appunti statistica e probabilità (5 CFU), Appunti di Probabilità e Statistica

Scarica appunti statistica e probabilità (5 CFU) e più Appunti in PDF di Probabilità e Statistica solo su Docsity!

DISPENSA DI

STATISTICA E

PROBABILITÀ

Ludovica Marcucci

Politecnico di Milano

Prof. Franco Fagnola

INDICE

pg. 1: probabilità elementare

pg. 6: statistica

pg. 11: sintesi e applicazione delle formule

gli appunti sono tutti presi dalle spiegazioni del Prof. Fagnola, la sintesi è fatta da me

in preparazione dell'esame

-FORMULA DELLE PROBABILITÀ TOTALE

a due a due disgiunti tali che =Ω è

Per ogni evento A

-FORMULA DI BAYES

Se A e B sono eventi qualsiasi (non necessariamente disgiunti)

ex. Lancio dado ->

PROBABILITÀ CONDIZIONATA: si chiama probabilità di A rispetto ad H

Sapere che si è verificato ci fa cambiare il grado di fiducia nel verificarsi di A cioè P(A) -> P(A | H)

ex. Lancio del dado

H hn HivUhm Hi o ti AIB A

dato

B

A P AIHIPIH.it tl AHnPHu a a

PCB p AUTO P a

plants

ti

ma

hn

A Ant u Anita

u u Antin

A P Anti ap Anhalt

t Antin

AHi P tanti Pianti P A Hi Hi

CHI

a

valutazione

qualità

stabilimenti produzione difettoso

preso

pezzo

a

caso

su

tutta

la

produzione

qual

è la

probabilitàche sia

difettoso

20 1

D

difettoso

30

2

Hi

pezzo

prodotto dai i i as

3 50 3

Tabella PIU

7 00 4 400 413 5400

P DI

Hi Yoo ditta

4100 Ha

3

Pldt.PH

H PGi

PldlHdPlHdtPldltbPGD

2Yiooo

A ti

ecciti coi a 0 H o

Plata

Pla hilt perché Plain

P anti

Plant

P Alti P

H

Pla

Pim Plata

Plan

CHI

quindi

Plata

tant Piatti poi

Pla

Pla PIA

a

datiprecedenti

trovare

Child

P Aib PLEIN PLA

PCH I d

PdittiPitti p E

Pg

oo

231

423

L P BIA

p

PCA

Phd

D 423 Hdd

5

23

Plaude

A B Plants

A 2,

o B 45, Pca P B la

An B 4,

Aub 2, 5,

Plan B 13 Placers 213

A B

probabilità di adatot

μ a a

P anti

sempre

che μ o

Plan

IIII a

rispetto add

PH

Esperimento A aceto

informazione aggiuntiva

si è verificato

me

altro

evento

1

d i a 3, 5,

A 2 4,

ii 4 5,

a

priori

A 12

se so

che si è verificato H cioè è uscito 4,

6 allora i risultati che

verificano A sono 2 3

quindi

mi aspetto che Plain

43

Infatti

Pfaff

P

f

5 3

EVENTI STATISTICAMENTE INDIPENDENTI: due eventi A e B sono statisticamente indipendenti se

Ex. Esperimento: pesco una carta dal mazzo di 5 2

A “esce asso” B “esce carta di picche”

Εx. Pesco una carta da un mazzo di 5 2

A “esce un asso”

H “ prima di vedere che carta è uscita vedo che l’ultima carta rimasta nel mazzo è K di picche”

osservazioni degli eventi indipendenti:

Indipendenza di n eventi: A1, A2, ... An sono indipendenti se

indipendenti

an B P

aPCB

ovvero se B so cioe

sapere

che si è

verificato

Bea cambia la

probabilità

di A

A P an B P A B disgiunti

B

And 0

Plan B

152 c'è solo

un

Aba

a

4 52

413 PCB

1

2

44

Plan

B 152 il

P a B sono

indipendenti

Pla

452 413

pink

152

Plan

Kaa è

rimasto aduazzo

Notare

AG B

indipendenti AIB

AIB AIB

Verifica AnB B Arts da Amber se Pla 0 A 13 qualunque sia B

PHIvb P

B Plants Plants 0 0 B P a B

B Pla

B

P B

1 Pla se AaB sono

indipendenti e

anche disgiunti

P B

PITA

I

ftp.II

o o PlaIPlB

AIB AIB

indipendenti

A IIB indipendenti disgiunti Pla

0 oppure PCB

0

A B

B c Aec sono

indipendenti no c

a

A è

indipendente da Ase

e

solo se a 0 oppure

Pla 1

perché Plana 4

P

fa

Ex se x o oppure

i

t i ciao in Plain

main ai P Ain

a

n.is atti Asono

indipendenti

AIB AIB

Plan

A Pla.JP Aa A 1113 B C

Aec

Plana

PADRIA devono valereione relazioni AIB disgiunti a 04

PCB 0

I I

aeroplano Mauro

en 3 aceti indipendenti

a

2 a name

indipendenti tutti e 3

esperimentolancio 2

cuocete

r.int.aeci.cc

a litio B.int

ci c.int.cc

Plants plai Yz.pl alta ae c Bac

anbnc.si Plants c

la Yo Pia

B

Plc

Stima parametri

n-campione di una densità f(•|θ) è una famiglia di n variabili aleatorie indipendenti (x1,...,xn) tutte con densità x->f(x|θ)

Stimatore di θ: è una funzione θ (x1,..,xn)

STIMA DI θ:

1. Si osservano valori x1,..,xn di X1,..Xn
2. Si stima il parametro con θ (x1,...,xn)

osservazione θ(x1,..,xn) dipende solo dai valori osservati

Ex.

proprietà:

1. cioè non ha distorsione (aka è non distorto)
2. (errore quadratico medio) = -> decresce con n
3. LGN (legge dei grandi numeri) Quando n->∞ allora Xn->θ

Stimatore del parametro θ della densità di Poisson P(θ)

n-campione x1,...,xn di P(θ)

E[Xi]=θ , V[xi]=θ => allora lo stimatore naturale sarà Xn=

=> ASINTOTICAMENTE CONSISTENTE

Ex. x1,...,xn n-campione della densità ε(λ) λ>0 esponenziale con parametro λ

Quindi come prima θ(x1,...,xn)= Xn è uno stimatore non distorto di

⚠ dato che è uno stimatore di λ; non è distorto

Stima dei parametri della densità normale (aka N(μ,σ ) )

n-campione x1,...,xn di N(μ,σ )

E[Xi]=μ, V[Xi]=σ

Come prima Xn= è uno stimatore non distorto, asintoticamente consistente di μ

L'errore quadratico medio

Stimatore di σ?

Varianza campionaria:

perché uno sarebbe tentato di stimare la varianza σ = , dato che E[Xn]=μ con

infatti

=> dipende da μ NON NOTO

se si sostituisce a μ la su stima Xn si trova. Calcola

Moltiplico per a destra e a sinistra trovo: NON DISTORTO!

stima dei parametri μ e σ di N(μ,σ )

• stima puntuale:

Altre proprietà della densità normale

Teom: X~N(μx, σ x) e Y~N(μy,σ y) => indipendententi => X+Y~N(μx+μy, σ x+σ y)

Teom: solo per variabili aleatorie normali

X~N(μx, σ x) e Y~N(μy,σ y) => indipendententi => Cov[x,y]=

Ex. x1,...,xn n-campione della densità N(μ,σ )

x1,...,xn ~ N(nμ, nσ )

basta ricordare che x1,...,xn ~N(?,?) poi E[Xn]=μ & V[Xn]=

in

n

campione di Berlo

è ix a stimatore o

et

txnf.nn.co xnxx.n.nu

Ellen oh Ivana

e

PHxn.oi.efe E9 IE

i

perché EED.co è

distorto

NED

an

In 0 per

non

ecxit.la

Yi

e l

4 Yea la

a

Ellen

017 Vai 79

si lxr.int

Elaine

1ns Knut

EIYNEI.ilxn.us oz nI

oaYnEI ilxr

uIYnEI ilxn

ENNE fr

I

è

I i Eli.IE ilxr IfJ

oa

a

x

x

n

stimatore di μ

s'I

n

i icxn.int

stimatore di ò

a a a

a

nntf.no

n u.I

II

on

Test (verifica) di ipotesi statistiche

ipotesi statistica: affermazione sui parametri di una densità

Ex. x1,...,xn n-campione di Ber(θ)

Hp θ=3/4 oppure θ>

test (o verifica) d'ipotesi: procedimento con cui si decide, sulla base dei dati se l'ipotesi è compatibile (aka

accettabile) oppure no

Osservazione: i dati osservati sono casuali quindi non avrò la certezza di prendere sempre la decisione corretta

A seguito dell'osservazione dati, la decisione (accettare o rifiutare l'ipotesi) può essere corretta i avere 2 tipi di errore:

1. Rifiutare l'ipotesi Hp quando in realtà è vera
2. Accettare l'ipotesi Hp quando in realtà è falsa

Riassumendo:

È impossibile minimizzare contemporaneamente i 2 tipi di errore per cui di solito: si fissa l'errore di I° tipo e si

considerano test che con errore di I° tipo fissato minimizzano quello di II° tipo.

Test sulla media μ della densità normale con varianza nota σ

H μ=μ alternativa H μ≠μ

n-campione x1,...,xn di N(μ,σ )

Stimatore di μ: Xn= (x1,...,xn)/n

Regola di decisione ragionevole: 'rifiuta se Xn è lontano da μ ' cioè |Xn-μ |>r (r da determinare)

Errore I° tipo: è casuale (dipende dai dati) e ha probabilità

Se fissiamo la probabilità di errore di I° tipo cioè la chiamiamo 'α', dobbiamo determinare r in modo

tale che , se vale H Xn~N(μ ,σ /n) ->

Regola di decisione:

• rifiuta se

con z determinato da

• accetta se

riassunto: test di H μ=μ contro H μ≠μ , livello di significatività α dato.

regola di decisionem calcolo Xn, (σ noto),

e se - rifiuto:

• accetto:

Ex. La capacità (in litri) di certi contenitori deve essere esattamente 0.25l. Per verificare la corrispondenza si fanno

144 misure e si trova x=0.22, s =0.04 (supponiamo che la capacità sia una variabile aleatoria normale e che s sia il

valore reale della varianza). Verificare che si può accettare l'ipotesi μ=0.25 contro μ≠0.25 con significatività α=0.1 e

α=0.0 5

regola di decisione: rifiuta se

Osservazione: abbassando la significatività tendo di più ad accettare perché è più difficile avere evidenza statistica per

rifiutare

se α diminuisce => z* aumentare e la regione di rifiuto diventa più grande

tip

vera

Hp

falso

errore

decisione

rifiutata

po

corretta

decisione

errore

Accettathcorreria

tipo

o e o

o

o

Paolina r

i

calcolatasupponendo che

valgano

a

Puoi nu treno rt

a

o o o

o

No

stipi.io IoYIsIdrnI

a

size Inn

12 t.vn a 2li.iolIo rnD a.olEorn

i a.r

oozi

E

2 rn

a zia

In μ in

i

ptzczi.ge

I G

i

e

I

E μ

soffi

o e o

oozi.ae

n μ va

a zo a zu

oozi.ae

n μ va

a

a

i a

x

o.zs.o.az

o.o rifiuto

xo.i

o.aszo.es

i 64

e o

E

a

o.o

F go.o.azszo.ai.se a6x.o.zs o.osao o.O accetto

x o.zs.o.es

Test bilaterale (o a 2 code) dell media μ di N(μ,σ ) con σ noto

H : μ=μ contro H : μ≠μ

Si considera la statistica X = significativitá α

Con i dati osservati x1,...,xn calcolo Xn e da qui il valore osservato di |X | cioè v*=

Confronto v* con la soglia z (determinata da P{Z<z }=1-α/ 2

E se v*>z RIFIUTO

Se v*<z ACCETTO

P-value= P{|X |>v*}, è il più piccolo livello di significatività con cui rifiuto ovvero il più grande con cui accetto.

Quindi se calcolo v* e p-value succede che

• RIFIUTO per α>p-value
• ACCETTO per α<p-value

Ex. Misure capacità di certi contenitori (siano variabili aleatorie normali N(μ, 0.04). Abbiamo un 144-campione da x=0.

calcolare p-value nel test H μ=0.25 contro H μ≠0.2 5

Test unilaterali (a 1 coda) sulla media μ di N(μ,σ ) con σ noto

H μ=μ contro H μ>μ (oppure H μ=μ contro H μ<μ ; H μ<μ contro H μ>μ )

Statistica test significatività α data.

Regol di decisione:

• rifiuta se con z determinato da P{Z<z }=1-α

Caso σ non noto

Statistica test

Test Ho: μ=μ contro H μ>μ

Regola di decisione:

• rifiuta se

Ex. n-campione di N(μ,σ ) σ non noto

Test di Ho μ>μ contro H μ<μ con significatività α

Statistica test

Regola di decisione:

• rifiuta se infatti per probab. errore 1a specie

Test sul confronto delle medie di 2 campioni normali

x1,...,xn n-campione di N(μ ,σ )

y1,...,un n-campione di N(μ ,σ ) Con (μ ,μ ,σ ,σ non noti)

Stimatore di σ e σ sono:

Si potrebbe verificare che per n,m>>

Perché

ma σ , σ non li conosco -> li stimo con

Quindi

o

i

In.no

ooirnx n.no

cairn

ie

i

e

a

a

i

a

o

i

xts.xn.no

o.azo

ooirnut.f.no avrai

o.ae

p

vauie.pllziso.rs

zplzso.s o.ozisquiudizi.a zv

seaeo.oair accetto

zi.gov

sseaso.oi.isrifiuto

a

o

o i o o o i o o

o o

in.no

ooirnxn.no

o.ir

zia

i

a i a

x

n.no

snrnrtin.i bendano

o i o

In μ

sn

rnsti.a.n

a

o

o o

xn.no

sn

rnjnnjc

ti.a.n

ppfsijc

ti.a.n.it

fInYIsti.a.n

a

a

a

a a

μ a a

a

a

e

s'In L

I Katia

s'imah I

xts.IE

I

j

YnNlo.eIXnnNfux.F Ym Nlm.F quindi In Inanimata

a

a sina.si

mplx

sczi.al i.a

spHxtslcz

a l

i.a

EsciPROBABILITÀ ELEMENTARE

Ω=spazio campionario (il tutto)

• negazione:
• almeno una delle due:
• ciò che è in comune:
• É successo H quindi per quello A cambia e diventa:
• Eventi disgiunti:
• Probabilità del vuoto= 0
• Eventi indipendenti:
• probabilità totale è sempre =1, quindi l'intersezione = 1-(Pa+Pb)

PROPRIETÀ

• normalizzazione:
• Regola del sottovento
• Regola del contrario
• Regola della somma

• Se sono eventi disgiunti:
• Formula di Bayes:

• regola della catena:

Esercizi con la tabella

Densità marginali:

Indipendenti: P(x=2,y=2)=0 P(x=2)P(y=2)=

Media:

Varianza:

Covarianza:

Var[x+y]= var[x]+ var[y] + 2Cov[x,y]=> Var[ax+by]=a var[x]+b var[y] +2abCov[x,y]

Cov[x,y]=0 se sono indipendenti

Ex. X~N(0,1) e Y~N(0,2)

MEDIANA: F(x)=1/2 (devo trovare il valore di X)

E È

AUB

And

Plan

Pianti

p.CH

Anteo il

vuoto

Plants P A PCB oppure PLAID

PCA

play.PH 3 plpdtPlAB PlB

P r

lAcB sP A eP b

P A l PIA

Plauto

P A PCB Plants

A upon c AUB n Auc

An Boc Anb u Anc

Antiauto

plauto

a PCB

plbta

PCAIBJpcpdp.CA

PIETA A I pipita

PLAID

papà

i p

PCA

plein

Plan p

fatti

ACB piatti

EPCB.lu

PGIIBT

l

PIAIBIPfaubltd

plaltdi.toBltD p anBlH

Est palatale

i 23

la la 043 da fare casa

rigate per ogni

donna

e

o spa

logguarginale

4,

5

72

3 712

5 72 0

consono

indipendenti

7hr

legge

marginale

I 13

12

23

12 a

17 1 1 i Yara.sizt

s

ia 7 μ

xD Ed

xD ii Idalia i

Kaylai yahoo.qtlz.s.ikdtfs.i.qxfs.si

o

tls.s.Yia ha

iii

i thats ygi 3 ya.is

sGulx yI

4Yiz

2

2 9

a a

efxi.fr

0

g oVarfxjf

itfEy

o 2

'Esercizi col grafico

Probabilità: punti non con i pallini pieni:

con i pallini pieni:

Densità: valori in cui Fx fa un salto (distanza tra i pallini pieni)

Media/speranza:

Varianza:

Variabdensità discreta: fx(Xi)=P{X=Xi} per X≠Xi, è positiva e normalizzata a 1

Variabile continua:

Densità continua:

Media o speranza:μ=E(x)=

Varianza: σ =V(X)= E((X-μ) ) = E[x ]-(E[x])

V[x+y]= V[x]+2Cov[x,y]+V[y]

Covarianza: Cov[x,y]=E[xy]-E[x]E[y]

Cov[ax,by]= abCov(x,y)

Probabilità: P(X>α)= , P(X<α)=

Bernoulli: un evento ha probabilità p di realizzarsi. Ripetiamo l'esperimento n volte. Qual è la probabilità che l'evento si

realizzi esattamente k volte?

⚠ SE HO TANTE POSSIBILITÀ CONVIENE FARE IL 1-complementare

• se ho 'tot o più/almeno':
• se 'probabilità che non esca mai': significa che P(x=0) e x=0 quindi k=

Poisson: lo uso quando ho un valore medio(λ) e il tempo. X=k

⚠ attenzione da ore a minuti. λ(in ore) : tempo(in ore)x60= λ(in minuti): tempo(in minuti)

Distribuzione iper geometrica: senza reimissione

Densità normale N(μ,σ ) -> μ=E[x];σ = V[x]

-> funzione di ripartizione:

-> probabilità:

Standardizzazione:

-> densità :

-> funzione di ripartizione :

-> E[Z]= 0

-> V[Z]=

i

ftp.IH o

o.o

fxlo.q.pco.ci 45 0.30.

à à i è

E Expert

o.plx.di.xa.plx.se

2 0.

vaolxy.EU EGDI.EG.ec plx

n

o.o8asppCx

o t

la o 8asfPlx

a

lo.es o.s t

t

i.ias o 2

o.s7 2 P1acXsb

abfxln de

t.it xln

dx

iPfx

n o

Eni

fini

discreta

xp

continua

a a a

o

a

tua

faida

l'aceto

si

verifichi

EEIEia.EI.cn I pK

i

pj

kca

p x tot p

x

tot P x

possibili tot p

i p

t

n

pc.p.g.pynplx ot

cnj.po.i.pt

ix

i

t.ntotaie.to

e

F

se npssmsodaB.vn se n.pe senso

Poisson ricordataE

i

ecxtas.EE I ECuJ p

i

a

F II

numero

totale di mito v

munita d successo

nn

n

unità

estratte

e

a

ix

e

se

finivano

ta.de

E Io È

be

placa.bg

v

abe.si

Faibi.Faca

e sehozaiiinizio.ie questopassaggio i Fa

e

E pe

p

e

pk Fn

o 8ab viva

tizi

e

zza

Fi PL D

via

e

il

valore si

trova

sulle tavole

se

sei.co trono il

calore di a

sullacolonna di sxda poi

trovo il

calore che ci serve di tizi

a pcza.is

se

non

calore

negativo

inverto

seguo

da plz

se

hoziacoridiziplz.azazd.kz Fez

ex

III

Accetto

se

ÌL

zi.az

a

Accellose

État

a

Accetto

se

IYIc

ti a.nu

x

μ

x

Accetto μ

se

e i a Accetto

se

e a