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DETERMINANTI ( sono^ narici^ amorose)
Premesse sulle
permutazioni
Nn = { a. 2 ,^ }^ ,.^.^.^ in }
Una penetrazione
p
È in
applicazione biunivoca^ ( iniettiva^ e suriettiva ) p^
: Nm → Non . Ogni permutazione si può
presentar con^ una^
motrice 6
p :^ Nn^ → (^) Nm con vetri (^) riga. 1 →^ Pci)^ :^ Pa z -^ >^ Pcr)^ :^ Pi p ≥ ( ^ ↓
..^ - n '
2 ↓ ) :(poi^
-.. (^) - :^ Pn)
n → Plm)^ -^ Plm) Pn Pz
Pn sia (^) Pn l' (^) inno di (^) tutte le puntatori su (^) m (^) oggetti , Pm (^) ha n!
elementi.
Proprietà del segno
1- (^) Sogn ( identici^ )^ - ( - 1) °
- (^) + , V/ identità^ ) = (^) M- n (^) =] (^2) - t : (^) Nn → Nm TMSPosition ott)^ =^ M^ - ( n^. )-^1 Sqnlt )^ : (1) =^
- ^ 3- (^) Sogn ( (^) qo p )
= Sgr
( p ◦ g)
Sgnlp)^ Sgnl^
' ) 4- (^) Sgr ( tp) =^ - Sogn ( p (^) ) s (^) .- Sgr ( (^) p "
) = Sgn ( p)
Determinante (^) di (^) una motrice (^) quadrata di^ ordine " n " sia A = ( aj (^) ) una^ matrice^ quadrati di^ Odin^ " n
" si dice
determinanti nx ~ (^) i= (^) 5= , _^.^ - ,^ M di (^) A (^) il numero :
detta) =^ / Al =^ E^ Santo ) à^ à
DEF (^) o e Pm Gu) (^6) (a) ' -.^ ° }( n )
mai A^ = (^) ( a (^) :) Per^ -^ Nn^ - { ^ } (^) ,^6 ≤ (f) IDENTICI (^) Sgn (6) = +1 dit^ ( (^) a) = 1 × 1
E
sogni 6)^ A '^ detta) = al
- (^) e P (^) - G (^) ( n (^) )
- n^ -2^ A = ( ^ (^) : •
detta) =^ E seghe )^ A^ ' A^ ' - +1 a
? a^? - aia :
2 × 2 6 E (^) Pz GG) (^612) )
a : ai
3) n^
- (^3) A 3 × 3 = ( °? 91 a^ }
a } a ? a
detta) - E sesgl 6)^
Arma?^ =
GGP≥^ Glr)^612 )^613 ) a (^)? a^ } a} ala? a (^) } tata} a^ : (^) targata :
- (^) aia (^) : a : - aria :& (^) : - afonia? Reaper di^ Loomis
a :
a: a
metodo I
a: a^ : a:
a: a :
a (^) : • (^) { a^ } a^ :^
ÈÈ
.. + •
metodo
: a^ : a
%
a.
Proprietà del^ determinante
s (^). se determinante^ di^ una matrice^ quadrati A^ e-^ uguale &^ determinanti^ delle (^) nmlissp. detta) =^ dut^ ( ta) (^2). se determinante di (^) una matrice^ triangolare ( (^) sup. (^6) uf ) e di^ una natia diagonale è^ ugnle al^ prodotto degli^ elementi^ che^ stimo^ nulla^ di :p
voli pricipale.
(^3).^ Le^ B^ è^ la^ matrice (^) quadrati ottenuti^ da A moltiplicato un (^) rigo ( nonno) nxn
per un^ numero^7 selon^ :^ out^ (^ B)^
= 7. detta)
Conseguenze :
Metodo (^) di Triangolazione (^ calcolo^ det^.^ )
b-
metodo per il^ calcolo^ di dlt^.^ di^ una rustica quadrati di^ ordine^ anale
n (^) ≥ 4 , mediante (^) una serie^ di^ trasformazioni : per la
proprieta
(^2) , possiamo (^) portare
la nutrice sottoforma di^ una motrice triangolare avente sterno determinante Tdtemh
dal (^) prodotto tu^ gei elementi^ delle^ diagonale pmapoee .
- mettersi^ una (^) riga ( 6 colma) per un numero e sommando^ un^ cambio^ il^ dit.
- scambio^ due^ righe ( 6 colonne) cambia^ il^ out^.^ nel^ suo^ opposto Complementi (^) algebrici Sia (^) A = (ais )
E M ( nie) una nutrice
qusdrih di^ ordine^
" n^ "
.^ Si^ dice^ COMPLEMENTO
ALGE Bruco^ dell'^ elemento^ ai,^ di^ A^ il determinante della^ nutrice^ ottenuta^ dn^ A
sostituirlo (^1) al (^) porto di^ orig e (^) zero in tutti ga altri (^) ponti della Rica e ' _ (^) esima (^) e colonna (^) S - (^) enne. se (^) completamente algebrico si indica con (^) Aj , cioè (^) : volant
a1..^.^ °.^.^ _^ -^ •^ ≈
)
Ai : s = det | .
rig.io.^.^.^1
... si ,^ / i (^) :O (^) in
ann^ '^ -^ - U - - - - Qn
Teorema di^ Laplace Lion A^ un rustico (^) qusdrst di^ ordine^ A^ = (^) ( a} ) su k^ : nxn non e.^ La^ somma^ di^ prodotti (^) degli elementi^ di^ una^ riga ( colonna) (^) per
i
rispettivi complementi^ algebrici^ è uguale a (^) detta (^) ). 2.^ La^ somma di^ pendolo (^) degli elementi^ di^ una^ riga( colonna) per
i
rispetta complementi^ algebrici^ di^ un'^ oetn^ riga^ (^ colonna ) è uguale a zero ' n h =
^ se i.a Insubri : E^ ais A^ } = Sia detta^ )^ dove^ si 5- o^ se i-4h " È a^?^ A^ : = { dita se i.a 0 se^ i^ ≠^
simboli di Kronecker
J =^ ^
Dimostrazione (^) ③ esso i=^ li è = ( e (^).^.^ -^ - , E)
dire allora si era
per l' è^ - enim^
riga di^ A
BASE (^) canonico Di (^) K" M ài = ( ai^^ ,^ di 2 , - - - , ain) = (^) E (^) aisies èn = ( (^1) ,. - io) 5= per la^ S
È = ( 0,1 .. - -^ P)
n i quali :^ dit^ (A)^ = E a} dei (^) ( : Bg)^ dove^ Bs^ è^ la^ matrice ci = ( o^ ,.^.^ - , 1) F- ^
ottenuti da A sostituendo^ le i.esima^ riga ài^ con
il vettore^ e- J (^) delle lor canonica di K " , cioè :
Q?..^.^ -^ a} i^ -^ -^ -^ a^ Tn
Bg =^ distraendo^ nelle^ matrice^ BJ nella^ 5,5,
a}. - - - als. -^ -^.^ a^ ≈
; e '.. - - ,
i- resina
,
. -^ - - ,^ n^ -^ etno riga la '. i. : (
ai"^
i" 1 -^ -^ -^ _^ a g
. - - -^ a^ i.am^ riso (^) materiale rintanati 0.^ _ -^ - 1. - - (^) - - °^ ii.^1 per -^ a^ ,^ -^ a}^ ,.^.^.^ in ^ ,^ -^ a^ g ,.^.
ai"
g
..^.^.^ ai^
" " ^^ '^.^.^ g. itt si ottiene^ una motrice^ il^ cui^ determinate |^ "^ I l '. :
" è ai
s , cioè del^ ( Bi (^) ) =^ A^ } a (^) ].. _^ a^ }.^.^.^.^ ama me la (^7) il det (^) non cambia n
anni detta^ )^ -^ E^ aisdet (^ Bg) =^ È^ a} Ai
J
7=1 5= 5 ª applicazione del^ the^. di pesce :^ formula^ ricorsiva^ per il^ calcolo^ del^ detta)^ en A run
( its )
Ai
s
dit
( s ;) dove si è^ la^ matrice^ quadrati di^ ordine^ n-^ e^ attenti^ di^ A J (^) n ✗ (^) n
togliendo la^ riga ricavata^ e^ la^ colonna^ 9-^ esima^.
n
di (A) = E ai (a)
" det (^) ( (^) dj ) 5--1 5 ÷ S
ovvero che^ il^ determinante di^ una^ nutrice qusdróh di^ grado n si^ può ottenere come
combinazione di^ determinante di matrice^ australe di ordine n- ^ (^). 2ms -4 (^) fornisce un metodo (^) per il volvolo^ dei^ determinati^ di^ motrici^ quadrate di^ ordine^ elevato^.
☒ " applicazione del^ teorema^ di^ bplsa^ :^
sistemi di^ Cromer .
Def
: (^) Un video di usum è (^) un sistema lineare (^) quadrata non i = b^ irsuta)- ~ ✗ 1 Teorema :
ogni
sistema di^ Cramer è^ determinato e amaretti un' unica
soluzione dati dalle formule di^ Cramer :
ah.^.^ a " In b ' a ' 9+1 '^ " %) A ✗ =^ b^ dita) (^) -10 7A ' a (^) } È^ }, b ' a^ '
J +1^ -^ -^ '^ a}
A- ^ ( Ax^ ) =^ A-^ ' b i^ i^
..
I. dit
" /
dita)
! (^)!!^ ;^ ; ( A- ' A) ×^
= A-
'
b
a (^) : - (^) - ai.^ -^ bonanni^
- (^) a :| In ✗^ =^ A-^ i " b n
gb
? (^) È AÌ^ =^ dit^ (^ Bn)
×!^ E^ •^ *^
i
sei (^) f- e detta) detta)
Dove Bi è la nutrice
qusdntn attenti^ da^ A^
metterlo al posto delle n -^ esima
colonna la^ colonna^ dei^ termini^ visti^.
Formule di^ Cramer
b '
✗ ^ = KID^ è =
dit (^) ( Bz) È ✗ " = °" (^) "" detti)^
detta)^ of
