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1. Funzioni Continue
1.1 Definizioni
Definizione 1.1 Sia X ⊂ R, e sia f : X → R. Diciamo che la funzione f e continua nel punto x 0 ∈ X se si verifica una delle seguenti eventualita:
i. Il punto x 0 `e isolato per l’insieme X;
ii. Il limite limx→x 0 f (x) esiste ed inoltre limx→x 0 f (x) = f (x 0 ). Diremo infine che f `e continua in X se risulta tale in ogni punto di X.
Il concetto di funzione continua e quindi un concetto puntuale ovvero valido punto per punto. Non c’e nessuna ragione che possa indurci a pensare che la continuita in un punto implichi la continuita in altri punti dell’ insieme di definizione di una funzione.
A volte, per verificare la continuita di una funzione, puo risultare utile ricorrere alle successioni. Volendo procedere in questo modo e utile il teorema di passaggio tra le successioni e le funzioni. Precisamente si ha: Teorema 1.1 (caratterizzazione della continuita mediante le successioni) Sia f : X ⊂ R → R e sia x 0 ∈ X ∩ DX. Allora, condizione necessaria e sufficiente affinch´e la funzione f risulti continua nel punto x 0 `e che per ogni successione di elementi di X convergente ad x 0 , si abbia limn→+∞ f (xn) = f (x 0 ).
Esempio 1.1 Continuit`a delle funzioni elementari. Le seguenti funzioni sono continue in tutti i punti del loro insieme di definizione:
polinomi, potenze,logaritmi, esponenziali, sen x, cos x.
Esempio 1.2 La funzione f : R → R definita mediante la legge f (x) = x − [x], e continua in tutti i punti tranne quelli di ascissa intera dovee continua soltanto dalla destra.
Esempio 1.3 La funzione f : R → R definita mediante la legge
f (x) =
x x ∈ Q, −x x /∈ Q,
`e continua soltanto nell’origine.
Esempio 1.4 La funzione (di Dirichlet) f : R → R definita mediante la legge
f (x) =
1 x ∈ Q, 0 x /∈ Q,
G.Di Fazio
non `e continua in nessun punto di R. Dai risultati sui limiti delle funzioni segue immediatamente che:
Teorema 1.2 Ogni combinazione lineare di funzioni continue e continua; il prodotto di funzioni continuee una funzione continua; il reciproco di una funzione continua (e non nulla) e una fun- zione continua; il quoziente di due funzioni continue (con denominatore non nullo)e una funzione continua; il massimo (e il minimo) tra due funzioni continue e una funzione continua; la funzione composta mediante funzioni continuee continua.
Definizione 1.2 Da ora in poi l’insieme di tutte le funzioni continue in X sara denotato con il simbolo C^0 (X) quindi dire che una data funzione fe continua in X sar`a come dire che f ∈ C^0 (X).
Se una funzione non e continua in un punto del suo insieme di definizione, diremo chee discontinua in quel punto.
Pensando alla definizione, si puo verificare una sola delle seguenti eventualita:
- ∃ limx→x 0 f (x) 6 = f (x 0 ); In questo caso diremo x 0 un punto di discontinuit`a eliminabile o fittizia;
- ∃f (x+ 0 ) ≡ limx→x+ 0 f (x), ∃f (x− 0 ) ≡ limx→x− 0 f (x) entrambi finiti ma f (x− 0 ) 6 = f (x+ 0 ); in questo caso il punto x 0 si dice un punto di salto per la funzione ed il numero S(x 0 ) = f (x+ 0 ) − f (x− 0 ) si dice ampiezza del salto;
- f (x− 0 ) e f (x+ 0 ), esistono ma non sono finiti; in questo caso il punto x 0 si dice punto di infinito per la funzione;
- almeno uno tra f (x− 0 ) e f (x+ 0 ), non esiste; in questo caso la discontinuit`a si suole chiamare ”di seconda specie.”
Nel caso della discontinuita fittizia, si puo definire una nuova funzione ϕ : X → R mediante la legge
ϕ(x) =
f (x), x ∈ X, x 6 = x 0 ; lim x→x 0
f (x), x = x 0
ed in questo modo la funzione ϕ risulta continua nel punto x 0. Si dice allora che la funzione ϕ e il prolungamento per continuita della funzione f (x).
Esempio 1.5 La funzione f : R → R definita mediante la legge
f (x) =
sen x x
, x 6 = 0;
0 , x = 0
G.Di Fazio
Dim. Il metodo dimostrativo e simile a quello gia introdotto nella dimostrazione del teorema di Bolzano - Weierstrass. Dividiamo l’intervallo in due meta e valutiamo la funzione nel punto di mezzo. Se in quel punto la funzionee nulla abbiamo terminato. In caso contrario, continuamo dividendo a meta solo quell’ intervallo dei due agli estremi del quale la funzione assume valori di segno opposto. Procedendo in questa maniera, dopo n ripetizioni otterremo un sequenza di intervalli incapsulati, ognuno la meta del precedente caratterizzati dal fatto che, detta {an} la sequenza degli estremi sinistri si ha f (an) > 0 mentre detta {bn} la sequenza degli estremi destri si ha f (bn) < 0. Naturalmente, ∃ lim an = lim bn ≡ c. Proviamo che f (c) = 0. Per continuit`a si ha: 0 ≤ lim f (an) = lim f (bn) ≤ 0 quindi f (c) = 0.
Corollario 2.1 Sia f : (a, b) → R una funzione continua. Allora ] inf f, sup f [⊆ f (a, b).
Esempio 2.1 La funzione f :
]
− π 2 , π 2
[
→ R definita mediante la legge f (x) = tang x `e continua perch´e quoziente tra funzioni continue. Per il corollario precedente si ha:f (
]
− π 2 , π 2
[
) = R ovvero l’equazione tang x = y ammette soluzione per ogni y ∈ R.
1.3 Applicazioni della compattezza alle funzioni continue.
Innumerevoli sono le applicazioni del concetto di compattezza. In questo breve capitolo vedi- amo alcune conseguenze del concetto di compattezza applicato alle funzioni continue.
Teorema 3.1 Sia K ⊂ R compatto e sia f : K → R una funzione continua in K. Allora, f (K) `e compatto.
Dim. Sia {yn}, n = 1, 2 ,... , una successione di punti di f (K). Dobbiamo provare che da essa si puo estrarre una sottosuccessione convergente ad un elemento di f (K). Per il fatto che yn ∈ f (K) esiste xn ∈ K tale che f (xn) = yn. Per l’ ipotesi di compattezza di K, dalla successione {xn} si puo estrarre una sottosuccessione {xkn }, n = 1, 2 ,... , convergente ad un punto x∗^ ∈ K. Poich´e la funzione f (x) `e continua, si ha:
nlim→∞ f^ (xkn^ ) =^ f^ (x∗)^ ∈^ f^ (K)
da cui la tesi perch´e ykn = f (xkn ) `e un’ estratta di {yn}, n = 1, 2 ,... ,.
Teorema 3.2 (di Weierstrass) Sia K ⊂ R compatto e sia f : K → R una funzione continua in K. Allora, la funzione `e dotata di massimo e di minimo in K, ovvero
∃x 1 ∈ K : f (x 1 ) = sup K
f (x), ∃x 2 ∈ K : f (x 2 ) = inf K
f (x).
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Dim. Per il teorema precedente, f (K) e compatto e quindi, in particolare,e chiuso. Poich`e l’estremo superiore e l’estremo inferiore di f (K) sono elementi di f (K), si ha supK f (x), infK f (x) ∈ f (K) da cui segue la tesi.
Teorema 3.3 (di continuita della funzione inversa) Sia K ⊂ R compatto e sia f : K → R una funzione continua ed iniettiva in K. Allora, la funzione inversa f −^1 : f (K) → Ke continua in f (K).
Dim. Per provare che la funzione f −^1 e continua in f (K) proviamo che tale risulta in ogni punto di f (K). Sia percio y 0 ∈ f (K). Usando la caratterizzazione della continuit`a attraverso le successioni dobbiamo provare che, comunque si assegni una successione {yn}, n = 1, 2 ,... , di punti di f (K) che sia anche convergente a y 0 , si abbia:
nlim→∞ f^ −^1 (yn) =^ f^ −^1 (y^0 ).^ (∗)
Data la successione {yn}, n = 1, 2 ,... , in f (K), esiste {xn}, n = 1, 2 ,... , di punti di K tale che f (xn) = yn. Chiamiamo x 0 quel punto (unico per l’iniettivit`a di f (x)) tale che f (x 0 ) = y 0. Provare la (∗) equivale a provare che lim n→∞
xn = x 0. (∗∗)
Cio sara acquisito se proveremo che qualsiasi estratta {xkn }, n = 1 , 2 ,... , della successione {xn}, n = 1, 2 ,... , e convergente al punto x 0. Dal teorema sulla convergenza delle successioni estratte seguira quanto desideriamo.
Se {xkn }, n = 1, 2 ,... , e una tale estratta, il suo limite x∗^e certamente finito perche Ke limitato e appartiene a K perch´e K e chiuso. Ricordando che f (x)e continua si ha:
lim n→∞
f (xkn ) = f (x∗)
ovvero lim n→∞
ykn = f (x∗)
ma, essendo {ykn }, n = 1, 2 ,... , estratta da {yn}, n = 1, 2 ,... , , risultera convergente allo stesso y 0. Per unicita del limite si ha dunque y 0 = f (x 0 ) = f (x∗) e, poich´e la funzione f (x) `e iniettiva, segue x 0 = x∗. Abbiamo quindi provato la tesi perch´e ogni estratta della successione {xn}, n = 1, 2 ,... , risulta convergente al punto x 0 e pertanto limn→∞ xn = x 0.
Esempio 3.1 La funzione
arcsen y : [− 1 , 1] → [−
π 2
π 2
]
e continua in virtu del teorema appena dimostrato come anche la funzione arccos y.
