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Matematica - Canale B - A.A. 2021-
Esercitazione 2 - 29 settembre 2021
Algebra Lineare
Prodotto interno e ortogonalit`a
- Dati 2 vettori v, u di Rn^ il loro prodotto interno `e dato da:
〈v, u〉 =
∑^ n
i=
viui = v 1 u 1 + v 2 u 2 +... + vnun
- La lunghezza (o norma) di un vettore si determina attraverso il prodotto scalare al seguente modo:
‖v‖ =
〈v, v〉 =
∑n
i=
v^2 i =
v^21 + v^22 +... + v n^2
- Dal prodotto interno e dalla lunghezza si pu`o determinare il coseno dell’angolo convesso (ϑ) formato da 2 vettori:
cos ϑ =
〈v, u〉 ‖v‖‖u‖
sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare e nullo, formano un angolo acuto se e solo se il loro prodotto scalaree positivo, formano un angolo ottuso se e solo se il loro prodotto scalare `e nega- tivo.
Ex. 2 Dati i vettori v = (2, 4) e u = (− 5 , 1), rappresentarli graficamente sia come segmenti orientati che come punti di R^2. Calcolare il loro prodot- to scalare, e loro lunghezze e il valore del coseno dell’angolo compreso.
SOLUZIONE: Applicando le definizioni:
〈v, u〉 = 2 · (−5) + 4 · 1 = −10 + 4 = − 6
‖v‖ =
〈v, v〉 =
‖u‖ =
〈u, u〉 =
cos ϑ =
Ex. 3 Calcolare il prodotto scalare dei vettori v = (1, 8 , −4) e u = (− 2 , 3 , 6) e la norma di v.
SOLUZIONE: Applicando le definizioni:
〈v, u〉 = 1 · (−2) + 8 · 3 + (−4) · 6 = −2 + 24 − 24 = − 2
‖v‖ =
〈v, v〉 =
Ex. 4 Determinare per quale valore del parametro k sono ortogonali i vet- tori v = (k, − 1 , 3) e u = (k, 2 k, −5)
SOLUZIONE: Applicando la definizione si deve avere il prodotto sca- lare dei 2 vettori uguale a 0:
〈v, u〉 = k · (k) + (−1) · 2 k + 3 · (−5) = k^2 − 2 k − 15 = 0
Risolvendo l’equazione si ha che i vettori sono ortogonali per k = 5 e k = −3.
Ex. 5 Determinare per quale valore del parametro k i vettori v = (k, − 1 , −3) e u = (2, k, 2) formano un angolo acuto, per quali valori un angolo ot- tuso. Per quali valori sono ortogonali?
SOLUZIONE: Sfruttando il teorema di Carnot si deve avere il pro- dotto scalare dei 2 vettori maggiore di 0 per determinare i valori che forniscono l’angolo acuto:
〈v, u〉 = k · 2 + (−1) · k + (−3) · 2 > 0
I vettori formano un angolo acuto se k > 6. Per k < 6 invece formano un angolo ottuso. Infine per k = 6 sono ortogonali.
- Verificare se, al variare del parametro k, i vettori v^1 = (2, k, 1), v^2 = (− 1 , 1 , 0) e v^3 = (1, 1 , k) sono LD o LI.
- Dati i vettori v = (2, 1 , 1), v^1 = (1, 1 , 0), v^2 = (1, 0 , 1), dire se `e possibile scrivere v come combinazione lineare di v^1 e v^2.
- Dire se i vettori v^1 = (2, 0 , −1), v^2 = (0, 3 , 2), v^3 = (1, 1 , 1) formano una base di R^3.
- Calcolare il prodotto scalare fra i vettori v^1 = (1, 1 , 0) e v^2 = (1, 0 , 1) e tra v^3 = (2, 1 , 1) e v^4 = (2, 0 , −1)
- Calcolare il prodotto scalare fra i vettori v^1 = (1, 1 , 1) e v^2 = (2, 0 , −1) e dire che tipo di angolo si forma tra i due vettori.
- Determinare per quali valori di k, i vettori v^1 = (2, k, 1) e v^2 = (1, 1 , k) sono perpendicolari.
Matrici
NOTAZIONI Le matrici saranno denotate in neretto con lettere maiuscole (A), l’elemento generico della matrice A lo indicheremo con il simbolo ai,j dove i e l’indice della riga e j l’indice della colonna. La moltiplicazione per uno scalare e fra matrici non sara indicata da alcun simbolo, quindi AB indica il prodotto delle matrici A e B.
Prodotto di matrici (righe per colonne)
Osservazione : il prodotto tra matrici si puo calcolare solo se il numero delle colonne della prima matricee uguale al numero di righe della seconda matrice.
Ex. 1 Calcolare il prodotto delle matrici A e B dove:
A =
e B =
SOLUZIONE:
AB =
OSS: Il prodotto tra matrici non `e commutativo, si verifichi che AB 6 = BA.
BA =
Ex. 2 Calcolare il prodotto AB dove:
A =
e B =
SOLUZIONE:
AB =
Si osservi che in questo caso non `e possibile calcolare BA, infatti il numero delle colonne della matrice B non coincide con il numero di righe della matrice A.
Ex. 3 Calcolare il prodotto tra la matrice A e il vettore v = (1, 0 , 1) (scritto come vettore colonna), dove
A =
Tale prodotto si pu`o invertire? Posso calcolare vA? SOLUZIONE:
Av =
Il prodotto si pu`o invertire a patto di considerare v come vettore riga.
Ex. 1 Calcolare il determinante della matrice A
A =
SOLUZIONE: Essendo una matrice di ordine 2 per definizione:
det A = 1 · 5 − 4 · 2 = 5 − 8 = − 3
Ex. 2 Calcolare il determinante della matrice B
B =
SOLUZIONE: Essendo una matrice di ordine 2 per definizione:
det A = 1 · 6 − 3 · 2 = 6 − 6 = 0
Ex. 3 Calcolare il determinante della matrice A
A =
SOLUZIONE: Per calcolare questo determinante possiamo usare sia il procedimento ricorsivo di Laplace sia la regola di Sarrus, vediamo entrambi:
- Con il metodo di Laplace: dobbiamo scegliere una riga od una colonna opportune, se possibile quella con pi
u elementi nulli in quanto comportera meno calcoli. Scegliamo ad esempio la terza colonna e fissiamo j mentre i varia da 1 a 3:
det A =
∑^ n
i=
(−1)i+j^ ai,j det Ai,j = (−1)1+3·3 det
+(−1)3+3^ · 7 det
Calcoliamo i determinanti di ordine 2:
det
det
Quindi det A = 3 · 18 + 7 · 9 = 54 + 63 = 117
- Con il metodo di Sarrus si riportano le prime 2 colonne. ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 1 3 ↘ ↗↘ 1 4 0 ↗ ↘↗ − 5 − 2 7
Bisogna fare i prodotti seguendo le frecce sommando i termini con le frecce in discesa e sottraendo quelli con le frecce in salita.
det A = 2· 4 ·7+(−1)· 0 ·(−5)+3· 1 ·(−2)−(−5)· 4 · 3 −(−2)· 0 · 2 − 7 · 1 ·(−1) = 117
Ex. 4 Calcolare il determinante della matrice A
A =
SOLUZIONE: − 13
Ex. 5 Calcolare il determinante della matrice A.
A =
SOLUZIONE:
det A = +
Ex. 6 Calcolare i determinanti delle matrici A e B.
A =
B^ =
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