^ - Gp 7 I;)^

• -4%1+71% I 7 " dipende da questo

in vettori^ g.

, G,^

... aiu si^ dicono

linearmente dipendenti se è

possibile esprimere uno^ come^ combinazione lineare dell'^ altro ls. ( 9 ,

, (^23) )

(2,1 , 3)^ (^

0 , 1, )

• linearmente (^) dipendenti - o -

note esercitazione

combinazione lineare

dati i^ vettori (^) v

, v^.^.^

. v2 la (^) quantita W =^44 , Xavi^ . (^).. ✗ (^) nun è (^) detta cambi nazione

lineare di^ U^

,

. (^).. (^). Un

n . b. w è un vettore

dipendenza lineare

V

,.^.^.^ Vu^ sono^ linearmente^ dipeli se^74 ,^ _^.^.^ tu

NON tutti^ NULLI :^ di V , -1 (^).. (^) .. tdn (^) Un =^ O

0 U , -^.^. Vn sono dipendenti se^ almeno 1 di loro

può essere scritto^ cane combinazione degli altri o due^ vettori^ sono^ 1in^. (^) dip <^ =^ >^ sono uno multiplo dell' altro

K , ×, tkzxz.^.^. +^ Km^ ✗in

• 4 = f->^0 vettore

a-

0,0.^.^. a)

→ con N componenti

una cambi^ n^.^ 1in^.^ di^ M^ -11^ vettori

porta un^ vettore^ nullo (

dati i vettori di R

" sono 1in^ - dip.^ se } esiste (^) una combinazione lineare con colf.^ Non^ tutti^ nulli^ uguale al

vettore nullo

✗ , i ✗^ z.^.^. Xp K^ , (^) , Kz^ ,^ -^.^. Kp

1in . dip se 7 K

, .kz^ ,.^.^. kp non^

tutti nulli

p

tale che^

Eri ✗i^

• • e i:|

i vettori ×

, (^) , ×,.^.^. xp ER "

si diranno^ 1in^.

indip.

se l' (^) unica coeub. 1in (^). uguale al (^) vettore multo ha tutti coef (^). (^) nulli cioe ' § K^ , ×, =

E solo^ se^

K , = (^) o ti i. (^) i es.

a-

=L !) b- = (1) c- =/ I) ✗ (^) a. + (^) Bb .

• ✗ c-^ = (^) E

a- a

214 ) -111 (^) )

/ 5)

B '^ -1^ →

= 4,4) +^ fi ,

• 1. +^ (-71-3)--190)

= e

g-

9 , b-

, E^

→ 1in - dip

es. a-

=/ (^) f)

b- =

(G)

✗ =^0

po = O LE (^) -1 (^) DI =^0 sono 1in (^). indipeuteuti

osservazione

in uno

spazio

R

" , (^) gli N^ veh^.^ fon^.^ sono^ tutti

1in . Ind.

R ' % :{!!:) } un (^). indipendenti e }:(^ 0,0^ , 1)

definizione

dati N^ vettori 1in^. indi. di uno (^) spazio R " allora (^) questi vettori costituiscono (^) una base allora qualunque

altro vettore di R

"

può

essere scritto come combinazione lineare

della base

a- = ( (^1) , 5 , 4) =^ te^ ,^ +^ 5c^ ,

4 e}

(i.0,0^ ) -1195,0) -110,0 (^) , 4) = (^) ( 115,4 (^) )

• (^2) vettori di R ' indipendenti

• (^) > impossibile

* se ho^ R

}

posso trovare^

al (^) tuo (^) ×. (^3) vettori indipendenti (^) , se^ ne^ prendiamo in^ 4° uno di^ questi sarà^ combinazione^ di^ un altro

Spazio e^ sottospazio vettoriale A-_ { (×^ , (^) ,^ ✗^ a) con^ ×.^ =^ ax (^) , }

AER

'

a

:{ Gaia )^ AER} 1 € A^ 1- =^ (^ Gaia ) a. beh

Z C-^ A^2 =

( Gb , b)

1. e c- A ✓
2. 1-^

• (^) ZEA? ✓ (^) ( Ga , (^) a) +^ (^ Gb^ , b)^ = (^) (Ga -1GB , a + b) = = ( Glatb ) , (atb) (^) )

1. DI^ C- (^) A (^)? ✓ DI = (^) (tua , ✗a) =^ (4ha (^) , ✗^ a) A-_ {(^ a.^ a ' ) aer} ACR ' e c-^ A^

1. =^ ( (^) a. a ' ) (^) 2- = ( b^ , b ' ) 1,2^ C-^ a

a. beh

1. +^ 2- c- (^) A (^)? ✗ (^) (

a.

a ' / +^ ( (^) b-ibY-ka-ib.la?+b)) ¢ a^ =>^ non^ è^ uno^ spazio vettoriale

A--

{ can)^ aerinen}

AER

' l (^ 0,0)^ c-^ a^

1, C- (^) a 1 :( a , b)^2 = (b , n ) a / BER (^) n , new

.^ :(

atb , ntn )

c- a ✓

in un c- R^ EN

DI

= ( da (^) , an ) e a^ ✗^ c-^ R ~ ~ L > (^) non è (^) uno C- R^ 4- N spazio vettoriale A :{ ( (^) a. a^ -11) aer }

ACR

QEA?^ ¢^ a (^) no

sp.^

uett (^).

matrice (^) quadrata se una matrice^ ha lo^ stesso^ num. (^) di righe

e di^ colonne allora la matrice si

dice (^) quadrata di ordine N 1 2 7 IO B. =

o 1 l 4

0 0 O^5

B (^) € (^) Ma ✗ (^4)

B. =/ È 1 O^0 BI

2 1 0 2 ÉE^ Ma✗ (^4) 7 2 O^1

• le^ diagonali ci

""""°""\

• "° (^) °"° (^) • "

A-.

921 92L

923

. (^).. Gin motrici^ quadrate i.

. si definisce

Ani (^) Anz an (^) }.^.^ ..^ anni → diagonale principale la diagonale con (^4) gli elementi^ con gli stessi indici

si definisce^ di^

righe e colonne diagonale secondaria

• (^) c' è (^) solo una

diagonale

principale e (^) solo una diagonale secondaria

data una matrice quadrata se è

uguale alla trasposta allora^

si dice

simmetrica

(

due matrici sono^

uguali se hanno^ stesse dimensioni (^) e i^ numeri^ sono (^) nello stesso^ ) posto (^1) O 2 a = ( o 7 1 ) at= (

^' ° 2

)

2 ^^4 2 1

A =^ At^ →^ a (^) è simmetrica una matrice^ quadrata si^ definisce triangolare superiore se^ tutti^ gli elementi^ sotto^ la [ diagonale

sono tutti^ nulli

O 0 0 O 0 0 O^ Ann e ' triangolare inferiore (^) se tutti^ gli

elementi

sopra

la

diagonale

principale sono^ nulli