Medie statistiche: calcolo e proprietà (aritmetica, armonica, geometrica, quadratica, pond, Appunti di Statistica

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Capitolo 4

Medie Statistica: principi e metodi

¥ le medie sono lo strumento con cui si

sintetizzano i dati statistici.

¥ l’uso della media consente all’individuo di

rappresentarsi mentalmente l’“ ordine di

grandezza ” di un fenomeno, di

effettuare comparazioni tra le

manifestazioni di uno stesso fenomeni in

tempi, luoghi o situazioni diverse, di

comunicare ad altri tale informazione.

Medie

La media aritmetica presenta le seguenti proprietà: ¥ Il prodotto N • μ dà il totale del carattere nella

distribuzione

¥ Se a e b sono il minimo e il massimo dell’insieme x 1 , x 2

…, x N

, la media aritmetica è compresa tra queste due

quantità, ossia a ≤ μ ≤ b ( internalità)

¥ La somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica è

uguale a zero

¥ La somma degli scarti al quadrato dei valori x 1 , x 2 , …, x N da una costante c è minima quando c è uguale alla media

aritmetica

Proprietà della media aritmetica

¥ Se il singolo termine della distribuzione, x

i , viene sottoposto alla trasformazione

a + bx

i ,

con a costante qualsiasi e b ≠ 0, la nuova media è legata a

quella originaria dalla medesima trasformazione ( linearità)

¥ Se un collettivo statistico di N unità viene suddiviso in L

sottoinsiemi disgiunti aventi numerosità N

(1)

, N

(2)

, …, N

( L) e

medie μ

(1)

(2)

( L) , allora la media aritmetica del collettivo può essere così calcolata ( associatività ) Proprietà della media aritmetica ( ) 1

( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( L ) ( L)

μ · N μ · N μ ·N N μ = + +!+

Quotazioni di borsa di un titolo azionario in 8 sedute successive: 12,8, 13,0, 13,4, 13,4 , 13,6, 13,5, 13,6, 13, q Proprietà 6: se suddividiamo la distribuzione data nelle due seguenti: A. 12,8, 13,0, 13,4, 13,4 , 13, B. 13,5, 13,6, 13, aventi medie pari a 13,240 e 13,600, la media aritmetica della distribuzione iniziale può essere ottenuta come

μ

Media aritmetica: verifica della proprietà 6

· · μ

La media armonica di una distribuzione statistica

disaggregata, x 1 , x 2 , …, x N

, i cui termini sono tutti

diversi da 0, è data dal rapporto tra N e la somma dei

reciproci dei termini:

Media armonica .

=

=

N

N^ i^ i

a

x N x x x N 1 2 1 1 1 1 1 ! μ

La media geometrica di una distribuzione statistica

disaggregata, x 1 , x 2 , …, x N

, in cui tutti i termini sono

maggiori di 0, è data dalla radice N-esima del prodotto

dei termini:

Media geometrica ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∑ = N i i N g N x N x x x 1 1 2 1 μ · ·!· exp ln( )

Media geometrica: calcolo

Quotazioni di borsa di un titolo azionario in 8 sedute successive: 12,8, 13,0, 13,4, 13,4 , 13,6, 13,5, 13,6, 13, q La media geometrica della distribuzione è data da In forma tabellare xi ln ( xi ) 12,80 2, 13,00 2, 13,40 2, 13,40 2, 13,50 2, 13,60 2,6 1 0 13,60 2,6 1 0 13,70 2,6 1 7 Totale 20, μ g = 8 12 , 8 · 13 , 0 ·!· 13 , 7 = 13 , 372 2593 13370 8 20744 8 128 130 137 exp( , ) , , exp ln( , ) ln( , ) ln( , ) exp ⎟=^ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ! μg

Media quadratica: calcolo

Quotazioni di borsa di un titolo azionario in 8 sedute successive: 12,8, 13,0, 13,4, 13,4 , 13,6, 13,5, 13,6, 13, q La media geometrica della distribuzione è data da In forma tabellare xi^ xi^2 12,80 163, 13,00 169, 13,40 179, 13,40 179, 13,50 182, 13,60 184, 13,60 184, 13,70 187, Totale 1.431,

2 2 2

μ q

Media aritmetica Medie analitiche per le distribuzioni di frequenze ∑ ∑ = =

k i k k i i i i k i k k x f x f x f x f x n N N x n x n x n 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

μ

i i

k

i

k k

x n N N x n x n x n ∑ · = =

= 1 1 ·^12 · 2! ·^1 μ 2

i 1 i

i

c c x

= −

Modalità

singole

Modalità

raggruppate

in classi

dove è il valore centrale della generica

classe.

media armonica Medie analitiche per le distribuzioni di frequenze ∑

= k i (^) i i a x n N

μ

∑

k

i

i i

N^ n

k

n n

g

n x N x x x k 1 1 2

1 2

exp ·ln( )

μ · ·! ·

i i

k

i

q^ x^ n N · 2 1 1 ∑ = μ = media geometrica media quadratica

Media geometrica per una distribuzione di

frequenze a modalità singole: calcolo

Distribuzione di frequenze della lunghezza dell’avambraccio (in cm) in 140 soggetti :

3 ·ln(41) 2 ·ln(42) 1 · ln(54)

3 2 1

exp

exp

⎟^ =

μ g!

In forma tabellare · xi ni ni ·ln(^ xi ) 4 1 3 11, 42 2 7, 43 6 22, 44 11 41, 45 8 30, 46 17 65, 47 21 80, 48 14 54, 49 17 66, 50 15 58, 5 1 10 39, 52 10 39, 53 5 19, 54 1 3, Totale 140 540, Modalità Frequenza 4 1 3 42 2 43 6 44 11 45 8 46 17 47 21 48 14 49 17 50 15 5 1 10 52 10 53 5 54 1 Totale 140

q La media geometrica è data da:

Media aritmetica per una distribuzione di frequenze a modalità raggruppate in classi: calcolo 218 82 1.788, 140 200 · 31 225 · 45 255 · 5 285 · 1 , , , , , = =

In forma tabellare q La media aritmetica della distribuzione è data da: Classe Valore centrale ni 19-21 20,0 31 620 21-24 22,5 45 1012, 24-27 25,5 5 127, 27-30 28,5 1 28, Totale 82 1.788, Classe Frequenza 19-21 31 21-24 45 24-27 5 27-30 1 Totale 82 x i Distribuzione di frequenze degli studenti di un corso di Statistica secondo l’età :

x i ·n i

Media aritmetica ponderata Siano x 1 , x 2 , …, x k le osservazioni e w 1 , w 2 , …, w k

i rispettivi

pesi. Allora, la media aritmetica ponderata di x 1 , x 2 , …, x k

è data dal rapporto tra la somma delle osservazioni

moltiplicate per i rispettivi pesi e la somma dei pesi

Medie analitiche ponderate ∑ ∑

=

= k i i k i i i k k k w x w w w w x w x w x w

! · ·! · μ