Scarica Esercizi di Probabilità: Variabili Aleatorie, Distribuzioni e Teoremi - Prof. Fagnola e più Appunti in PDF di Probabilità e Statistica solo su Docsity!
si scrive anche ponendo
V.A. CONTINUE:
CONDIZIONATA:
SPERANZA:
VARIANZA:
TOTALI:
FATTORIALE:
RIPARTIZIONE:
MEDIA: VARIANZA:
POISSON:
per n grande e p piccolo:
DENSITÀ:
DISCRETA
BERNOULLI: ha solo due valori 0 e 1
GEOMETRICA:
BINOMIALE:
IPERGEOMETRICA: estrazione senza reimmissione
CHEBYCHEV:
se V.A. continue:
CONGIUNTA:
PROPRIETÀ:
SCARTO QUADRATICO MEDIO:
(condizioni)
(dispersione)
marginali:
P(AUB) =^ P(A)+ P(B) - P(AMB) e^ DISGIUNT:P(AUB) =^ P(A)+^ P(B)^ P(A4^ =^1 -^ D(A)
P(A(H) =^ P(Ann)^
(P(AnB) = 0)
P(H) se PCAIH)^ =^ D(A)^ =Ae^ Hindipend ->^ P(AnB)^ =^ P(A)^ P(B) P(FI) =^1 - P(A1H) (^) P(A15) = P(5(A) P(A) BAYES:P(n(A) =D(AIH)^ P(H)
P(B) P(A)
P(A) =
zP(A1H1)P(H)
-> wcombinazionipossibili
k!Mut-k!
Fx(y) = P(x = y) vy-^ R
E[x] = EXiP4X =^ xi)^ VIx]^ =EI(X-^ Mx)^ cowMx=E[x]
E[ax+ b] = aE2x]+ b X2x] =E[x) - EIx]
=(Xi-u)f(xo
E[x+4] = EIx] +^ EI7]^ linearità
E[X.Y] = E[x]. E[7] -> e^ xHY ↑[ex+ b] =
aN[x)
= I(Xi- E[x])?p
E[g(x)] = (g(x)f(x) d
x[x+y] =^ N[x]+NIY]-2COV(x,Y)
N[ax+^ by] =^ ax[x]+bV[4] +2ab COVEx,y]
f(x)
= P(x= x) =^ e
x xx -evento raro
P(x) X!^
~ conta quante volte un evente si verifica
in un certo tempo
i () Pr(1-pul-^ =^ e^
xk (^) vk = 0,1 ... E2x] = xx2x]= x <^ x^ = e.p
k!
xweB(w,Pu) ->^ P4Xn= k) P4x^ =^ k3^ x-P(a)
8x(Xi) = P(x= xi3ki
P(x= 03 =^1 - p P4X= 13 = pmBer(1,p)
SUCCESS (INSUCCESSO
DI UNASOLA PROVA E[x]^
= peX[x] =
p(
- p)
fx(u)
= p(1- p)ai -> tentativiindipendentie^ voglio^ sapere^ dopo^ quanto
tempo ho^ il1°^ SUCCESSO
#2x =
VIx] =^1
MEMORIA^ P(x^ u+^ e/X^ ) =^ P(xu)^ =^ (1-^ p)u
p
p =^ prof.^ SUCCESSO^ singole^ prove,
con (^) REMMISS.
f(k)
=
(2)p"(
- p(m
1 - p = prob INSUCCESSO
B(u,p) wcomberations u^ =^ n'^ prove -
SERIEdilaucistesse^ tipo
k=^ w.^ SUCCESSI
P(S = x3 = Epu(1- p)re[Sn]= u.px[Sn]=
up(1-^ p)
DEVIAZIONESTANDARD
P(x = k) =
(E)(r) k=
0,... E[x] =
e
8 Tx] = V2x]
e
e
~westrazioni
senta
Hyp(M,N,u)
reimmissione
2 =^ k0^ P{1X-wk k03 5 1
PIXbdove ECX^ = M e^ xee^
k
(quando
ho la tabella
fxy(Xi,j)
= P4x = xi,y= yy) PROPRIET: ⑧ &x,y(Xi,95)^0
P(a sxb) = (f(x)dx
=F(b)- F(a)
y fxg(Xi,y()^
= 1
-NIX3=EIxY^
↓[x] = [(x- E[x])2] =
(x- E2x]Yf(x) e · 8x,y(xi) = 8x,(xi,yi)
E[x] = (xf(x)ax EIxY= /()e · 8x,y (Bi) = fx(xi,Yi)
1) 8x(x) = 0 x^ ·
fx(x) +^ P(x
= x)
2) 18,()dx =^1
P(x = x) =^0
LEGGE DEI GRANDI NUMERI
DENSITÀ CONTINUA
SU UN INTERVALLO
ESPONENZIALE
per funzione di ripartizione:
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE
proprietà:
DENSITÀ NORMALE:
per standardizzare:
per n grande:
COVARIANZA:
COEFFICIENTE DI^ X e Y non correlate: cov[X, Y] = 0
CORRELAZIONE:
STIMATORE DI θ
errore quadratico medio:
legge dei grandi numeri:
INTERVALLO DI CONFIDENZA CON σ NOTO:
σ NON NOTO:
STATISTICA
ERRORE 1º TIPO: rifiuto ipotesi vera
ERRORE 2º TIPO: accetto ipotesi
falsa
MEDIANA:
8x(x) = (pax
- [a,b) E x- b (^) a = x = b E[x] =^ b
+ a
Fx(x) =^ b^ -^ a^2
U(a,b)
x &[a,b] 0
N[x] =^ (b
fx(x) = Setts.^8 (dx =^ E2x3^ = (^1) xIx]= R E(x)
. x^ so^ (odx=o
Fx() =
(x)dx
cx0 Fx(x) =
(od+)
xeax=
[-ex=1-^ exx se x-^ E(x)^ P(x >^ a+ (^) u(xw) = P(Xu) assenza^ dimemoria ~>
se ho fx(x) la
Fx(x) = P(x = (^) x) = (yfx(t)dt = Fx) = f(x) ENSITFx(t) - Perartob (fx(xd=FxCA^ E 0 t>^ b 1)è continua
- I^ CRESCENTE:xIy^ = Fx(x)= Fx(y) = (Ex(y) - Ex(x) = Px(x = y)-^ Px(x^ =^ x)^ =^ (x=x=y)^ = (f(x)ax 3)line Fx() = f P4X2x3 = 1 x- + b lin (^) Fx(x) = ei(XEx} =^0 e (^) (F(x) = 7 X- - NORMALE N (^) (w, fx(x) = se (^) sen=^ e^ O^1 ->^ STANDARD sexe Bin (^) (u,p) => yuv (^) (up, up(1 - p)) 240 GAUSSIANA X (^) vN(w, (^) 0T =
x-w z = x-
uwN(0,1) E[x]^ = N X[x]^ = 0
O (^) USO (^) LETAVOLE ⑧I(- z)=^1 -^ 5(-^ z)^ =I(E) *=xet...^ +^ xn^ E[Xu] = EIx]= N (^) NIEn] = 42x] (^) = In (^) ~N(u,) Fu-wwN(0,1) e (^2) + er u (^) - I(x- ka) SawN(wh, (^) w0] ->^ S^
Sw = v- 1k= 1 STANDARDIZZATA w
VAR. CAMPIONARIA var [S] COV(x,y) =E[(x-E2x3) (y-E243)] =E[x.y]^ -E[X)·^ E2Y)^ =I(xi
- wx) (yi- wy)fx,y(xi,yi) · se x = Y:COVIx,x] = VIx] XHY- (^) COVIX, Y] = 0 E[x.Y] = Ex.yP(x= x,y= y)
· sey:cost. E[4]=< -> COv2x,c] = 0 · COV[ax+b, Y] = acov[x,Y]
· cov[ax+ (^) by, cz + dw]= acCov2x,z]+adcev[x, w] · COV[x, Y] = COVIY,x]
+ bcCOVTY,z] +bd coVLY, w] · Icov[x, y]1 = x[x].NIY]
9(x,y) =^ COVEX,y]^
NIx]. NIY] (Xu)^
SUCCESSIONE
:(X, (^) ... Xu) +220^ ->^ P(/x
+ ... + xw -
e^ u)))aEu
EIXn] = wO =^ E^ ENONDISTORTO In EIx] = M NIx] = 0 E[(*a-8) => (^) NIEn] =^ N[x]^ =^ 0C1-0) P(/Xn -0k^ () =0(1-0)^ =^ Eu)^ e Pro/En-wol> r} E' (^) E
In-U
~N(0, TEm-Enzo;FutZr o i E Sw = u(Xi)
VALORE PIE PICCOLO PER CUISI
In-tru-iSn; Fatte e
ne
SMMATOREe^ p-va Zu =^ Fu-No^ Su Er Ho (^) H1 (^) RIFIUTO Ho P-VALUE meH1 RIFIUTO (^) Ho e = No e>Mo (^) ZuZr-a -(- zu) elo eseo (^) tax (^) tr-2, u - 1 e =^ Mo^ e=No (^) Zux-Zr- 2 I(zu) (^) >No elo^ Zukte-c, m e= No (^) Alo (^) Ink En- 2I((zul) e = wo WENO (^) Ink tr-2,u
