Appunti matematica pre test ingresso, Dispense di Matematica Generale

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PRE TEST 2016

Ingegneria

Dispense di Matematica

Operazioni, insiemi, potenze e esponenziali

- PROPRIETA E OPERAZIONI SUI NUMERI

-Insiemi: naturali, interi, razionali, irrazionali, reali. -Ordine di precedenza nelle operazioni: parentesi, potenze e radici, moltiplicazioni e divisioni, addizioni e sottrazioni.

• Proprietà dell’addizione: intera, commutativa, associativa, elemento neutro, elemento simmetrico. -Proprietà della sottrazione: invariantiva. -Proprietà della moltiplicazione: intera, commutativa, associativa, distributiva rispetto alla somma, elemento neutro, elemento simmetrico. -Proprietà della divisione: invariantiva, distributiva rispetto alla somma. -Scomposizione in fattori primi.

- VALORE ASSOLUTO

Def. Preso |x|: -se x >0, allora |x|= x -se x<0, allora |x|= – x -se x=0, allora |x|= 0 In pratica il modulo è sempre positivo!

- POTENZE E RADICI

Def. Si dice potenza 𝑎𝑛^ dove 𝑎 Ꞓ R, n Ꞓ Q. Si definisce a base, n esponente. PROPRIETA: - prodotto/quoziente di potenze con la stessa base: 𝑎𝑏^ ∗ 𝑎𝑐^ = 𝑎𝑏+𝑐; 𝑎

𝑏 𝑎𝑐^ = 𝑎

𝑏−𝑐

• potenza di potenza: (𝑎𝑏)𝑐^ = 𝑎𝑏∗𝑐
• prodotto/quoziente di potenze con lo stesso esponente: 𝑎𝑐^ ∗ 𝑏𝑐^ = (𝑎 ∗ 𝑏)𝑐; 𝑎

𝑐 𝑏𝑐^ = (

𝑎 𝑏)

𝑐

• 𝑎−𝑐^ = (^) 𝑎^1 𝑐 Def. Si dice radice n-esima (con n Ꞓ N, n ≠0) del numero reale positivo a, il numero reale positivo la cui potenza n-esima è uguale ad a; dove a = radicando, n = indice. NOTA BENE: (^) √0 = 0; 𝑛√𝑎^ 𝑛= 𝑎. OPERAZIONI: prodotto, quoziente, potenza, radice PROPRIETA: 𝑎𝑐/𝑔= 𝑔√𝑎𝑐 𝑎−𝑐/𝑔= (^) 𝑔√𝑎^1 𝑐
• LOGARITMI ED ESPONENZIALI Def. Esponenziali: per ogni 𝑎 Ꞓ R⁺, si ha 𝑦 = 𝑎𝑥 (𝑦 = 𝑒𝑥, dove 𝑒 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑖 𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟𝑜)

Def. POLINOMI: somma di monomi. (monomi = espressione letterale algebrica in cui compaiono numeri, una lettera e operazioni) FORMA NORMALE: effettuo i calcoli possibili. GRADO DI UN POLINOMIO: massimo grado tra i monomi che lo compongono. Si dice polinomio omogeneo se tutti i monomi che lo compongono hanno lo stesso grado. OPERAZIONI: prodotto e divisione tra polinomi. Divisione tra polinomi: 1) ordinare il polinomio

2. controllare se completi
3. divisione in colonna PRODOTTI NOTEVOLI: -differenza di quadrati: (𝑎^2 − 𝑏^2 ) = (𝑎 + 𝑏) ∗ (𝑎 − 𝑏)

• quadrato di un binomio: (𝑎 ± 𝑏)^2 = 𝑎^2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏^2
• quadrato di un trinomio: (𝑎 ± 𝑏 ± 𝑐)^2 = 𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 ± 2𝑎𝑏 ± 2𝑎𝑐 ± 2𝑏𝑐
• cubo di un binomio: (𝑎 ± 𝑏)^3 = 𝑎^3 ± 3𝑎^2 𝑏 + 3𝑎𝑏^2 + 𝑏^3
• somma e differenza di cubi: 𝑎^3 + 𝑏^3 = (𝑎 + 𝑏) ∗ (𝑎^2 − 𝑎𝑏 + 𝑏^2 ) 𝑎^3 − 𝑏^3 = (𝑎 − 𝑏) ∗ (𝑎^2 + 𝑎𝑏 + 𝑏^2 )
• trinomio speciale: es. 𝑥^2 + 3𝑥 − 4 = (𝑥 + 4) ∗ (𝑥 − 1) SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI: raccoglimento totale/ parziale, riconoscimento dei prodotti notevoli fino a scrivere l’espressione come prodotto di fattori primi.

EQUAZIONI

Siano A(x) e B(x) due espressioni algebriche nell’indeterminata x. A(x) = B(x) si chiama equazione quando essa è verificata per particolari valori di x. Risolvere un’equazione significa trovare tutte le soluzioni. L’indeterminata si chiama incognita.

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Un’equazione si dice di primo grado se compare nella forma a(x) + b = 0 Se a≠0 l’equazione è determinata e x=-b/a Se a=0, b=0 è indeterminata Se a=0, b≠0 è impossibile

Esempi: eq. Determinata 3x+2=0 3x=-2 x=-2/ eq. Indeterminata 3x+2=3x+2 0x= eq. Impossibile 0x+3=0 3=

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Un’equazione si dice di secondo grado se è nella forma a(x)²+b(x)+c=0 con a,b,c ∈ R e a≠

Le soluzioni di tale equazione si trovano con la formula √

L’espressione b² − 4ac è detto discriminante e Δ = b² − 4ac Se: Δ=0 soluzioni e reali e coincidenti Δ>0 soluzioni reali e distinte Δ<0 soluzioni non reali

CASI PARTICOLARI

 Quando il coefficiente b è un numero pari si può utilizzare la formula ridotta √

 Se il coefficiente b=0, per avere soluzioni reali a e c devono essere di segno opposto per cui (^) √

Esempio: 3x²-6=0 x²=2 x=±√  Se il coefficiente c=0 segue che x(ax+b)=0 per cui x =0 x =-b/a  Se l’equazione è biquadratica, cioè ax⁴+bx²+c=0, pongo x²=t così si ottiene at²+bt+c= Le soluzioni saranno 4: (^) √ ; (^) √  Se l’equazione è binomia, cioè

 Per n dispari √

 Per n pari, se √

se eq impossibile

A questo punto addiziono membro a membro le due equazioni e ottengo

Sostituisco la y in una delle due equazioni e ricavo la x quindi Soluzione: ( ,

EQUAZIONI IRRAZIONALI O CON RADICALI

Un’equazione si dice irrazionale se l’incognita compare come argomento di un radicale come ad

esempio √ Per risolvere un’equazione di questo tipo occorre  Isolare il radicale  Elevare entrambi i membri alla potenza indicata nell’indice della radice  Risolvere l’equazione ottenuta A questo punto si procede in maniera diversa a seconda dell’indice del radicale  Se l’indice è dispari le soluzioni sono tutte accettabili  Se l’indice è pari si passa alla verifica delle soluzioni Esempio: (^) √

Isolo il radicale: √ Elevo al quadrato: Risolvo l’eq.:

Avrò quindi due soluzioni:

A questo punto devo controllare che le due soluzioni siano accettabili dato che l’indice della radice è 2. Per farlo basta vedere se i due valori soddisfano l’equazione di partenza.

Se √ che è impossibile se √ 2 quindi l’unica soluzione accettabile è

EQUAZIONI RAZIONALI FRATTE

Un’equazione si dice razionale fratta se l’incognita non è contenuta sotto la radice ma è al denominatore.

Esempio:

Per risolvere questo tipo di equazioni occorre:

 Ricondursi nella forma  Trovare le C.E. ponendo  A questo punto ci disfiamo del denominatore e risolviamo  Vedere se i valori ottenuti soddisfano le C.E.

Esempio:

C.E.

Dato che e dato che soddisfa le C.E. possiamo dire che è una soluzione accettabile.

DISEQUAZIONI

Una disequazione è una disuguaglianza in cui si presentano una o più incognite. Due disequazioni si dicono equivalenti se sono soddisfatte dagli stessi valori delle incognite. Per le disequazioni valgono due principi di equivalenza. Primo principio: se si aggiunge a entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione algebrica che abbia lo stesso dominio della disequazione si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Secondo principio: se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di una disequazione per una stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Se si moltiplicano entrambi i membri della disequazione per uno stesso numero negativo si ottiene una disequazione equivalente a quella data ma con verso opposto. Esempio:

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Sono quelle riconducibili mediante l’applicazione dei principi di equivalenza ad una delle seguenti forme: ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0 ; ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 le cui soluzioni sono rispettivamente : x < -b/a; x ≤ -b/a; x > -b/a; x ≥ -b/a

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

La forma cui si presenta solitamente una disequazione di secondo grado è oppure con Il Δ, cioè il discriminante , serve per identificare i possibili metodi risolutivi.  Δ<0, il trinomio ha sempre il segno del coefficiente a.

Δ=-39, a= Il trinomio è sempre maggiore di 0 e ciò non coincide con il verso della disequazione quindi non ci sono soluzioni.  Δ=0, il trinomio ha il segno del suo primo coefficiente a, per ogni. Se il trinomio si annulla. Esempio: Non è mai verificata perché il trinomio è sempre maggiore di zero.  Se Δ > 0 il trinomio ha il segno del suo primo coefficiente a per ogni valore x esterno all'intervallo degli zeri, mentre ha il segno contrario a quello di a per ogni valore interno all'intervallo degli zeri, dove per zeri si intendono le due soluzioni x e x dell'equazione

Esempio: Δ= per e Per cui la soluzione della disequazione è

Enti geometrici fondamentali

PUNTO: non ha dimensioni, serve ad indicare geometricamente una precisa posizione d'interesse. Traslando (spostando) infinitamente un punto lungo una direzione, in entrambi i versi, si ottiene una retta

RETTA: Si estende infinitamente in due direzioni e gode di diverse proprietà

• essendo la retta monodimensionale, sia un piano (2D) che lo spazio (3D) contengono infinite rette
• dati due punti qualsiasi, esiste ed è unica la retta che li contiene. Essa è detta congiungente
• Ogni retta è infinita e contiene infiniti punti
• date due rette contenute in un piano, esse possono essere incidenti (1 punto in comune) o parallele.
• Se tre o più punti appartengono alla stessa retta si dicono allineati
• due o più rette incidenti in uno stesso punto possono anche essere dette concorrenti in tale punto

La retta gode di alcune proprietà che possono essere accostate all'insieme R (numeri reali). Non di rado infatti l'insieme R è rappresentato da una retta orientata , ovvero per la quale è definito un verso di percorrenza (solitamente quello positivo). Il fatto che una retta possegga un orientamento permette di definire in essa relazioni di ordine (in maniera del tutto analoga a quelle dell'insieme R): posti su una retta due punti A e B, se percorrendola in senso positivo (a seconda dell'orientamento dato) incontreremo prima A, diremo che A<B, viceversa A>B, e così via..

SEMIRETTA: data una retta orientata e fissato un punto O su di essa, si dice semiretta di origine O l'insieme del punto O e di tutti i punti che lo seguono o di tutti quelli che lo precedono, sulla retta data. Una retta e un punto definiscono pertanto due semirette. Una semiretta è infinita, ma a differenza della retta può essere percorsa infinitamente solo in una direzione.

SEGMENTO: data una retta e due punti A,B ad essa appartenenti, la porzione di retta tra essi compresa, inclusi A e B, è detta SEGMENTO AB. A e B sono detti estremi del segmento. Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune. Due segmenti si dicono adiacenti se hanno un estremo in comune e appartengono alla stessa retta. Due segmenti adiacenti sono consecutivi, mentre non vale il viceversa. Tre o più segmenti consecutivi formano una spezzata. Essa può essere chiusa o aperta, e semplice o intrecciata. Una spezzata chiusa e semplice è anche detta poligono. Disponendo di un segmento è possibile ottenerne multipli o sottomultipli (i multipli si ottengono per somme successive, i sottomultipli ricercando geometricamente il punto medio, terzo e così via) Tra due segmenti giacenti sulla stessa retta è possibile effettuare operazioni di somma o differenza.

Traslando una retta parallelamente a sè stessa, in entrambi i versi, si ottiene un piano. PIANO: ente geometrico fondamentale dotato di due dimensioni.

Un piano contiene infinite rette, e una retta contiene infiniti punti. Pertanto possiamo affermare, con un pò di fantasia, che un piano contiene ∞^2 punti. Per avere una cognizione abbastanza concreta (anche se non infinita, notare bene) dei tre enti geometrici finora presentati, si può assimilare il piano ad un normale foglio, stando attenti a non piegarlo (se il foglio si incurva, "sconfiniamo" in una terza dimensione, che molti di voi intuiranno di certo, ma che non è nostro interesse analizzare). Se sul foglio tracciamo una linea, servendoci del righello, essa è un segmento, ma se ne tratteggiamo gli estremi per raffigurarne "l'infinitezza", ecco che abbiamo una retta. Raffigurare un punto su un foglio di carta dovrebbe essere facile per tutti.

Angoli

ANGOLO: porzione di piano compresa tra due semirette con origine comune, dette lati. Due semirette evidenziano nello spazio una coppia di angoli (e non uno solo!), e non esistono convenzioni che "decidono" l'angolo giusto, pertanto ogni volta occorre seguire attentamente il testo del problema. Gli angoli formati da due semirette con origine comune si dicono esplementari , ovvero la loro somma fornisce un angolo giro (di 360°, oppure 2π rad). Si dicono supplementari due angoli la cui somma fornisce un angolo piatto (180°, oppure π rad). Si dicono complementari due angoli la cui somma fornisce un angolo retto (90°, oppure π/2 rad).

N.B. : π = 3,14159265358979..... convenzionalmente, π = 3,14 (senza unità di misura, è un numero puro)

Due angoli si dicono consecutivi se hanno un lato in comune. Due segmenti si dicono adiacenti se hanno un lato in comune e gli altri appartengono alla stessa retta. Due angoli adiacenti sono consecutivi, mentre non vale il viceversa.

ANGOLI E LORO MISURA

Esistono differenti unità di misura per gli angoli. Le due principalmente utilizzate sono i gradi e i radianti. Le due unità di misura sono collegate dalla seguente proporzione :

OPERAZIONI CON GLI ANGOLI

Analogamente ai segmenti, disponendo di un solo angolo se ne possono ottenere multipli per somme successive, o sottomultipli tramite la ricerca della semiretta bisettrice, delle due trisettrici e così via. Disponendo invece di due angoli, si ha accesso alle operazioni di somma e differenza. E' semplice raffigurare le operazioni di somma e differenza tra angoli sfruttando l'analogia (non casuale) con un comune orologio analogico: sommare due angoli corrisponde a "mettere avanti" l'orologio, mentre sottrarre un angolo ad un altro corrisponde a metterlo indietro.

Distanza: la distanza tra due punti è la lunghezza del segmento che li unisce. La distanza di un punto da una retta è la lunghezza del segmento perpendicolare alla retta, congiungente il punto di partenza e il punto di incidenza.

IPERBOLE: dati due punti F e G detti fuochi, è il luogo dei punti del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da F e G. Spero che il significato del valore assoluto sia stato spiegato, altrimenti chiedete pure ai profs.

Fino ad ora abbiamo incontrato luoghi geometrici costituiti da infiniti punti. Questo non deve portarci a pensare che "tutti i luoghi geometrici possiedono infiniti punti". Non è così, più avanti faremo altri esempi.

Il concetto fondamentale che ci insegnano i luoghi geometrici, e che è utile comprendere a fondo, è che un ente geometrico (linea, punto, piano o altri enti derivati) possiede delle proprietà.

Triangoli

Il triangolo è un poligono con tre lati. È il poligono più semplice in assoluto, e gode di molte

proprietà, alcune delle quali sono elencate di seguito:

-la somma degli angoli interni in un triangolo qualunque è sempre 180° (π rad)

-in un triangolo qualunque, un lato è sempre minore della somma degli altri due

-in un triangolo, ogni angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti

I triangoli possono essere classificati in base ai loro lati o ai loro angoli:

-un triangolo si dice isoscele quando possiede almeno due lati congruenti

-un triangolo si dice equilatero se ha tutti e tre i lati congruenti (è un particolare triangolo isoscele)

-un triangolo si dice scaleno se tutti i lati hanno lunghezza differente

-un triangolo si dice rettangolo se uno dei suoi angoli è retto

Ogni triangolo è inscrivibile in una ed una sola circonferenza. Se il triangolo è rettangolo, la sua ipotenusa (lato opposto all'angolo retto) coincide col diametro della circonferenza ad esso circoscritta.

In un triangolo rettangolo, i lati sono detti cateti (maggiore e minore, se non è un triangolo isoscele) e ipotenusa. In un trangolo isoscele, il lato non congruente è detto base.

Si dice altezza il segmento perpendicolare ad un lato e passante per il vertice ad esso opposto. Un triangolo possiede tre altezze, ma non necessariamente sono tutte interne al triangolo. Le tre altezze si incontrano in un punto detto ortocentro.

È detta mediana il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. Ogni triangolo ha tre mediane, ed esse si incontrano in un unico punto detto baricentro. Il baricentro divide ogni mediana in due parti, in cui quella dalla parte del vertice è doppia dell'altra (disegnare per credere).

Il triangolo possiede alcuni luoghi geometrici esclusivi:

-il luogo dei punti equidistanti dai lati è costituito da un solo punto, detto incentro. Esso costituisce il centro della circonferenza inscritta nel triangolo, ed è ottenibile come punto di intersezione delle tre bisettrici

-il luogo dei punti equidistanti dai vertici è costituito da un solo punto, detto circocentro. Esso costituisce il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, ed è ottenibile come punto di incontro degli assi dei lati.

In un triangolo equilatero tutti e quattro i punti appena citati coincidono.

In un triangolo isoscele i quattro punti non sono coincidenti, ma allineati sull'altezza relativa alla base

Esistono alcuni criteri che permettono di stabilire speditivamente se due triaangoli sono congruenti (uguali):

-se hanno congruenti due lati e l'angolo compreso tra essi

-se hanno congruenti due angoli e il lato compreso

-se hanno congruenti i tre lati

Una proprietà più debole della congruenza, ma comunque molto utile è la similitudine. Due triangoli sono simili se sono identici, a meno di un fattore di scala, ovvero se hanno i lati rispettivamente proporzionali.

Per similitudine: AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C'

Circonferenze e Cerchi

Come anticipato, la circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da uno stesso punto detto centro. Tale distanza è nota come raggio della circonferenza. Il cerchio è invece il luogo dei punti con distanza dal centro minore o uguale al raggio. La differenza tra i due luoghi è quindi che la circonferenza è una linea, mentre il cerchio è una superficie piena.

CORDA: Si dice corda un qualunque segmento congiungente due punti della circonferenza. La corda di dimensione massima è detta diametro , passa per il centro ed è pari a due volte il raggio. Ogni corda divide la circonferenza in due archi , il diametro divide la circonferenza in due archi particolari, detti semicirconferenze. L'asse di una qualunque corda passa per il centro, e coincide dunque con il diametro. Questo permette di dire che per tre punti passa una e una sola circonferenza (è come se due punti fossero gli estremi di una corda, mentre il terzo l'estremo opposto del diametro). Corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro, e viceversa. ARCO: Ogni arco è sotteso da un solo angolo al centro e da infiniti angoli alla circonferenza. L'angolo al centro ha come vertice il centro e come estremi gli estremi dell'arco, mentre il vertice di un angolo alla circonferenza è un qualsiasi punto sulla circonferenza. L'ampiezza dell'angolo al centro è doppia di quella di ogni angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco. Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco hanno la stessa ampiezza. Con un pò di attenzione si capisce che ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

POSIZIONI RECIPROCHE A seconda della distanza tra i due centri e dei loro raggi, due circonferenze possono trovarsi in varie posizioni reciproche: esterne, tangenti esternamente, secanti, tangenti internamente, interne, concentriche.

CERCHIO: Parlando del cerchio, uno "spicchio di cerchio" racchiuso tra due raggi e un arco è detto settore circolare , in particolare se i raggi sono adiacenti avremo un semicerchio. La parte di cerchio compresa tra una corda e la circonferenza è detta segmento circolare , e se la corda è il diametro abbiamo nuovamente un semicerchio. L'area compresa tra due tratti di circonferenza e due corde parallele è detta segmento circolare a due basi. L'area racchiusa tra due circonferenze concentriche è detta corona circolare.

FORMULE UTILI

Misura della circonferenza: C= 2πr = πd

Superficie del cerchio: A= πr^2

Lunghezza di un arco sotteso da un angolo al centro α (in gradi o radianti) : L= C* α(°)/360 = C* α(rad)/2π

Area di un settore circolare di angolo α (in gradi o radianti) : S= A* α(°)/360 = A* α(rad)/2π

Area della corona circolare: K= π(r 1 2 - r 2 2 )

Area del segmento circolare: si trova come differenza fra l'area di un settore e l'area di un triangolo.

Lunghezza della corda sulla quale insiste un angolo al centro α : AB = 2rsen α

Quadrilateri

Un'altra famiglia di poligoni particolarmente regolari dopo i triangoli è quella dei quadrilateri. Come dice il nome, essi sono costituiti da quattro lati e a seconda di come essi sono disposti, e delle loro dimensioni, possono essere classificati. Ogni quadrilatero possiede due diagonali, ovvero due segmenti che collegano i vertici opposti. Una diagonale divide il quadrilatero in due triangoli. La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°. Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza solo se le somme degli angoli opposti valgono 180°.

PERIMETRO e AREA dei quadrilateri In ogni quadrilatero, il perimetro si calcola come somma dei lati; tanto maggiore è la regolarità del quadrilatero, tanto più semplice sarà conoscere le dimensioni dei 4 lati.

Nei quadrilateri scaleni, l'area è calcolabile solo come somma delle aree dei due triangoli che li compongono. Nei trapezi, note le due basi B , b e l'altezza h, l'area vale A = (B + b)h/2. Nei parallelogrammi, nota una base b e l'altezza ad essa relativa, l'area vale A= bh. Nei rombi, nota la misura delle diagonali D e d, l'area vale A = D*d/ Nei quadrati di lato l l'area può essere calcolata come A= l^2.

Occorre notare che molto spesso nei quadrilateri ricorrono angoli retti (presenti come angoli, come piedi dell'altezza o nati dall'intersezione delle diagonali, a seconda dei casi). Tale fatto può essere sfruttato a nostro vantaggio per determinare svariate misure facendo uso del Teorema di Pitagora!

Poligoni Regolari

Un poligono regolare è un poligono convesso che è contemporaneamente equilatero e equiangolo. Ogni poligono regolare con n lati è inscrivibile e circonscrivibile in due circonferenze, infatti tracciando le bisettrici degli angoli interni si ottengono n triangoli isosceli utti congruenti e con un vertice in comune, che risulta quindi essere il centro di tali circonferenze.

Un poligono regolare è simmetrico rispetto a ogni retta passante per un vertice e il centro. Pertanto, vi sono esattamente n assi di simmetria; se poi il numero di lati n è pari, allora il centro è centro di simmetria per il

poligono.

La somma degli angoli interni di un poligono regolare di n lati vale (n – 2)180°. Gli angoli di un poligono regolare di n lati misurano pertanto (n – 2)180°/n.

Ogni poligono regolare è inscrivibile e circonscrivibile in due circonferenze concentriche. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema e, chiaramente, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi lato del poligono. Il raggio della circonferenza circoscritta è ricavabile tramite il teorema di Pitagora se sono noti il lato e l'apotema. Ogni poligono regolare possiede un proprio numero fisso, che rappresenta il rapporto tra apotema e lato. Conoscendo il lato si ha perciò una conoscenza completa del poligono.

PERIMETRO e AREA

2p = nl* l'area è ottenibile con un pò di ingegno: si è detto che il poligono è scomponibile in n triangoli isosceli congruenti, di altezza pari all'apotema e base pari al lato, pertanto di area nota. Si può allora calcolare l'area:

A = 2p * a/2 = nla/2 = n^2 lNF/

in cui a=apotema e NF= numero fisso relativo al poligono. Come si nota, sia perimetro che area sono calcolabili anche se conosciamo solo il lato.

Nome Numero di lati n Numero fisso NF Misura angoli Triangolo Equilatero 3 0,289 60° Quadrato 4 0,5 90° Pentagono 5 0,688 108° Esagono 6 0,866 120° Ettagono 7 1,038 128,571° (circa) Ottagono 8 1,207 135° Ennagono 9 1,371 140° Decagono 10 1,539 144° Dodecagono 12 1,866 150°

Cilindro

Il cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad un suo lato.

Cilindro equilatero È un cilindro in cui l’altezza è lunga quanto il diametro della base.

L’area della superficie laterale di un cilindro si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’altezza:

L’area della superficie totale di un cilindro si ottiene sommando la superficie laterale e l’area delle due basi:

Il volume di un cilindro si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza:

Cono

Il cono è un solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo intorno ad un suo cateto.

Cono equilatero È un cono in cui l’apotema è lungo quanto il diametro della base.

L’area della superficie laterale di un cono si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due:

, dove l’apotema è la lunghezza del lato obliquo del

cono.

L’area della superficie totale di un cono si ottiene sommando la superficie laterale e l’area della base:

Proprietà. Il cono è equivalente a un terzo di un cilindro avente base ed altezza congruenti rispettivamente alla base e all’altezza del cono.

Il volume di un cono si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo tale prodotto per tre:

La sfera è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro, il raggio e il centro del semicerchio sono il raggio e il centro della sfera.

La superficie sferica è l’insieme di tutti e solo i punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un punto interno detto centro.

Proprietà. La superficie sferica è equivalente alla superficie laterale del cilindro equilatero circoscritto ad essa.

L’area della superficie sferica si ottiene moltiplicando per quattro l’area del suo cerchio massimo:

Proprietà. Una sfera è equivalente a un cono avente per altezza il raggio della sfera e per raggio di base il diametro della sfera.

Il volume della sfera si ottiene moltiplicando per il cubo del suo raggio:

superficie laterale superficie totale volume

Cilindro

Cono

Tronco di cono

Piramide qualsiasi Stot = Slat + Areabase V = Areabase * altezza / 3

Piramide retta regolare Slat =2P (^) base * a / 2 Stot = Slat + Areabase V = Areabase * altezza / 3

superficie sferica volume

Sfera