TEOREMA ROLLE
SIA F(X) UNA FUNZIONE,CONTINUA
NELL’INTERVALLO CHIUSO[A,B] E
DERIVABILE NEI PUNTI INTERNI DI
QUESTO INTERVALLO, LA QUALE
ASSUME VALORI EGUALI NEGLI
ESTREMI DELL’INTERVALLO F(A)=F(B)
IN TALE IPOTESI ESISTE ALMENO UN
PUNTO C INTERNO ALL’INTERV [A,B]
NEL QUALE LA DERIVATA DELLA
FUNZIONE SI ANNULLA F ‘(C)=0.
TEOREMA LAGRANGE
SE F(X) è UNA FUNZIONE CONTINUA
NELL’INTERVALLO CHIUSO [A,B] E
DERIVABILE INTERNAMENTE AD
ESSO,ALLORA ESISTE ALMENO UN PUNTO C
INTERNO AD [A,B],TALE CHE RISULTI
F (B) – F (A) = F ’(C)
B-A
TEOREMA DI CAUCHY
SE F(X) E P(X) SONO DUE FUNZIONI CONTINUE
NELL’INTERVALLO CHIUSO [A,B] E DERIVABILI
INTERNAMENTE AD ESSO, E SE LA DERIVATA
P’(X) NON SI ANNULLA MAI,ESISTE ALMENO
UN PUNTO C, INTERNO AD [A,B],TALE CHE
SIA:
F(B) – F(A) = F’(C)
P(B) – P(A) P’(C)
1° TEOREMA DE L’HOSPITAL
SIANO F(X) E G(X) DUE FUNZIONI REALI DEFINITE
IN UN INTORNO H DEL PUNTO A.SIANO
SODDISFATTE LE SEG CONDIZIONI:-FX E GX SIANO
CONTINUE IN X=A E F(A)=G(A)=0
-FX E GX SIANO DERIVABILI IN H’= H –(A) -GX
DIVERSO DA ZERO IN H’
-ESISTE FINITO O INFINITO IL
LIM F’(X)
x--a G’(X)
IN TALE IPOTESI ESISTE ANCHE IL
LIM F(X)
x---a G(X)
E SI HA: LIM F ’(X) = LIM F(X)
x---a G’(X) x---a G(X)
2°TEOREMA DE L’HOSPITAL
LE DUE FUNZ SONO DEFINITE IN H’=H-
(A)ESSENDO H INTORNO DI A. CONDIZIONI
DA SODDISFARE:
-LIM F(X) = LIM G(X) = ∞
x----a x----a
-F(X) E G(X)SONO DERIVABIL IN H’
-G’(X) DIVERSO DA ZERO IN H’
-ESISTE FINITO O INFINITO IL
LIM F’(X)
x---a G’(X)
IN TALE IPOTESI ESISTE ANCHE IL
LIM F(X)
x---a G(X)
E SI HA: LIM F ’(X) = LIM F(X)
x---a G’(X) x---a G(X)
TEOREMA DI WEIESTRASS
IL CODOMINIO DI UNA FUNZIONE
y= f(x) CONTINUA NELL’INTERV CHIUSO IN
=[a,b] ASSUME IN IN UN MAX E UN MIN.
TEOREMA ESISTENZA DEGLI ZERI
UNA FUNZIONE y= f(x) CONTINUA
NELL’INTERV CHIUSO IN =[a,b] NELLA QUALE
RISULTA f(a) f(b) <0 PRESENTA IN IN ALMENO
UN PUNTO c TALE CHE f(c) =0
TEOREMA PERMANENZA SEGNO
SE f(x) E’ CONTINUA IN c ε [a,b] ED E’
F(c) ><0 ESISTE UN CONVENIENTE INTORNO H(c)
TALE CHE OGNI X ε H
LA f(x) ASSUME VALORI DELLO STESSO SEGNO DI
f(c)
TEOREMA UNICITA’
SE ESISTE IL LIMITE DELLA FUNZIONE f(x), PER X--
>C , TALE LIMITE E’ UNICO
TEOREMA DEI SENI (O EULERO)
IN UN TRIANGOLO E’ COSTANTE IL RAPPORTO
TRA LA MISURA DI UN LATO E IL SENO
DELL’ANGOLO OPPOSTO:
a = b = c ....
sen α sen β senγ
TEOREMA DELLE CORDE
IN UN TRIANGOLO IL RAPPORTO TRA LA
MISURA DI UN LATO E IL SENO DELL’ANGOLO
OPPOSTO E’ UGUALE AL DIAMETRO DELLA
CIRCONF. CIRCOSCRITTA:
a = b = c .... = 2R
sen α sen β senγ
TEOREMA DEL COSENO (O CARNOT)
IN UN TRIANGOLO IL QUADRATO DI UN LATO E’
UGUALE ALLA SOMMADEI QUADRATI DEGLI
ALTRI DUE DIMINUITA DEL PRODOTTO DI QUESTI
DUE LATI PER IL COSENO DELL’ANGOLO FRA ESSI
COMPRESI:
a²=b² + c² - 2bc cosα
b²=a² + c² - 2ac cosβ
c²=a² + b² - 2ab cosγ
FUNZIONE CONTINUA:SI DICE CHE
LA FUNZ. f(x) DEFINITA IN UN INTERVALLO I=
[a, b] E’ CONTINUA NEL PUNTO c SE RISULTA
Lim f(x) =f(c)
x-->c se
-ESISTE IL VAL DELLA FUNZ IN c
-“” IL LIM DELLA FUNZ PER X-->C
-IL LIM COINCIDE CON IL VALORE PER LA
FUNZIONE IN c
DERIVATA: SI CHIAMA DERIVATA DELLA
FUNZIONE y= f(x) NEL PUNTO Xo IL LIMITE, SE
ESISTE ED E’ FINITO, DEL RAPPORTO
INCREMENTALE PER ΔX --> 0
SIG. GEOM: IL VALORE DELLA DERIVATA f ‘
(x) IN UN DATO PUNTO Xo E’ UGUALE AL
COEFFICIENTE ANGOLARE m DELLA
TANGENTE ALLA CURVA DI EQ y=f(x) NEL
PUNTO P (Xo,f(Xo))
RAPPORTO INCREMENTALE: E’ IL RAPPORTO TRA
LA VARIAZIONE DELLA FUNZIONE E LA CORRISP.
VARIAZIONE DELLA VARIABILE INDIPENDENTE.
SIG. GEOM: IL RAPPORTO INCREMENTALE E’ IL
COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA SECANTE DELLA
CURVA IN ( Xo, f(x)) E (Xo+Δx, f(x+Δx))
INTEGRALE DEFINITO: SI CHIAMA INTEGRALE
DEFINITO DELLA FUNZIONE CONTINUA f(x)
ESTESO ALL’INTERV [a,b] IL VALORE DEL
Lim INTEGRALE DA a A b DELLA
δ->0 SOMMATORIA DA 1 A n DEGLI f(Xi) hi .
PER DEF:
INTEG DA a A b DI f(x)dx = [AL LIMITE CHE C’E’
SOPRA]
INTEGRALE INDEFINITO:
E’ L’OPERATORE INVERSO DELLA DERIVATA
ED E’ L’INSIEME DI TUTTE LE PRIMITIVE
DELLA f(x).
PRIMITIVA: SI DICONO PRIMITIVE DI f(x)
TUTTE LE FUNZIONI LA CUI DERIVATA è
UGUALE ALLA FUNZIONE ASSEGNATA f(x).
SEN2α = 2 SENα COSα
COS2α = COS ²α – SEN ²α
= 2 COSα -1
= 1- 2 SEN ²α
SEN ( α + - β) =SENα COSβ + - COSα SENβ
COS ( α + - β) =COSα COSβ -+ SENα SENβ
FORMULE CALCOLI DERIVATE:
QUOZIENTE : f 2 f1’ – f1f2’
(f2)²
PRODOTTO: f1’f2 + f1f2’
DERIVATE FONDAMENTALI:
Dk =0 Dx =1 Dsenx = cosx
Dcosx = - senx Dlnx =1/x Deª= eª
___
D / X = 1/ 2 RADICE DI X
