calcolo differenziale derivate, Dispense di Matematica Generale

Scarica calcolo differenziale derivate e più Dispense in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!

Rapporto incrementale di una

funzione

Siano^ f^ :^ X^ → R

e^ x∈^ X.^0 La funzione

f^ (x) g(x) = (^) x 0 −^ f^ (x)^0 x −^ x^0 si chiama^ rapporto incrementale di

f^ relativo al punto

x.^0

E[g] =^ X^ − {x^0

x}.^0

Interpretazione geometrica(cont.)

x y 0 x^0

s a x (^1) tg a= f x(^ )^1 f x(^ )^0

f x(^ )-f x(^ )^1 o^ x -x^1

Il coefficiente angolare di

s^ coincide con il valore assunto dal rapporto incrementale nel punto

x^1 f^ (^ g(x) =^ x^10

x)^ −^ f^ (x)^10.^ x−^ x^1

Derivata di una funzione in

x^0

Siano^ f^ :^ X^ → R

e^ x∈^ X.^0 Se esiste

lim^ g(x) = limx^0 x→x^0

f^ (x)^ −^ f x→x 0 (x)^0 x − x^0

esso si definisce

derivata di^ f

in^ x.^0 La derivata di^

f^ in^ xsi indica con:^0

D[f^ (x)].x=x^0

Derivata sinistra

Analogamente, se esiste

lim^ g(x) =^ x^0 − x→x^0

f^ (x)^ −^ f^ lim− x→x 0 (x)^0 x − x 0

esso si definisce

derivata sinistra di

f^ in^ xe si indica con:^0 D[f (x)].sx=x^0

La derivata di^

f^ in^ xpu`o essere^0 n^ finita;^ ⇔^ D[

f^ (x)]∈ Rx=x^0

In questo caso si dice che la funzione `

e^ derivabile in

x.^0

n^ non^ finita;

⇔^ D[f^ (x)]x=

=^ ±∞.x 0

Interpretazione geometrica (cont.)

• Derivate 24 settembre
• x 10 /
• y
• x
• x
• P
• ss's'' P ' PP ''
• a P? f x( )^1 f x( )^0 Esiste una retta “posizione limite” per le rette secanti il grafico dellafunzione al tendere di P

Interpretazione geometrica (cont.)

Equazione retta secante:

f^ (x)^ −^ f^1 y = (x)^0 (x^ −^ x) +^0 x− x 1 0

f^ (x).^0

La retta esiste se:

f^ (x)^1 ∃ lim x→ x 10 −^ f^ (x)^0 x−^ x (^1 0) m il rapporto incrementale di

f^ relativo al punto

x`e regolare in^0

x⇔^ se^0

esiste la derivata di

f^ in^ x.^0 Se tale retta esiste, si chiama: retta tangente

al grafico della funzione nel punto

x.^0

Problema: scrivere l’equazione della retta tangente.

Retta tangente: caso finito

Geometricamente:

x

y 0

x^0

x^1 P^0

P^1 t^ a^ D[ ( )]

s P ''P ' 1 1 =f x tgax=x 0

f x(^ )^1 f x(^ )^0

Retta tangente: caso infinito

Equazione retta secante:

f^ (x)^ −^ f^1 y = (x)^0 (x^ −^ x) +^0 x− x 1 0

f^ (x).^0

D[f^ (x)]=x=x^0

±∞^ f^ (x)^ −^1 limx→x^10

f^ (x)^0 = D[f^ ( x− x 1 0

x)]=^ ±∞x=x^0

La retta tangente `

e la retta verticale passante per P

La sua equazione `

e:^ x^ =^ x.^0

Tangente destra e sinistra

Se esistono la derivata destra e la derivata sinistra di

f^ in^ xed esse^0

sono diverse, non esiste una retta tangente in

x.^0

n^ esiste la derivata destra

⇒^ le rette secanti ottenute con punti a destra di Phanno una posizione limite:^0

tangente destra

n^ esiste la derivata sinistra

⇒^ le rette secanti ottenute con punti a sinistra di Phanno una diversa posizione limite:^0

tangente sinistra.

Tangente destra e sinistra

Geometricamente:

x

y^0

td ts P 0 f x(^ )^0

P ''^1

P '^1 P 1

P 'P^1

P ''^1

x^0

Funzione derivata

Sia^ f^ una funzione derivabile in

X.^ Si chiama

funzione derivata

di^ f

la funzione:

′^ f :^ x∈^ X^ →^0

′ f (x) = D[f^0 (x)]∈ R^ .x=x^0

Essa si indica equivalentemente con i simboli

′ f (x)^ oppure^ D[f^ (x)].

Se la funzione

f^ `e derivabile in un intervallo chiuso

[a, b]^ si pone ′ f (a) = D[f^ (d

′x)]f (b) = Dx=a [f^ (x)]sx=b

Derivate delle funzioni elementari

funzione^

dominio^ derivata

dominio n x, n^ ∈ N^

nR nx

−^1 R

√^ nx, n^ ∈ N^

[0,^ +∞)^

(^1) √]0,^ +∞nn−^1 n x

x a, a >^0

x^ R alog a^ R x^ e

x^ R e

R

logx, a >^0 , aa^

6 = 1^ ]0,^ +∞)

logea^ ]0^ x^

,^ +∞)

log^ x^

(^1) ]0, +∞) x^

]0,^ +∞)