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CONTINUITA'- e una
traluardare il (^) singolo punto
Def- f : IER - R , ctI allora si dice che f i continua in
x = c Se I finito /im f(x) = f(c)
x -
oss :^ f^ è^ continua^ se^ e solo^ se^ I^ finito il^ lim f(x)
x- C
I finito 1 : lim f(x)
x- st
elimf(x) =^ (imf(x) = f(c)
X -^ - x- ct
↑ è^ continua su un intervallo^ IRR se fe continue [xt^.^ I
DISCONTINUI TA Y a
· I lim f(x) e 7 lim f(x) ma lim f(x)+lim f(x)
x - (^) - X-s2t x -^ - x - st^ :^0 - x = c è un (^) punto di discontinuita^ di^ pie (tipo (0) ↓ Les :^ funzioni^ definite^ a^ tratti)
· x = c e un punto di disc. di ecie se I asintoto verticale in x= c
oppure
almeno uno dei due limiti 5
· (^) x (^) = c (^) e un (^) punto di disc. di III (^) specie (eliminabilel Se I-limf(x)^ = (imf(x)^ ma m(x)
+ f(c) e f() nom e
x -^ -^ X^ -^ definito
es : f(x) = e ( : x = 0
Apari- lim^ f(x)=^ limf(x)^ =^0 ma^ fo)^ =>^ x^ =^0 e^ un
x 30 + x- 0 punto di disc.
di III specie
se definisco fix-
(ete se (^) it
elimino la^ discontinuita
notaz :^ sef^ :^ (a,^ b)^ -^ R
sf é (^) continua in (a,^ b)^ = >f - 7(((a, b)) [a (^) , b) =^ + +^ (([a. (^) b]) fig
definite in un U(xo x. R , continue in xo=> Front. in xo
~ ↑ I
tutt i^ polinomi e la funzioni
I I (^) ut" e elementari (^) sono funzioni continue (^) (2n (^) f(xd+ 0)
sul lovo dominio forminXo
continuità della^ funzione^ inversa : sie f: I-R , f continue in^ I
set è invertibile^ > +^ I^ strett. monotona -> l'inversa è continue
I (^) e strett (^). Monotonab ess :^ le^ funzioni^ inverse^ delle^ trigonometriche sono^ continue se f^ é^ discontinue^ puol essere invertibile^ anche se non strett (^) , monotona (^) & ... 8 I é (^) invettiva (^) ma (^).
x - [o , 1) - - ... è
es :^ f(x)^ = monotona
L- x (^) x - (^) [1, 2] (^) I.
se
a
dim : Sia fla)o , f(b)co
·il c = at
IBISEZIONE)
I ⑧
se f(c) =^0 -^ ho finito
s f(x)^ =
f(a)f(n) co^ an^ :^ =^ a^ ,^ bi:= (n
f(b). f(x) -^0 an :^ =^ c ,^ bi^ :^ =^ b
consideriamo [an . bi
/bian
1
2 = ab
2
Sef(cz) =^0 - ho finito
a f()
, bace
az : = 12 , bc : = b
(^13) = tb ... [an ,^ br]^ br-an= I
e cr = = ban
zi
se trovo^ an tc^ f(cm) =^0 FINE
se nor (^) lo trove ↓
1) [ante^ ; bet13 =^ Tan^ , bu] Fr
bu-ar-
3) an^ A^ ant1=^ an
bax bateIba /n
acanb
inoltre sono limitate^ a < ba = b 2 a^
quindi 5 /man-te e^ Climbr= In le^ la t
e--
=limbr-liman-limbe-am=Im^ a n -^ +^0 n - s^ B ↓ Alz [f(el]= fel^ · Fiel =^ f (ima) (^) ( b)^ = /im (^) flan) ·^ (im^ f(bu) (^) = IP (^) n - (^1 0) n- (^) i
- continue
- lim f(an)f(bn) ^0
MASSIMI e^ MINIMI
sia f^ :^ IR-R^ , xo ->^ I
si dice^ Che Xo^ : -irporto dimlocalerelativa te se 7530 +c.^ x^ +^ In(x0^ -^ d^ ,^ x^ +^ d)^ f(x0)^ =^ f(x)
se -130^ +c^.^ Fxt[d(X0 -^ d^ , x + d) f(x) =^ f(x)
xo e un^ punto di^ in forte/stretto se 50s0 +c. x^ t^ +^ 1(x0^ -^5 ,^40 + d) f(x)-^ f(x) / (^) /S / (^) - f(x0) > (^) f(x) Globale a Free (^) - (^) fa
/ f(x0) -^ f(x)
fy(x) =^ f(x)^
- y per comodita' (^) xm = (^) XM fy(x)(=xm , xn] -> restringo (^) gy(x) in^ [xm^ ,^ x^ m]^ =^ Ia^ , b)
gy(x) continua
fy(xm) =^0 fy(xm)^ =^0 m- 4 M - 4 gy(xm) · fy(xm) =^0 gy(x) continua xy (a^ ,^ b)fy(xm)^. g(xm) <^ (non =^ d
per teorema^ degli^
(^0) = (^) x + (^) [xmi x m] ta (^) gy(x) = (^0)
f(x) - y =^0
#y
