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Continuità delle funzioni reali
1. Riepilogo estremi – estremo superiore
sup
𝑛𝑜𝑛 è 𝑠𝑢𝑝. 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑎
sup
è 𝑠𝑢𝑝. 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑎
Se 𝑀 = sup
]
→ sup
ூ()
2. Continuità in un punto
Definizione. Sia 𝑥
, si dice che f è continua in 𝑥
, se
Equivalentemente:
Traduzione della definizione:
- Se 𝑥
è isolato (per 𝐷
) allora f è continua in 𝑥
- Se 𝑥
è un punto di accumulazione (per 𝐷
) allora f è continua in 𝑥
⟺ lim
௫→௫
బ
Teorema. Continuità successionale. f è continua in 𝑥
La successione deve essere uguale a 𝑥
definit.
Teorema. Permanenza del segno. Sia f una funzione continua in 𝑥
Se 𝑓(𝑥
) > 0 allora ∃𝑈(𝑥
e 𝑥 ∈ 𝐷
[
)]
Teorema. Operazioni con le funzioni continue. Siano f e g funzioni continue
in 𝑥
Allora:
- La funzione 𝑓 + 𝑔 è continua in 𝑥
- La funzione 𝑓 ⋅ 𝑔 è continua in 𝑥
- Se 𝑔
è continua in 𝑥
Dimostrazione della 3.: Sia 𝑎
∶→ il loro rapporto tende al rapporto dei limiti.
Teorema. Continuità rispetto alla composizione. Sia f continua in 𝑥
(e
quindi 𝑥
) e sia g continua in 𝑦
(e quindi 𝑦
Allora la funzione 𝑔 ∘ 𝑓 è continua in 𝑥
Esempio. 𝑓
è 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑎𝑐𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
Dimostrazione: Sia 𝑎
tale che 𝑎
Si deve dimostrare che
Se 𝑎
Poiché f è continua:
e dunque 𝑓(𝑎
e dunque 𝑔
3. Continuità globale
Definizione. Una funzione f si dice continua in un intervallo 𝐼 ∈ 𝐷
se è continua
in ogni punto 𝑥
Definizione. Una funzione f si dice continua se è continua in ogni punto 𝑥
Esempio. 𝑓
ଵ
௫
⟹ 𝑓 è 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎
Sono continue le funzioni:
Polinomi
Esponenziali, logaritmi, seno, coseno, ecc. (funzioni elementari)
E prodotto, somma, rapporto e composte di tali funzioni.
4. Punti di discontinuità
Definizione. Un punto 𝑥
è detto punto di discontinuità per una funzione f
se f non è continua in 𝑥
Esempio.
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑖 𝑥 = 0 vale 1
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑥 𝑑𝑖 𝑥 = 0 vale −∞
𝑥 = 1 è un punto di d. II specie.
Esempio.
sin
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑖 𝑥 = 0 non esiste
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑥 𝑑𝑖 𝑥 = 0 vale 1
Esempio.
sin
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑖 𝑥 = 0 non esiste
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑥 𝑑𝑖 𝑥 = 0 vale −∞
5. Prolungamento per continuità
Sia f di dominio 𝐷
e sia 𝑥
punto di accumulazione per 𝐷
, ma 𝑥 ∉ 𝐷
Si vuole estendere la f in 𝑥
: si costruisce una nuova funzione 𝑓
con 𝐷൫𝑓
. Dunque
È possibile trovare 𝛼 𝑡. 𝑐. la funzione 𝑓
sia continua in 𝑥
se:
𝛼 = lim
௫→௫
బ
Il limite deve, però, esistere.
Si possono avere quattro situazioni:
è continua
ha un punto di discontinuità di I, II o III specie. (Se di III specie 𝑓
ha
continuità eliminabile, dunque esiste il limite).
Esempio.
Per qualsiasi valore di 𝛼 = 𝑓( 0 ) la f
possiede un salto, quindi un punto di
discontinuità di II specie.
Esempio. Funzione di Dirichlet.
Non è continua. Tutti i punti sono punti di
discontinuità di II specie.
Esempio.
Si può dimostrare che 𝑓
è continua in 𝑥 = 0.
Dimostrazione: Sia 𝑐 =
ି
ଶ
, e si calcoli
0 si calcola 𝑏
ଵ
= 𝑐 e 𝑎
ଵ
< 0 si calcola 𝑏
ଵ
e 𝑎
ଵ
Iterando la procedura, si ottengono più punti c. Ad
esempio:
ଵ
0 si calcola 𝑎
ଶ
ଵ
e 𝑏
ଶ
ଵ
< 0 si calcola 𝑎
ଶ
ଵ
e 𝑏
ଶ
ଵ
Con questo metodo si ottengono le successioni
e 𝑏
è crescente
è decrescente
Da cui: 𝑎
e 𝑏
ଶ
dove 𝐿 = 𝑏 − 𝑎
(Per cui si avrà 𝐿,
ଶ
ସ
, ecc.)
Poiché 𝑎
è crescente e limitata
→ 𝑝 segue dal teorema delle successioni monotòne limitate.
Per 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜 ൜
Analogamente
→ 𝑞 ∈ [𝑎; 𝑏] ⟹ ቄ
Si dimostra dunque 𝑝 = 𝑞
Se 𝑛 → 0
𝑑𝑖 𝑢𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡à 𝑐ℎ𝑒 𝑝𝑢ò 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑝𝑖𝑐𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑎 𝑝𝑖𝑎𝑐𝑒𝑟𝑒
Conclusione: Si chiami 𝑥
il punto 𝑝 = 𝑞
[
]
e 𝑏
⟹ 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡à 𝑠𝑖 ℎ𝑎
e 𝑓
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡à 𝑖𝑛 𝑥
) ≤ 0 ⟹ lim 𝑓(𝑎
≥ 0 ⟹ lim 𝑓
Teorema di Darboux (dei valori intermedi). Sia 𝑓: 𝐼 → ℝ, con I intervallo in
ℝ. Si dice che f soddisfa la proprietà di Darboux (o dei valori intermedi) su I se
presi 𝑥 < 𝑦, con 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼, allora la f assume nell’intervallo
[
]
tutti i valori
compresi fra 𝑓
e 𝑓
Conseguenza: Se I è un intervallo e la funzione 𝑓: 𝐼 → ℝ segue il teorema di
Darboux, allora 𝑓
è un intervallo.
Teorema. Proprietà di Darboux. Sia 𝑓:
[
]
→ ℝ continua ⟹ 𝑓 è di Darboux.
Dimostrazione: Siano 𝑐, 𝑑 tali che 𝑎 ≤ 𝑐 < 𝑑 ≤ 𝑏.
Si supponga che 𝑓(𝑐) < 𝑓(𝑑).
Si sceglie un qualsiasi valore
dunque si vuole trovare 𝑥
Teorema. Data 𝑓:
[
]
→ ℝ continua ⟹ 𝑓
([
])
[
]
Dove 𝑚 = min
e 𝑀 = max
Corollario. Sia 𝑓:
[
]
→ ℝ una funzione monotòna crescente/decrescente.
⟹ allora f è continua ⟺ 𝑓
([
])
[
]
Dimostrazione:
⟹ è verificata
se f non è continua ⟹ ∃ almeno un punto di discontinuità.
⟹ ∃ almeno un salto (l’immagine non ha buchi).
Corollario. Sia 𝑓:
[
]
[
]
continua e invertibile. Allora la funzione inversa
ି ଵ
[
]
[
]
è continua.
Dimostrazione: 𝑓
ି ଵ
([
])
[
]
Esempio. lim
௫→௫
బ
sin 𝑥 = sin 𝑥
lim
→
sin
= sin 𝑥
sin
= sin 𝑥
cos ℎ
sin ℎ {→ 0}
[
]
ି ଵ
= arcsin 𝑥 è continua, perché sin 𝑥 è
continua.
Teorema. La funzione f è crescente e invertibile ⟹ 𝑓
ି ଵ
è crescente.
Esempio. 𝑓
ି ଵ
Dimostrazione: 𝑦 ଵ
ଶ
ି ଵ
ଵ
ି ଵ
ଶ
ଵ
ଵ
e 𝑦
ଶ
ଶ
) [
𝑝𝑒𝑟𝑐ℎè 𝑓 𝑠𝑡𝑟𝑒𝑡𝑡. 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐.
]
ଵ
ଶ
ି ଵ
ଵ
ି ଵ
ଵ
ଵ
ି ଵ
ଶ
ି ଵ
ଶ
ଶ
Teorema. Sia la funzione 𝑓:
[
]
[
]
continua e biunivoca, e dunque
invertibile. Allora f è necessariamente monotòna.
Esempio - controesempio. 𝑓:
[
]
[
]
La funzione è non continua e non monotòna.
(Non essendo monotòna non è neppure continua)
