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Appunti Sulla Continuità, Appunti di Analisi Matematica I

Appunti di analisi matematica I

Tipologia: Appunti

2018/2019

Caricato il 05/04/2019

Monti_Matteo
Monti_Matteo 🇮🇹

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bg1
continuita der.in
zIONESiaf
lR siR DDg sia xED ovveroJfk fsidice continua in se
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oppure
VEso IS te se xeDg eix xd Sallora 1faifcx.deEIii
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osservazione
La definizione dicontinuità in dice
che
1La fècontinua in se èisolato
2Se fèun puntodi accumulazione per dallora continua in vuol
direcheftp.fcxi.x
teorema
ècontinua in se esolose fècontinua PER
successioni nelpunto
Continuapersuccessioniridefinizi
Per ogni anedgt.c.am xflan fini
Attraverso qst teorema posso fregarmene se èdiaccumulazione oisolato
pf3
pf4
pf5

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continuita

der.in

zIONESiaf

lR

siR D

Dg

sia

x ED

ovvero

Jfk f

si

dice continua

in

se

ti

Illa

taleche se

e

Ognuno

allora

fai

c

Uffa

oppure

VEso

IS

te se xe

Dg

e ix

xd

S

allora

1

fai

fcx.deE

Iii

fai

e

e ii

i

i

s

S

osservazione

La

definizione

di

continuità

in

dice che

1 La

f

è

continua

in se è

isolato

2 Se

f

è un

punto

di

accumulazione

per

d

allora

continua

in

vuol

direche

ftp.fcxi.x

teorema

è

continua in se e

solo se

f

è

continua

PER

successioni

nel

punto

Continuapersuccessioniridefinizi

Per

ogni

anedgt.c.am

x

flan

fini

Attraverso

qst

teorema

posso

fregarmene

se è

di

accumulazione

o

isolato

Teoremarpermanenzatelsegnosia

f

continua

in

con

fix

so

allora

JUG taleche se

xedgnvkx.li

allora

fa

o

teorema

Siano

f

e

g

continua

in

x

allora

fry

continua

in

f

g

continua

in

con

yk.to

continua

in

Continuità

della

composta

Funzionecontinuatina

f

R sir

di

dominio

Dg

è

detta

continua se

è

continua

in

ti c

Dg

Puntididiscontinuto

è

punto

di

discontinuità

per

f

se

f

non è

continua

in

salto

Se

III

fai

e

IIII

fai

ma sono

diversi

Eliminar

Se

I

ftp.fcxi

ma

è

diverso

da

sPE fcxdd.it

Quando

il

limite

e o il

limite

sinistro

è

sono indeterminati

oppure

infinitoli

MI

fai

è continua

per

la

definizione

che

abbiamo dato

infatti

x o che

è

il

punto

critico

per

non

appartiene al

dominio

TEOREM.no WEIERsTR

Sia

fila

b IR una

funzione

continua allora

f

ammette massimo

e minimo

le

richieste

necessarie

fatte

dal

teorema

sono

1 La

b insieme

chiuso

la

b insieme

limitato

f

è una

funzione continua

se

rilasso

anche

solo

una

delle ipotesi il

teorema risulta

falso

esempi

dominio

non

chiuso

fin

su o

i

2 dominio

non

limitato

fin

arciani su IR

chiuso

ma

non

limitato

f

non

continua

fax

su

lo

a

o

x i

TEOREMASINTE.si Darboux

Weierstrass

Sia

fila

b IR

continua allora

fila

b

m

MI

COROLLAR

rfunzionimonotonesiaf.la

b R

sia

f

monotona allora

continua

se e

solo

se e

ftp.bD

lm.nl

perché

secosi

non

fosse

f

avrebbe delle

discontinuità

di tipo

salto

e

fila

b

non

sarebbe

un

intervallo

osservazione

Se

f

è

biunivoca

tra

la

b

e Imu il

che

è vero se

f

è

strettamente monotona

allora

f

Imu

a

b

è

continua

TEOREMAPERFunzionicontinueeiniettivesiaf.la

b

IR

continua

se

f

è

interna dal teorema

disintesi soche

f

Lab

film

MI

allora

f

è

strettamente

MONOTONA

È

chiedendo

ad

f

suriettiva

per

il

TEOREMA

di

sintesi

l'inattività

houna

funzione biunivoca strettamentemonotona

astrazione

teorema

di

WEIERSTRASS

T Sia

f

a b IR una

funzione

continua allora

f

ammette

massimo e minimo

Mostriamo

che

esiste

il Max

analogo

per

il

min

Chiamo

ME too

a

per

la

definizione

di

superiore

7 Xu E

la

b tale

che

fixes

M

poichè Xu è

limitata

per

ipotesi

per

Bolzano

Weierstrass

esiste

un punto

WEIR

eduna

sotto

successione

Xp

tale

che

Xin

w

Poichè

Xp

ed e Xena

w

allora

per

il

TEOREMA DELLA

PERMANENZA

del

segno web

poichè

a e

Xuan

allora

analogamente

W

a

in

conclusione

we La

b

i

Poichè

f

è continua

flinn

f

Poichè

firma

è

una

sotto successione

di

fan

segue

che

f

Xenia

tt

per il

teorema dell'unicità

del limite da

cui

ho

mostrato

che μ

1 Me

00 oltre

ad

essere il

2 Mè il

Max

poichè Juve

a

b

tale

che

fa

Me

ftp.bl