Scarica Basi e dimensioni capitolo 3 e più Appunti in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity!
BASI E dimensioni
Definizione precisa di^ vettori^ linearmente^ dipendente e^ indipendenti
Sia V uno spazio ietbir.la^ su K
allora " m " vettori (^) in (^) .it ,.^.^. ,^ itn^ di^ ✓ (^) si dicono (^) LINEARMENTE DIPENDENTI se (^) ] " n^ " scolari (^71) , - ,.^.^.^ ,^ -1m^ NON^ TUTTI^ NULLI (^) (Nuovi uni diverso (^) da 0 ) ,^ tale^ ala^ la^ combinazione^ lineare^ dei^
vettori dati csngé scolari
precedente dia^ il^ vettore^ nullo^ ,^ cioè^ :^ that Init.^.^ -^ t^ Inis^5.
Gli 'in " vettori (^) iii. ni (^) ,^.^.^. ,^ MI^ sono^ LINEARMENTE^ DIPENDENTI^ se^ l'^ unica^ loro combinazione lineare (^) che dà il vettore nullo (^) Ò (^) si ottiene (^) per Scsisri TUTTI nulli cioè t'ù, + Ìì, + (^).. - t Xin -^5 ≥ I' = -12s (^)... = I' = o Proprietà del^ concetto^ di^ lin (^). dip. e lin (^) , iudip.
1. Proposizione^ :^ dott^
" ni' vettori
ut ,... , cin di uno spazio vetbisle^ V^ m k
se (^) mi < n (^) fra di^ essi sono^ < iv. Dir.^ allora^ tutti (^) gli
n' ' vetta (^) dati sono (^) Lin. DIPENDENTI (^). dimostrazione : Senza Aden alla^ generalità
si può
supporre
che i
primi
mi (^) vettori (^) nn , ma^ ,.^.^. , um sono^ lineamenti^ dipendenti , pertanto
7- " m^ " scolari 7
,^7
.^.^.^. ,^ -
non Tutti^ nulli^ ( almeno^ uno^ non^ nullo)
tale Che l'ù, t Ini t .. - t Hitu -^ Ò^ , allora
t' ù t Ini t .. - t Hitu t o
vino (^) , tonno,^ t^..^.^ +^ Orin =^ Ò^ (^ moltiplichino Il (^0) pm lrp^ : i (^) restanti per serra^ nullo^ ) duque mit^.^.^.^ Altri^ sono^ l'^ ~^.^ DIPENDENTI^.
2. Proposizione^ : se^ " n
vettori (^) di V sono (^) < in (^). INDIP (^). allora " m "
qualsiasi
man , fra di^ essi^ rsnsl ancora lin^.^ INDIP^.
- Proposizione : (^) in vettore te (^) EV è (^) < iv. DIP (^). E iii. 5 4.^ Proposizione^ :^2 vetri (^) te (^) , Ù (^) E ✓^ sono^ Liv (^). DIP (^). E tu^ ,^ Ù^ sono Proporzionali
cioe J = Air
, 7 c-^ K
S (^). Proposizione (^) , condizione (^) necessaria sufficiente (^) ( C.us. ) : affinché È Veltroni ut (^) ,... lui c-^ ✓^ siano^ l'n^.^ Dip^. e ' che (^) uno di essi sia (^) cambi. lineare (^) dei
- rimanenti. Dimostrazione (^) ( c. N (^). ) / (^) p : Ìln ,^.^ -^ - ,^ ten^ Sami^ l'N. DIP (^). se :^ uno^ di essi è come (^).^ limone^ degli altri^. Per (^) lp. (^) 3- " n^ " scolari (^7)
,.^.^. ,^ ]
non tutti^ Nulvi^ tale Clee^ III +^.. -^ t^ Iiii
Senza erodere alle generalità si può
suppore È =/ °
allora (^) un =^ Ùr ' (^).. (^).
- MT (^) ovvero tra C- SPAN
( ma^.^.^ - , etu^ )^.
Dimostrazione (^) (C.S. (^) )
Ip :^ uno di essi è come . lume degli altri
Th :^ i vettori (^) sia (^) ,. - , etu^ sono^ Lin^. DIP. Per (^) lp : (^) un =p (^2) Ì, + (^)... _
tgnìn
di cui Ò = (e) in +
prima
dunque MÌ^ ,^.^ -^ -^ ,^ itn^ Sono^ Liv^.^ DIP^.
Concetto di esse di uno
spazio vetbi.de Gia V^ uno spazio vettoriale^ m^ k
finitamente guanti^ cioè^ ,^ ammette^ un
insieme funk di generatori. Una Base di^ V è un sottoinsieme
finito (^ non^ usa) BCV (^) tale da : (^1).^ B^ genera V (^) cioe V - (^) Span (^) (B) (^2).^ B^ è linearmente^ indipendente
Teorema di esistenza della base :
ogni spazio vettoriale^ ✓ (^) =/ (^5) ( non (^) Nuits ) fnnbtmentl geurst^ ammette^1 BASE^.
Dimensione (^) dello
spazio
vettoriale K
delle n^
campo K^.
ti =
( Mn^ , Ma^ ,^ M^ }^ ,^.^.^ -^ ,^ Mn^ )^ e^
K
→ VETTORE (^) GENERICO
è = ( e-^ ^ , ei .... ,^ li) CÉ^ Spam ( e) = Km →
e
è l' insieme dei
gender del^ vettore
e- ^ = ( 1 , o , o ,. - -
, a)^
E (^) K
generico.
↓
CI = ( b , 1,0 ,.. . , o ) E K^
è dlth (^) Base canonica din K"^ =^ n
Èn = ( o , op .... , 1) E^ K
Lruslt vettori giurano K
e sono^ l'^ ~^. indio^. il^ = ( ten , MÌ ,. _ . , UÌ)
= NI ( 1
, 0,0 ,^.^.^.^ io^ )^
+ mi ( 0,
°
,^.^.^
. ?) +... + ÙM ( 0190 ,...
. 1)^
miei +^ miei +^.. - +^ miei .
La (^) dimensione dello
spazio vettoriale^
M
( m^ ,^ n^ ,^ K ) dette^ nutrici^
di ordine (min)
su K^. i = (^1) ,. (^).. ,^ non
Posso prendere la min motrici
A =
( a ;)
E i min (^) J = si.^.^ - in g che (^) lanno 1 nel
punto
i , ] 1 00 0. - -^ -^ °
(E)
o (^) soo...^ o e Zero^ altrove^. i. :
0 O 0 0. ~ - .^0
Inerte motrici generano M ( min .^ K^ ) e
(E)
◦ ◦ °^. -^ -
sono lin^. indipendenti , dmmlm.n.ve)-
0000.^ -^.^0
) mm
Ò o (^) a 0. - (^) _ 0
E } è l' insieme delle matrici gnostici
( E^ Tn) =
(?^
◦ (^) ◦ °. _ (^) '^ °
della nutrice
genica
A (^0) o a (^) o. - - 0
i^ )
" : (^) e la base lsse convien^ delle (^0) O a s. - -^1
nutrice
gamma A^
(ais)
Prometti delle^ basi^ e delle^ dimensioni teorema :^ Lia ✓^ uno (^) spazio velbtisle (^) di diminuizione " n
m k^ , volgari le seguenti (^) proprietà : 1.^ tutte^ le^ hai^ home^ " n " (^) vettori
2. Ogni insieme di " n
" vettori Clee (^) genere ✓^ è^ una esse.
3. Ogni cinema di^
m
vettori lin^. udipe È^ una dose
< (^).^ Da^ ogni uiinenu^ di^ generatori si^ può estrarre una base
s . Ogni insieme di^ h < n vettori linea .
Indipendent può^ prolungarsi^ a (^) morbose (^6). Formula di
Grossman per i^ sottospazi^ vettoriali^.
Wu , Wz Sot.^ Spaz^.^ Vet^ di^ V
v V1 (^) Wir Wa
die W , + Wzs dmwrtdmwz-n.hn Wnnwr
WZ In (^) particolare se (^) Wan Wu = ( is } Wut (^) Wz = W, ⊕ (^) Wz dem^ Wan^ Wz =^ o
devi Wn ⑦ Wz =^ due Wi + due^ Wz
Definizione di^ esse^ ordinate sia (^) V uno spazio
vettoriale di dimensioni nmk. Um
PPSE ordinato^ di^ V^ È^ un eroe^ di^ V^ in^ cui^ si fusse un
ordine dei vettori (^) e (^) si ridice^ con le (^) parentesi tonde^. B (^) = | Én (^) ,^ C-^2 ,^.^.^. , In } Rossi di^ ~ B
( È^ ,^ È^ ,.. ..^ In^
) Rose ordina di^ ✓ Teorema : Lia (^) è ( è ,^ È^ ,^ -^ -^
- ICI ) un^ esse^ ordinato^ di^ ✗^ , ogni vettore (^) u c- V^7! n - per di sessi (^) ( -^ '
7 '
,^.^
- , 7 " ) dette n- per delle unguenti di in^ tale che ci^ = 7^5^+72 (^) cit..^.^ +^ Ieri
